算數

培訓- 5 算數

算數

Angrybird11 c2251393 momohuang October 30, 2013

1 數

1.1 公因數與最大公因數與互質

1.1.1

Ifd|a and d|b, then d is the common divisor of a and b.

Greatest Common Divisor of a, b is written as gcd(a, b).

a and b are relatively prime iff gcd(a, b) = 1.

1.1.2 性質

1. d|aand d|b ⇒ d|(ax+by) 2. gcd(a,0) = a

3. gcd(a, b) = gcd(b, a) 4. gcd(a, b) = gcd(a, b−a) 5. gcd(a, b) = gcd(a, a−b) 6. Anonymous Theorem:

If a and b are integers, not both 0, then gcd(a, b)is the smallest pos- itive element of the set {ax+by|x, y ∈Z}

Proof: Let s be the smallest positive, s.t. s = ax + by. Let g = gcd(a, b), it is obvious that g | s. Now we'll show that s is a common

I

1.1 公因數與最大公因數與互質 算數

divisor of a and b, thus g = s. a mod s = a - qs = a(1-qx)+b(-qy).

And 0 ≤ a mod s < s, so a mod s = 0.

7. d|aand d|b ⇒ d| gcd(a, b). (Corollary from 6.)

8. if n | ab and gcd(a, n) = 1, then n | b. (Corollary from 6.)

1.1.3 歐

gcd(a, b) =gcd(a−qb, b) =gcd(b, a mod b) gcd(a,0) = a 性質 lg(max(a, b))的

Algorithm 1Euclid Algorithm

1: function Euclid(a, b)

2: if b==0 then

3: return a

4: else

5: return Euclid(b, a mod b)

6: end if

7: end function

1.1.4 歐

Target: 組 ax+by=gcd(a, b) 的 數

的 同 歐

ax+by=g 的 組 bx'+(a mod b)y'=g 的 bx'+

(a-⌊^a_b⌋*b)y'=g 因 ay'+b(x'-⌊^a_b⌋*by')=g 因

b==0 x=1, y=0

Algorithm 2Extended Euclid Algorithm

1: function Extended-Euclid(a, b)

2: if b==0 then

3: return (a, 1, 0)

4: else

5: (d', x', y') = Extended-Euclid(b, a mod b)

6: return (d', y', x' -⌊^a_b⌋y')

7: end if

8: end function

的 的 組 組 ax+by=0 的 ax

+by=gcd(a, b)的 ax+by=0的 gcd(a, b)=1 ax = -by y̸=0 b | ax b | x x = bn, y = -an

II

1.2 歐拉的ϕ 函數 算數

1.2 歐拉的 ϕ 函數

1.2.1

ϕ(n) [1, n] 與 n互質的數

1.2.2 性質

1. if p is prime,ϕ(p) = p-1

2. if p is prime,ϕ(p^k) =(p−1)p^k−1 3. if gcd(n, m) = 1, ϕ(nm) =ϕ(n)ϕ(m)

1.3 質數

1.3.1

因數 的 數 質數

π(N) 代 1∼N 質數

1.3.2 性質

1. if p is prime, and (a,p) = 1, then a^p−1 ≡1 (mod p)

2. 餘: if p is an odd prime, then x² ≡1(mod p) holds, only for x≡ 1 or x ≡ p-1(mod p).

3. 質數 When N → ∞, π(N) = _log^N_N

1.3.3 質數

合數N ≤√

N 的因數 的數

N 質數 O(√

N)

合 的 質數性質 Miller-Rabin

數 n 1∼n-1的數 a Witness(a, n)

的 a witness n 合數

的for 的 餘的 性質 最

的 for 的 數 最 O(lg n)

的 a^u mod n O(lg n) 的 的 題

函數 n 合數 n 合數的

III

1.3 質數 算數

Algorithm 3Miller-Rabin Algorithm

1: function witness(a, n)

2: let t and u be t≥ 1, u is odd, and n-1=2^tu

3: x₀ =a^u mod n

4: for i = 1 to t do

5: xi =x²_i−1 mod n

6: if x_i == 1 andx_i−1 ̸= 1 andx_i−1 ̸=n−1 then

7: return TRUE

8: end if

9: end for

10: if x_t̸= 1 then

11: return TRUE

12: end if

13: return FALSE

14: end function

的 1∼n-1 的數 witness n 合數 n 合數

a witness 20 FALSE 合數的

1

1048576 質數

1.3.4 質數

Target: 2∼N 質數

1. 2 ∼ N 的 True

2 的 數 2 False 3 的 數 3

False 4 的 數 4 False...

O(^N₂ +^N₃ +...+_N^N₋₁ +^N_N) = O(N ∗(¹₂ +¹₃ +...+_N¹))=O(NlogN) 質數的 數 質數數 _log^N_N

線性的 數 3

2. 線性 2∼ N 的 True 質

數的陣列 合數 False

合數 i∗x x 合數的最 質因數

1.3.5 質因數

Target: 數的質因數

1. 大數 1 ∼ √

N 數 N 質因數 的

O(√ N)

IV

1.4 同餘 算數

Algorithm 4Linear Sieve

1: empty prime(vector)

2: set isprime[2∼N] = True

3: for i = 2 to Ndo

4: if isprime[i] is True then

5: prime.pushback(i)

6: end if

7: for x in prime do

8: if i * x > N then

9: break

10: end if

11: isprime[i * x] = False

12: if i mod x = 0 then

13: break

14: end if

15: end for

16: end for

2. 數 的 質數 的 數

數 質數 2∼N 的數 的質因數

O(NlogN)

1.4 同餘

a b 同餘 m 代 m | a-b a ≡b(mod m)

1.4.1 性質

1. a≡b(mod m) and α≡β(mod m) ⇒a+α ≡ b+β(mod m) 2. a≡b(mod m) and α≡β(mod m) ⇒aα ≡ bβ(mod m) 3. ac≡ bc(mod m) ⇒a ≡b(mod m)? No.

1.4.2

同餘的 性質 c⁻¹ c⁻¹ 數 x, s.t. c∗x ≡1(mod m) 的 0∼m-1 c⁻¹ 的

x' 合 c∗x^′ ≡ 1(mod m) c⁻¹ ∗c∗x^′ ≡ c⁻¹(mod m) x≡c⁻¹(mod m)

V

1.5 習題 算數

1.4.3

cx≡ 1(mod m) cx - 1 = mk ⇒ cx - mk = 1 的 ext-gcd

ext-gcd 的 gcd(c, m) = 1 的

餘 gcd(c, m) = 1

1.4.4

Target: a^b(mod m)

: 同 的 2 | b a^b mod m = (a^b2mod m *a^b2mod m) mod m a^b mod m = (((a^b−12 mod m *a^b−12 mod m) mod m) * a) mod m

a⁰ mod m = 1

Algorithm 5Fast power

1: function power(a, b, m)

2: if b = 0 then

3: return 1 mod m

4: end if

5: if 2 | b then

6: set x = power(a, ^b₂, m)

7: return (x * x) mod m

8: else

9: set x = power(a, ^b−₂¹, m)

10: return (((x * x) mod m) * a) mod m

11: end if

12: end function

1.5 習題

1. x mod a₁ =b₁, ..., x mod a_n = b_n, x 的

2. 的 線性 ϕ(1∼N)

3. [L, R] 的質數(L, R ≤2147483647, R - L ≤2∗10⁵)

4. (Tioj 1067) N 列 數 0∼9 最

列 的數 M 互質 (N≤10³, M≤10⁴) 5. (Sgu 119) N,(A₀, B₀) 的 (A, B) 0 ≤ A, B < N

的 X, Y N|A₀X+B₀Y N|AX+BY (N, A₀, B₀ ≤10⁴)

VI

2.線性代數 算數

2 線性代數

2.1

數 的 合

的 大公 函數 的

2.2 線性組合

與 數 v₁, ..., v_n的線性組合a₁v₁+...+a_nv_n

的 的 (1, 0) (0, 1)

(1, 1) (2, 3) (1, 7) (9, 7) (2, 6)

2.3 線性

合 的線性組合

a₁v₁ +...+a_nv_n = 0 a₁ = ... = a_n = 0 合 線性

的 合 線性 的 (1, 0)

(0, 1) 的 的數

的 數 的 性質

的 的線性組合

2.4 線性

函數 T V W 合 T(x

+y)=T(x)+T(y) T(ax)=aT(x) 性質 N M

的 線性 的 合 與 M*N 矩陣的 合 的

2.5 矩陣

2.5.1

m×n 矩陣 陣列 {A_ij} 1≤ i≤ m, 1≤j ≤n

VII

2.5 矩陣 算數

2.5.2 性質

1. A, B N*M 的矩陣

∀i∈[1, N], j ∈[1, M], (A+B)_ij =A_ij +B_ij

2. A, B N*M 的矩陣

∀i∈[1, N], j ∈[1, M], (αA)ij =α(A)ij

3. A N*P的矩陣 B P*M 的矩陣

∀i∈[1, N], j ∈[1, M],(AB)_ij =

∑P

k=1

A_ikB_kj

4. 合 函數

5.

6. ? No.

7. 矩陣 I_N N*N 的矩陣 A_ij =δ_ij δ_ij = bool(i == j)

8. M N M*N 的矩陣 N*1 的矩陣

= M*1的矩陣

2.5.3

N*M 矩陣 列

N*N 的 矩陣 E^ij 矩陣 A_ij 1 餘 0

1. i, j列互 I_N −Eⁱⁱ−E^jj +E^ij +E^ji 2. i列 數 α I_N −Eⁱⁱ+αEⁱⁱ

3. i列 數 α j列 I_N +αE^ji

列 的 列的

同的 的

VIII

2.6 習題 算數

2.5.4 矩陣

N*M 矩 陣 A 的 矩 陣 A⁻¹ s.t. AA⁻¹ =

IN, A⁻¹A =IM A⁻¹ A 的 矩陣

1. A 的 A 的線性 1-1 onto

2. A 的 N=M

3. N=M AB=I_N BA=I_N

4. 的 矩陣 的

5. A B AB

6. A I_N A

的 矩陣 的矩陣

A⁻¹ 習題

2.5.5 矩陣的

矩陣的A^K 同 的

2.6 習題

1. A 的 A⁻¹

2. N M 最 線性 (N, M≤200)

3. N M 組 (N, M ≤ 200)

4. f(0) = a, f(1) = b, f(n) = f(n-1) + f(n-2), f(N) mod 10⁹ (a, b, N

≤10¹⁷) 5. N

的 K 的 (N≤ 100, K≤10¹⁷)

6. V E S K T mod 10⁹

(V ≤100, K ≤10¹⁷)

3 組合

組合 數 合特 的 的數

的

IX

3.1 排列組合 算數

3.1 排列組合

1. A, B 互 |A|+|B|

2. A, B |A| · |B|

3. n的 n! = 1×2×. . .×n−1×n n 的排列

數

4. 排列數 P_mⁿ = n!

(n−m)! n m 的 排列 數

5. 組合數 C_mⁿ = (n

m )

= n!

(n−m)!m! n m 的 數

6. (x+y)ⁿ=

∑n

k=0

C_kⁿx^ky^n−k 特 x=y= 1 2ⁿ =

∑n

k=0

C_kⁿ

7. 卡 C_mⁿ =C_mⁿ⁻¹+C_mⁿ⁻₋¹₁

3.2

3.2.1

數列的 的函數

數列的 的

3.2.2 1.

的 的

2. Dynamic Programming

3. 矩陣 ( 線性 )

線性 的函數 (矩陣) 因 矩陣的

K 的 O(N³logK)(N 矩陣的

的 數)

X

3.3 卡特蘭數 算數

3.3 卡特蘭數

Definition n×n 的 (0,0)

(n, n) 線( )

? 數 卡特蘭數

Cn={1,1,2,5,14,42,132, , ,}

卡特蘭數

線 (i, i)

1. (0,0) (i, i) 線: (1,0) (i, i−1) (

) 線的 數 C_i−1

2. (i, i) (n, n) 線: C_n−i

互 卡特蘭數 n 的 :

C_n=

∑n

1

C_i−1C_n−i

O(N²) n 卡特蘭數的 的 !

2 卡特蘭數 = 數 - 線的 數

數 C_n²ⁿ 線的 數 ? 線的 ( 線

的線) 的 線 " 線 的線"

(n−1, n+ 1) 線的 數 (0,0) (n−1, n+ 1) 的 數 C_n+1²ⁿ 合 :

Cn=C_n²ⁿ−C_n+1²ⁿ

O(N) N 卡特蘭數的

的組合數 卡特蘭數

1. n 的 數

2. n 的 數

3. n 的合 數

4. blahblahblah

XI

3.4 Exercises 算數

3.4 Exercises

1. 數列

數 K 數的

2. <TIOJ 1607> 線

T 2N 的 線的 數 mod 1000000007 的

3. <STEP5 0093>數

m 排 因

的 n 的 排

m & 排 排

(1≤n ≤15,1≤m≤90)

4. <TIOJ 1086> 的 <94 >

N 的 的 8 數O(N);

8 數O(1)

5. <TIOJ 1677> <98 (prob 1)>

( )的 ( ) ( ) ( )

( ) N K

6. <STEP5 0053> 的

N 的 k 的 數

(N ≤50, k <2³¹)

XII