PDF 2.3 拉普拉斯展开定理

2.3 拉普拉斯展开定理

拉普拉斯展开定理

k阶子式：

矩阵 A 中任取 k 行、 k 列，位于这 k 行、 k 列交点上的 k ² 个元按原来的相对位置组成的 k 阶行列式 S, 称为 A 的 一个 k 阶子式 .

S的余子式:

在 A 中划去 S 所在的 k 行、 k 列，余下的元按原来的

相对位置组成的 n-k 阶行列式 M, 称为 S 的余子式 .

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S的代数余子式:

设 S 的各行位于 A 中第 i ₁ ,…,i _k , S 的各列位于 A 中第 j ₁ ,…, j _k 列，称

为 S 的代数余子式 .

拉普拉斯展开定理

1 1

1 1

0

2 1

2 2

0

1 2

1 1

0

1 0 1

0 1

2 0 1

0 2







 A 

例： 1 1

1 0

1  

S

1 1

0

2 1

0

1 0

1

1  M

  ₁ ^{1 3 2 3} _{1 1 ,}

1 M M

A   ^{  }  

2 2

2

1 1

1

2 1

0

2





S  0 1

0 1

2  M

  1 ^{1 3 4 2 3 5} M M .

A   ^{    } 

拉普拉斯展开定理

例如， 5 阶行列式 detA 中，取子式

54 52

24 22

a a

a S  a

则其代数余子式为

45 43

41

35 33

31

15 13

11 )

4 2 ( ) 5 2

) (

1 (

a a

a

a a

a

a a

a





 

拉普拉斯定理： 在行列式 D 中任取 k(1≤k≤n-1) 行

（列），由这 k 行（列）元所组成的一切 k 阶子式分

别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式 D.

例1(基本结论)

B B A

O A B

O A

n n m

m n

n m

m * det det

* det

det   



 



 

 

 













) (

), (det

) (det

det ₁

1

i 为方阵

t t

A A

A A

A



 

 







 







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例2. 计算

1 1 1 1

0

2 1 2 2

0

1 2 1 1

0

1 0 1 0

1

2 0 1

0 2







 D 

解. 按 1 ， 2 行展开，不为零的二阶子式为

1 1

2 , 1

1 1

1 2

2

1  

  S

S

0 ， 2

1 2

1 2

1 )

1

( ^{1 2 1 3}

1   ^{  } 

A 0 0

0 )

1

( ^{1 2 3 5}

2   ^{  } 

A

拉普拉斯展开定理

0 ， 1

1 1

2 1

2

1 2

1 )

1

( ^{1 2 1 3}

1   ^{  } 

A

0 1

1 0

1 2

0

2 1

0 )

1

( ^{1 2 3 5}

2   ^{  } 

A

所以， D = 0.

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例3. 设A, B为n阶可逆矩阵，证明如下矩阵可逆，

并求其逆：

 .



 



 

O B

A D C

解. det D  (  1 ) ^{n  n} (det A )(det B )  0 ， 所以可逆 . 为什么？

.

4 3

2 1 1

 

 



 



X X

X D X

设

拉普拉斯展开定理

.

2 1

4 2

3 1

4 3

2 1 1

 

 



 

 

 



  

 



 



 



 



 



I O

O I

BX BX

AX CX

AX CX

X X

X X

O B

A DD C

 



 















I BX

O BX

O AX

CX

I AX

CX

2 1

4 2

3 1

 



 

























2 1 1

1 4 1

3 1

B X

O X

CB A

X

A X

1 .

1 1

1 1

 

 







 _  _ ^ _



CB A

A

B D O

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) )(det

(det )

1 (

det D   ^{1  2    n  ( n  1 )  ( n  2 )    ( n  n )} A B )

)(det (det

) 1

(  ^{2  n ( n 2  1 )  n  n} A B



) )(det

(det )

1

(  ^{n  n} A B



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回忆（要非常熟悉）：

) (

), (det

) (det

det ₁

1

i 为方阵

t t

A A

A A

A



 

 







 







 







 







 

 





 







 







 







t t t

t A B

B A B

B A

A







1 1 1

1

拉普拉斯展开定理



 







 





 

 





 







k t k k

t A

A A

A





1 1

) (

,...,

1 1

为方阵 可逆

可逆的充要条件是 _{t i}

t

A A

A A

A

 







 









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

 







 





 

 





 









 

1 1

1 1

1

t

t A

A A

A





可逆

，

，

设 A ₁  A _t



 







 





 

 





 









 

1 1 1 1

1

A

A A

A _t

t





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