臺北市立建國高級中學第 126 期通訊解題題目解答與評析
12601
數列 an 定義如下：
1 3
a , a2 5757, 1 7( 1 2 n)
n
a a a
a n
(n2)
證明數列 an 中的各項均為整數。
【證明】 1 7( 1 2 n)
n
a a a
a n
1
7 n
n n
S S S
n
, n2
1
7
n n
S n S
n
( 7)( 6) 9 2
( 1) 2
n n
n n S
( 7)( 6) ( 1)
8 7 2 5760 n n n
( 7)( 6) ( 1) 7
n n n
由於連續7個整數中一定有一個數可以被7整數，因此當n2時，
1
Sn 均為整數，故數列 an 中的各項均為整數，得證。
【評析】本題有7人參與徵答，得到7分滿分的有2人，分別是台北市石牌國中 公奕同學、台北市麗山國中江子新同，解題過程闡明詳盡，敘事條理分 明，值得讚許；此題關鍵在於如何找出一般項，由一般項去說明每一 項都是整數，主要的方法有利用級數和與遞迴關係式，而不是用前幾 項的值所產生的規則去推測一般項的式子，這樣的作法不夠嚴謹。
12602
某遊戲有紅、黃、綠三種代幣，已知3枚紅代幣可換1枚黃代幣，3枚黃代幣可 換1枚綠代幣，3枚綠代幣可換1枚紅代幣。小偉有紅、黃、綠三種代幣各2016 枚，並將其兌換至每色代幣至多剩下2枚，求兌換結束後所有可能的結果。
【簡答】紅、黃、綠三種代幣各剩2枚。
【詳解】設有a枚紅代幣、b枚黃代幣、c枚綠代幣，
令 f a b c( , , ) a 3b9c，則在每次兌換的過程中，無論是將3枚紅代 幣換成1枚黃代幣，或是將3枚黃代幣換成1枚綠代幣，f的值均不變；
但若將3枚綠代幣換成1枚紅代幣，則f的值減少26；因此f模26不 變。
最初 f 2016 1( 3 9)0(mod 26)，
若最後剩下x枚紅代幣、y枚黃代幣、z枚綠代幣，
其中x y z, ,
0,1, 2
且x y z, , 不全為0，則x3y9z0(mod 26)。可推得x y z 2，即紅、黃、綠三種代幣各剩2枚。
【解二】（台北市石牌國中公奕同學的解法改編）
設有3x枚紅代幣換成x枚黃代幣，3y枚黃代幣換成y枚綠代幣，3z枚 綠代幣換成z枚紅代幣；
設最後紅代幣、黃代幣、綠代幣分別剩下m, n, k枚，其中m, n, k
{0,1,2}，m, n, k不全為0，
2016 3 (1)
2016 3 (2)
2016 3 (3)
x z m y x n z y k
9(1)＋(2)＋3(3)，可得13 2016 26 x9m n 3k，
9 3
1008 6
2 x m n k
因為x為正整數，所以9 3 26 m n k
為整數，
因為m, n, k{0,1,2}，m, n, k不全為0，
所以 0 9 m n 3k2 1( 3 9 )26， 故9m n 3k26，因此m n k 2， 即紅、黃、綠三種代幣各剩2枚。
【評析】1. 這一題換代幣的操作問題，按照題意操作幾次，找出紅代幣、黃代幣、
綠代幣個數的"規律性"或是"不變性"，可以得到解決此題策略。
2. 同餘是解決問題的有力方法，對數學有興趣的學生可以多學習同餘 的性質。
3. 部分同學的作答是藉由按照某個特定的順序換代幣，而得到兌換結 束後的一種結果，尚需說明不論換代幣的順序如何，都是同樣的結 果。
4. 本題參與徵答者有7人；
得7分者，2人：
臺北市石牌國中公 奕、臺北市麗山國中江子新 得6分者，2人：
新北市中山國中王 勻、新北市文山國中莊謦源 新竹市培英國中楊叮噹
得4分者，2人：
桃園市復旦國中傅彥綱 得2分者，1人：
臺中市豐陽國中曹 瑋
如圖，O點是rABC的外心，M, N分別是BC與AC的中點，AD與BE分別 是BC與AC邊上的高，證明：rOAE與rOBD的面積相等。
O
N
M
E
D C
B
A
【證明】(1) 因rAEH rBDH (AA)，得AE BD HE HD： ： 。 (2) 因AD/ /OM , BE/ /ON ，所以MON EHD。
因A, B, D, E四點共圓，得HED BAD 90 ABD； 另因MN/ / BA，所以ABD NMD 90 OMN， 得HED OMN。
因此rMON rEHD(AA)， 得HE HD OM ON： ： 。
由(1)(2)可知AE BD OM ON： ： ， 故rOAE與rOBD的面積相等。
【評析】本題參加徵答的有6位同學，其中得到滿分7分的有：
台北市中正國中黃元顥同學、台北市石牌國中公奕同學、
桃園市復旦國中傅彥綱同學、新北市文山國中陳泓恩同學。
此外尚有台北市麗山國中江子新同學、新竹市培英國中楊叮噹同學。
12604
任給一凸八邊形，試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形？
【簡答】644
【詳解】如圖，將八邊形的頂點以「●」表示、任二條對角線的交點（內點）以
「○」表示。則可將各邊及對角線交出的三角形分類如下：
H O
N
M
E
D C
B
A
類別 說明 圖例 形成條件 組合數
(1) 3頂點 C38 56
(2) 2頂點1內點 C48 4 280
(3) 1頂點2內點 C58 5 280
(4) 3內點 C68 28
由以上討論知一凸八邊形之各邊及對角線最多可交出644個三角形。
【評析】本題計有台北市石牌國中公奕同學、台北市麗山國中江子新同學、桃園市 復旦國中傅彥綱同學、新竹市培英國中楊叮噹同學參加徵答，但僅有楊
12605
設a b c d, , , 是四個任意給定的整數，令p(a b a c a d b c b d c d )( )( )( )( )( )， 求證：p是12的倍數。
【證明】因為12 3 4 ，分別依p是3的倍數與4的倍數討論。
1. a b c d, , , 是任意給定的數，則至少有兩個除以3的餘數相同，所以 p是3的倍數。
2. 考慮a b c d, , , 除以4的餘數：
(1) 若其中有兩個同餘，則p是4的倍數。
(2) 若其中任兩個都不同餘，則a b c d, , , 中有兩個偶數及兩個奇數，
不妨令a b, 是偶數，c d, 為奇數，則a b ，c d 都是偶數，
所以p是4的倍數。
另外的方式，4的倍數也可由奇偶性討論得知。
設a b c d, , , 四數不相等，考慮奇偶性，則a b c d, , , 可能為4奇、3奇 1偶、2奇2偶、1奇3偶、4偶。
(1) 4奇、4偶：(a b )與(c d )為偶數，得p是4的倍數；
(2) 2奇2偶：不失一般性，設a b, 是奇數，c d, 是偶數，則(a b ) 與(c d )為偶數，得p是4的倍數；
(3) 3奇1偶、1奇3偶：不失一般性，設d是與其他三3個不同的
則(a b )與(a c )為偶數，得p是4的倍數。
【評析】
1. 本題徵答人數共10人，得到7分者有4人，特別值得嘉許，分別是：
臺北市石牌國中公 奕、桃園市復旦國中傅彥綱、
桃園市平興國中李安蕎、新北市文山國中林澤宇。
獲得6分同學有2人：
臺北市麗山國中江子新、臺中市豐陽國中曹 瑋。
2. 本題目主要解題的方法是以3和4的倍數來討論，所有的同學解題 的方向都掌握的很清楚。第一部分，利用3的同餘，由鴿籠原理得 到p(a b a c a d b c b d c d )( )( )( )( )( )的6個因數中，必有1 個是3的倍數。第二部分，許多同學使用奇偶性來討論6個因數中 至少會出現2個是偶數而得到4的倍數，因為需要分類討論，這部 份比較容易出現說明不清楚的問題，比如未說明a b c d, , , 的選取。
