100.01.06 範圍3-2 圓與直線班級二年____班姓名 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.01.06 範

圍 3-2 圓與直線 班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.若圓5x²5y²4x6y k 0與y軸相切﹐則k ____________﹒

解答 9 5

解析 當x 0 5y²6y k 0﹐∵與y軸相切﹐恰有一解

∴判別式

 

^{6 2 4 5 0 9}

D       k k 5﹒

2.過^A

 

^{2,3 且與圓C﹕x2y2 13}的切線方程式為____________﹒

解答 2x3y13

解析 ^A

 

^2,3 在圓上即為切點﹐利用切點公式得切線為2x3y13﹒ 3.兩圓C₁﹕x²y²1﹐C₂﹕



^x1

 

^{2 y2}



^24的公共弦長為____________﹒

解答 4 5 5 解析

1 2

C C

得

AB



為

x2y 1 0

﹐

△

OBM

中﹐

^{1 1}

1 4 5

OM  



﹐

2 2 1 2

1 5 5

BM  OB OM   

﹐

2 ^{4 4 5}

5 5

AB BM  

﹒

4.一圓與兩直線3x2y 1 0﹐3x2y 5 0均相切﹐且圓心在x  y 2 0上﹐則此圓的方程式為 ____________﹒

解答

2 2

6 4 9

5 5 13

x y

      

   

   

解析 圓心在3x2y20和x  y 2 0上

6

3 2 2 0 5

2 0 4

5 x y x

x y

y

 

  

 

    

  



∴圓心 6 4 5 5,

 

 

 ﹐又 1 ( 5) 1 3

13 2 13

r  

   ﹐∴圓方程式為

2 2

6 4 9

5 5 13

x y

      

   

    ﹒

5.從x²y² 25上一點A



^4,3



^{作圓的弦AP﹐當P}點在此圓上連續變動時﹐則

(1)以動弦AP之中點軌距的方程式為____________﹔(2)過A點的切線方程式為____________﹒

解答 (1)



²



^{2 3 2 25}

2 4

x y   ;(2)4x3y 25

解析 (1)^A



^4,3



^﹐設P



^{5cos ,5sin }



設AP的中點^{M x y}

 

^, _,

2 4

4 5cos

cos 5

2

3 5sin 2 3

2 sin 5

x x

y y

 

 



  

   

 

   

   

 

 

又

2 2

2 2 2 4 2 3

cos sin 1 1

5 5

x y

   ^ ^{ } ^ ^{ } 

^



^2x4

 

^{2 2y3}



^{2 25( 2)2 3 2 25}

2 4

x y   ﹒

(2)∵^A



^4,3



在圓上﹐由切點公式      

 

^{4 x 3 y 25}^4x^3y ²⁵﹒

6.點P在直線L﹕3x4y140上﹐點Q在圓C﹕x²y²2x4y 1 0上﹐則PQ的最小值為 ____________﹒

解答 3 解析

圓

C

﹕ 

^x1

 

^{2  y2}



^{2 22}

^﹐

^{O(1, 2)}

^﹐

^r2

^﹐

L

﹕

3x4y140

 

2 2

3 8 14

, 5

3 4

d O L   r

   



﹐

∴所求最小值為

^{d O L}



^,



^{   r 5 2 3}

^﹒

7.自圓x²y²2外一點P

 

1, 2 作圓的兩條切線﹐切點為A､B﹐求

(1)直線AB的方程式為____________﹔(2)設O為圓心﹐則四邊形PAOB的面積為____________﹒

解答 (1)x2y 2 0;(2) 6 解析

(1)由切點公式

    x 1 y 2 2

﹐ ∴

AB



﹕

x2y 2 0

﹒

(2)由右圖知

PO 1²2²  5

﹐

OAOB 2

﹐

∴

PAPB PO²OB²  3

﹐故

PAOB

面積為

2

△

PBO

為

2 6 2

OB PB

 

﹒

8.點P

 

4, 6 ﹐圓C﹕x²y²2x4y 4 0﹐過P作圓的切線﹐切點為A､B﹐求 (1)切線段長為____________﹔(2)△PAB外接圓方程式為____________﹒

解答 (1)4;(2)x²y²5x8y160

解析 (1)切線段長為 4²6²     2 4 4 6 4 4﹒ (2)圓心O為

 

^{1, 2 ﹐∵所求圓以}OP為直徑﹐

9.圓C﹕x²y²2x2y k 0與直線L﹕x y 5不相交時﹐k的範圍為____________﹒

解答 21 2 k 2

  

解析 (1)C﹕



^x1

 

^{2 y1}



^{2  2 k為一圓 k 2﹐圓心O為}



1, 1



﹐

(2)與x y 5不相交 d r﹐ 1 1 5 25 21

2 2

2 2

2 k k k

          ﹐

由(1)(2)知 21 2 k 2

   ﹒

10.求直線L﹕4x3y21 0 被圓C﹕x²y²10x16y550所截出的線段長為____________﹒ 解答 2 119

解析 圓C﹕



x⁵

 

² y⁸



² 55 25 64 144   圓心



5, 8



﹐r12﹐ 20 24 21

5 5

d  

  ﹐∴所求為2 r²d² 2 12² 5² 2 119﹒

11.已知坐標平面上一點P

 

4,1 ﹐圓C﹕x²y²2x4y200﹐則P到圓C的切線段長________﹒ 解答 3

解析 所求為 16 1 8 4 20     93﹒

12.直線L﹕x y 2被圓C﹕x²y² 20所截弦長為____________﹒

解答 6 2

解析

如右圖﹐設圓心為

O

﹐



^,



^{2 2 2}

   

^{20 2 2 2 6 2}

d O L 2 AB

     

﹒

13.設斜率2﹐且與圓C﹕x²y² 1相切的直線方程式為____________﹒

解答 2x y 50

解析 SOL一：設切線2x  y k 0﹐∵相切﹐∴ 1 5 5

d k     r k ﹐

∴切線方程式為2x y 50﹒

SOL二：m   

2

y

0 2(

x  

0) 1 2

²

1

2x y 50

14.平面上兩圓C₁﹕x²y²2x2y 2 0﹐C₂﹕x²y²100﹐兩圓相交於A､B兩點﹐求 (1)直線AB的方程式﹕____________﹔(2)AB ____________﹒

解答 (1)x  y 4 0;(2) 2 2 解析

(1)

AB



﹕

C₁C₂    0 2x 2y     8 0 x y 4 0

﹒

(2)設圓

C₂

的圓心為

O₂

﹐

₂, ⁴ 2 2 d O AB   2 

 ﹐∴

AB2AH 2 10 8 2 2

﹒

15.過P作圓C﹕x²y² 9兩切線﹐分別切圓C於A､B﹐已知AB



方程式為2x y 3﹐則P的坐 標為____________﹒

解答



^{6, 3}



解析 設P a b

 

, ﹐利用切點公式得AB



﹕axby9與2x y 3﹐同義(重合)

∴ 9

2 1 3 6 a b

   a

 ﹐b 3﹐∴P點坐標

  

^{a b,  6, 3}



^﹒

16.若圓x²y²axby140與直線x2y3c相切於

 

5,1 ﹐則數對



a b c, ,



之值為____________﹒ 解答



^{ 6, 10,1}



解析

 

^{5,1 代入x2y3c  5 2 3c c 1﹐}

利用切線公式過

 

^{5,1 的切線為5 1}



⁵



¹



¹



^{14 0}

2 2

x  y a x  b  y  



^{10 a x}

 

^{2 b y}

 

^{5a b 28}



⁰

        與x2y 3 0同義(重合)﹐

∴10 2 5 28

1 2 3

a b a b

     

    20 2a  2 b 2a  b 22  6 3b 10a2b5610a  b 50

解得a 6﹐b 10﹐∴數對



^{a b c, ,}

 

^{  6, 10,1}



^﹒

17.坐標平面上的圓^C:



^x7

 

^{2  y8}



^{2 9}上有____________個點與原點的距離正好是整數值﹒

解答 12

解析 設P為圓C上任一點﹐O為圓點﹐

因

^C:



^x7

 

^{2 y8}



^29

^的圓心為

^K

 

^7,8

^﹐半徑

^r3

^﹐

所以

OP

的最大值為

OK r 7²8²  3 113 3 13.

﹐ 最小值為

OK r 7²8²  3 113 3 7.

﹐

因此若

OP

為整數值﹐則

OP8

﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13﹐

若以

O

為圓心﹐分別以 8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13 為半徑畫弧﹐與圓

C

共交於 12 個點﹒因此所求的

P

點共有 12 個﹒

18.自A



3,3



作圓C﹕x²y²2x 8 0的兩條切線﹐設切點為P､Q﹐則 (1)切線的斜率為____________﹔

(2)設△APQ之外接圓方程式為x²y²axby c 0﹐則數對



a b c, ,



____________﹔

(4)以A為圓心﹐且與圓C相切的圓中﹐最大的半徑為____________﹒

解答 (1) 24

0或 7 ;(2)



^{2, 3, 3 }



^;(3)24

25;(4)8 解析

(1)設切線

^{y 3 m x}



^{ 3}



^{mx y 3m 3 0}

^﹐

圓

C

﹕ 

^x1



^{2y2 9}

^﹐圓心  

^1,0

^﹐

^r3

^﹐

∵相切﹐∴

d r 2 ²



²



²

3 3

3 4 3 3 1

1

m m

d m m

m

 

      



^{16m224m 9 9}



^{m2  1}



^{7m2 24m0}

^{7m m} ^24₇ ^^{  0 m 0}或^24₇

﹒

(2)即以

AO

為直徑﹐圓心

1,³

2

 

 

 

﹐

^{1 5}

2 2

r AO

﹐

∴圓﹕

2 2

2 3 5

( 1)

2 2

x y     

2 2

2 3 3 0

x y x y

     

﹐數對 

^{a b c, ,}

 

^{ 2, 3, 3 }

 ^﹒

(3)

sin ³

5

﹐

cos ⁴

 5

﹐ ∴

sin sin 2 2sin cos 2 ^{3 4 24} 5 5 25

PAQ   

      

﹒

(4)最大半徑

OA   r 5 3 8

﹒

19.已知圓C通過C₁﹕x²y²2x4y 1 0與直線L﹕2x  y 4 0的交點且過點B



2,1



﹐則圓 C的方程式為____________﹒

解答 x²y²2x2y 7 0

解析 設圓C﹕



^{x2y22x4y 1}



^k

^

^{2x y 4}

^

^0﹐

過^B



^2,1



        ^{2 k}

 

^{1 0 k 2}﹐

∴所求^



^{x2y22x4y 1}



^{2 2}

^

^{x y 4}

^

^{ 0 x2y22x2y 7 0﹒}

20.在坐標平面上A

 

7,8 有一光源﹐將圓C﹕x²y²4x6y120投射到x軸的影長為何﹖

解答 14 3

解析

設切線

L

﹕

^{y 8 m x}



^7



^{mx y 7m 8 0}

^﹐

圓心

O

 

^2,3

^﹐半徑

^r1

^﹐

∵相切﹐∴

^{d O L}



^,



^r

2

5 5

1 1 m m

 

 



2 2 2

25m 50m 25 m 1 24m 50m 24 0

        

  

12m2 25m 12 0 3m 4 4m 3 0

       

﹐

∴

^{4 3}

3 4

m 或

﹐∴切線

L

﹕

4x3y4或3x4y 11

﹐

0

y 

交

x

軸於

^P

 

^{1, 0}

^﹐

^{11, 0}

Q 3 

 

﹐故影長為

¹⁴ PQ 3

﹒

21.有一彎曲之障礙物其形狀為滿足參數式 1 2 cos

3 2sin x

y





  

   

 （0   ）的圖形﹐若自^P



^{8 33,h}



（h0）有一光源﹐如果光線要照到^Q



^{ 3, 3}



^﹐則h的最小值為____________﹒

解答 5 解析

參數式 1 2 cos

3 2sin x

y





  

   

 （0   ）的圖形

圓﹕ 

^x1

 

^{2 y3}



^24

^﹐

表圓心 

^{1, 3}

 ^﹐

^r2

^{的上半圓﹐}

設切線

PQ



﹕

^{y 3 m x}



^3



^{mx y 3m 3 0}

^﹐

∵相切﹐∴

2

3 3 3

2 1

m m

d r

m

  

  



^{ 2m2 }



^m21



^{2m2   1}₃ ^{m 1}₃

^﹐取

^{mPQ 1}₃ ^h_{8 3}^{3  h 3 8}

^﹐∴

^h5

^﹒

22.已知圓C﹕x²y² 2x3y 1 0﹐過P

 

2,3 作圓的割線交圓於A､B兩點﹐則PA PB ______﹒ 解答 19

解析 切割線性質：PA PB 



切線長



² ²² ³²     2 2 3 3 1 19﹒

23.設有一圓其圓心在第一象限﹐且此圓與3y4x及x軸兩直線皆相切﹒已知在x軸上的切點為

 

^{9, 0} ﹐則(1)此圓的圓心為____________﹔(2)此圓與直線3y4x的切點為____________﹒

解答 (1) 9 9,2

 

 

 ;(2) 27 36 5 , 5

 

 

 

解析 ∵與x軸相切於

 

^{9, 0 ﹐∴設圓心為}

 

^{9,r ﹐﹐}

又切4x3y0﹐∴ 36 3 9

5 2

r  r r

   ﹐∴圓心為 9 9,2

 

 

 ﹐

∴過圓心垂直4x3y0的直線為3x4y45﹐ 27

4 3 0 5

3 4 45 36

5 x y x

x y

y

 

 

 

   

  



∴切點為 27 36 5 , 5

 

 

 ﹒

24.設x､y為實數且滿足^x2



^y1



^{21﹐則3x4y} 的最大值為____________﹒

解答 9

解析 設3x4y k 3x4y k 0有最大值時相切﹐

∴ 0 4 5 1

d  k r

           k 4 5 k 4 5 k 1或9﹐

25.三直線﹕x軸﹐y軸﹐x2y 8 0所圍成三角形之內切圓的圓心坐標為____________﹒

解答



^{6 2 5, 6  2 5}



解析

設圓心 

r,r

 ﹐∵

^{2 8} 5 r r

d   r

  ^{ 3r82 }

 

^{5r 2 5r2}

 

²

2 12 16 0 6 16 36 20

r r r

         

6 2 5

   r

，取

r 6 2 5

﹐∴圓心坐標為 

^{62 5, 6 2 5}

 ^﹒

26.已知A

 

2,3 ﹐B



3, 1



兩點及圓C﹕



^x2



^{2y2 25﹐則}

(1)過點A與圓C相切的直線方程式為____________﹔

(2)過點B與圓C相切的直線方程式為____________﹒（有兩解）

解答 (1)4x3y17;(2) ^{1 12}



³



³

y  5 x 或x 解析 (1)A

 

2,3 在圓C﹕



^x2



^{2y225上﹐}

由切線公式﹐



^22



^x2



^{  3 y 254x3y17﹒}

(2)點B在圓C外﹐ 設L﹕^{y 1 m x}



^{ 3}



^{mx y 3m 1 0﹐}

∵與圓C相切﹐∴

2

2 3 1

5 1

m m

d r

m

  

  

 ^{ 5m12}



^{5 m21}



²

^{25 2 10 1 25}



^{2 1}



^{10 24 12}

m m m m m 5

         ﹐

∴兩切線為 ^{1 12}



³



³

y  5 x 或x （鉛直線）﹒

27.設圓C₁﹕



^x1

 

^{2 y1}



^21﹐圓C2﹕



^x4

 

^{2 y5}



^24﹐求

(1)兩圓外公切線的交點坐標為____________﹔

(2)若兩外公切線的夾角為 ﹐則sin ____________﹒

解答 (1)



^{ 2, 3}



^{;(2)4 6}

25 解析

(1)設外公切線交點

^{P x y}

 

^,

^{﹐切點分別是}

^A

^､

^B

^﹐

^{1 1}

2 2

1 2

O A PO

O B PO

﹐

∴

O₁

為

PO₂

之中點﹐∴

P



 2, 3

 ﹒

(2)△

O CO_{1 2}

中﹐

sin ¹ cos ^{2 6}

2 5 2 5

 

  

﹐

∴

sin 2sin cos 2 ^{1 2 6 4 6}

2 2 5 5 25

 

     

﹒

28.曲線y x



4x



與直線L﹕3x4y k 0相切﹐則k ____________﹒

解答 16 解析



4



y x x

﹐平方

 y² x



4x

 ﹐

y 0 x² y²4x0

﹐

∴曲線是圓心為

^A

 

^{2, 0}

^﹐半徑為

²

﹐位在第一象限的部分圓﹐

又∵相切﹐∴

( , ) ⁶ 2 4 16 5

d A L r k k

     或

﹐

∵

L

與部分圓相切﹐∴

L

之

y

截距為正﹐∴取

k  16

﹒