高等数学 高等数学 高等数学 高等数学
积 积 积 积 分 分 分 分 表 表 表 表
公 公 公 公 式 式 式 式 推 推 推 推 导 导 导 导
目 目 目 目 录 录 录 录
（一）含有
（一）含有
（一）含有 （一）含有 ax + b 的积分 的积分 的积分 的积分
（1~9）·······················································1（二）含有
（二）含有
（二）含有 （二）含有 ax
+b 的积分 的积分 的积分 的积分
（10~18）···················································5（三）含有
（三）含有
（三）含有 （三）含有 x
2± a
2的积分 的积分 的积分 的积分
（19~21）····················································9（四）含有
（四）含有
（四）含有 （四）含有 ax
2+ b ( a > 0 ) 的积分 的积分 的积分 的积分
（22~28）············································11（五）含有
（五）含有
（五）含有 （五）含有 ax
2+bx
+c
(a
>0)的积分 的积分 的积分 的积分
（29~30）········································14（六）含有
（六）含有
（六）含有 （六）含有
x2 + a2 (a > 0)的积分 的积分 的积分 的积分
（31~44）·········································15（七）含有
（七）含有
（七）含有 （七）含有 x
2 −a
2 (a
>0)的积分 的积分 的积分 的积分
（45~58）·········································24（八）含有
（八）含有
（八）含有 （八）含有 a
2 −x
2 (a
> 0)的积分 的积分 的积分 的积分
（59~72）·········································37（九）含有
（九）含有
（九）含有 （九）含有 ± a
2+ bx + c ( a > 0 ) 的积分 的积分 的积分 的积分
（73~78）····································48（十）含有
（十）含有
（十）含有 （十）含有 或 或 或 或
(x − a)(b − x)的积分 的积分 的积分 的积分
（79~82）···························51（十一）含有三角函数的积分
（十一）含有三角函数的积分
（十一）含有三角函数的积分 （十一）含有三角函数的积分
（83~112）···········································55（十二）含有反三角函数的积分（其中
（十二）含有反三角函数的积分（其中
（十二）含有反三角函数的积分（其中 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a > 0 ) )))
（113~121）·······················68（十三）含有指数函数的积分
（十三）含有指数函数的积分
（十三）含有指数函数的积分 （十三）含有指数函数的积分
（122~131）··········································73（十四）含有对数函数的积分
（十四）含有对数函数的积分
（十四）含有对数函数的积分 （十四）含有对数函数的积分
（132~136）··········································78（十五）含有双曲函数的积分
（十五）含有双曲函数的积分
（十五）含有双曲函数的积分 （十五）含有双曲函数的积分
（137~141）··········································80（十六）定积分
（十六）定积分
（十六）定积分 （十六）定积分
（142~147）····························································81附录：常数和基本初等函数导数公式
附录：常数和基本初等函数导数公式 附录：常数和基本初等函数导数公式 附录：常数和基本初等函数导数公式
·········································85说明
说明 说明 说明
·····················································································86团队人员
团队人员 团队人员 团队人员
··············································································87 bx a x
−
± −
- 1 -
（一）含有
（一）含有
（一）含有 （一）含有 ax + b 的积分 的积分 的积分 的积分
（1~9）C b ax a ln b ax b dx
ax t
C t a ln
tdt a b ax
dx
adt dx , adx dt t
t b ax
a x b b x
) ax x ( f
C b ax a ln b ax . dx
+ +
⋅ + =
+
=
+
⋅
= + =
∴
=
∴
=
≠
= +
− + ≠
= + +
⋅ + =
∫
∫
∫
∫
1
1
1 1
1 )
0 (
}
| 1 {
1 1
代入上式得：
将
，则 令
的定义域为 被积函数
证明：
C b
μ ax dx a
b ax b
ax t
C μ t
a dt a t dx b ax
adt dx , adx dt t b ax
μ C b
μ ax dx a
b ax .
μ μ
μ μ μ
μ μ
+ +
+ ⋅
= +
+
=
+ + ⋅
=
= +
∴
=
∴
=
= +
−
≠ +
+ + ⋅
= +
+ +
+
∫
∫
∫
∫
1 1
1
) ) (
1 ( ) 1
(
) 1 ( 1
) 1 (
1 ,
1) (
)
) ( 1 ( ) 1
( 2
代入上式得：
将
则 令
证明：
( )
( )
( )
( )
(
ax b b ln ax b)
C dx ab ax b x
ax t
C t ln b a t
C t a ln
b a t
t dt b dt a
a
t dt 1 b dt a
·a t
b a t bdx
ax x
adt dx , b a t x , t t b ax
a x b
| b x
ax ) x x ( f
C b ax ln b b a ax
bdx ax . x
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
⋅
− + + =
+
=
+
⋅
−
=
+
⋅
−
=
−
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
− + =
∴
=
−
=
≠
= +
− + ≠
=
+ +
⋅
− + + =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
1
1
1 1
1 1
1
1 1
) 0 (
} {
1 3
代入上式得：
将
则 令
的定义域为 被积函数
证明：
C b ax ln b b ax b b
a ax bdx ax
x
C b ax a ln b b ax bd a ax
dx b b ax
b a
C b ax a ln
x b a
b
b ax bd ax a dx b a
b
ax b d ax
b b ax a dx b b ax
abx a
C b a ax
dx b a ax
bdx ax
b dx a
b ax
abx dx a
b a ax
b dx ax
b abx b
ax dx a
b ax
x
C b ax ln b b ax b b
a ax bdx ax
x
⎥+
⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + − + + ⋅ +
+ =
+ +
= + +
+ =
+ +
−
=
+ +
−
=
+
−
= + +
+ +
= +
− +
− + +
=
+
−
−
= + +
⎥+
⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + − + + ⋅ +
+ =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
) ( 2 ) 2(
1 1
) 1 (
1
2 2
) 1 (
2 2
) 2 (
2 1
) 2 (
) 1 1 (
1 2
) 1 1 (
) 2
) ( 1
) ( 2 ) 2(
1 1
. 4
2 2
3 2
3 3 2 3
2 2
2
3 2 2 3
3 2 3
3 2
1 2 3
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
3 2
由以上各式整理得：
证明：
∵
x C b ln ax
b
b C ax ln x b
C b ax b ln x b ln
) b ax ( bd ax dx b
x b
bdx ax b dx a x dx b
) b ax ( b
a bx
b ax x
dx
b a b Ab
B Aa
b x a x b b ax
ax B x b ax x
a x b
| b x
ax ) x
x ( f
x C b ln ax b b
ax x . dx
+ +
⋅
−
=
+ +
⋅
=
+ +
⋅
−
⋅
=
+ +
−
=
− + + =
− ⋅ + =
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
=
=
⇒
⎩⎨
⎧
=
=
∴ +
+ +
= + + + =
+ + =
⋅
− + ≠
= ⋅ + +
⋅
− + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
1 1
1 1 1 1
1 1
] 1 [ 1
) (
B A 1 1
0
A B) (A B ) A(
1 A ,
) ( 1
} ) {
( 1
1 ) (
5
于是 有
则 设
的定义域为 被积函数
证明：
b log b
loga −1 =− a 提示：
- 3 -
x C b ln ax
b a bx
C b ax b ln
a x bx
b ln a
b ax bd ax b dx a x dx b
x b
a
bdx ax b dx a x dx b
x b
a b
ax x
dx
b C a
b b
a
Bb aB Ab
C Aa
b aB Ab x a
x
Cx b ax b
ax b x
ax C x
B x b ax x
a x b b x
ax x x
f
x C b ln ax
b a bx b
ax x
dx
+ +
⋅ +
−
=
+ +
⋅ +
−
⋅
−
=
+ + +
+
−
=
+ + +
− + =
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= +
= +
∴
= + + +
+
+ + +
+ + =
+ + + =
⋅
− + ≠
= ⋅
+ +
⋅ +
− + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
) 1 (
1 1 1
1 1
1 1 )
(
B 1 A 1
0 0
1 B ) (
C) (A
) B(
) (
A 1 A ,
) (
1
}
| ) {
( ) 1
(
1 ) (
. 6
2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
于是 有 即
则 设
的定义域为 被积函数
证明：
b C ax b b ax a ln
b C ax a b b ax a ln
b ax b d
ax a b b ax bd ax a
b dx ax a dx b b ax dx a
b ax
x
a B b
a B
Ab Aa
x B Ab a x
b ax b x
ax B b
ax A b
ax x
a x b
| b x
ax ) x x ( f
b C ax b b ax a ln
b dx ax . x
⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + +
=
+ + +
+
⋅
=
+ +
− + +
=
− +
= + +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
=
=
⇒
⎩⎨
⎧
= +
∴ =
= + +
⋅
+ + + =
+ + + =
− + ≠
=
⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + + + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
) ( 1
) ) (
( ) 1
1 ( 1
) (
1 1
1 )
(
A 1 0 1
) (
A
B ) A(
) , (
) (
} ) {
(
1 )
( 7
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
于是 有 即
则 设
的定义域为 被积函数
证明：
( )
b C ax b b ax ln b b a ax
b dx ax b x
ax t
t C t b ln b a t
C t a ln t b a t a
b
t dt a dt b dt a
t a dt b t
a
bt t
dx b b ax
x
t a
bt t
b t
a t b b
ax x
adt dx , b a t x , t t b ax
a x b
| b x
ax ) x x ( f
b C ax b b ax ln b b a ax
b dx ax . x
⎟⎟+
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
− + +
⋅
− + + =
+
=
+
−
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅ +
−
=
− +
− =
= +
∴ +
−
= +
= −
∴ +
=
−
=
≠
= +
− + ≠
=
⎟⎟+
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
− + +
⋅
− + + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 3
2 2
2 3
3 3
3 2
3 3
2 3 2 2
3 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 3
2 2
1 2 )
(
) 2
1 (
2 1
1 2 1
1 2
) (
2 )
( ) (
1 1
) 0 (
} ) {
(
1 2 )
( 8
代入上式得：
将
则 令
的定义域为 被积函数
证明：
C x |
b
| ax ln b · b ax b
b C
· ax b| b
|ax b ln
|x|
b ln
b dx ax b dx a b ax b dx a x b b ax x
dx
b D a
b B a A b 1
Ab
0 D Bb Aab 2
0 Ba Aa
Ab D
Bb Aab 2 x Ba Aa
x
Dx Bbx Bax
Aabx 2 Ab x
Aa
Dx b
ax Bx b
ax A 1
b ax
D b
ax B x
A b
ax x
a x b
| b x
ax ) x
x ( f
C x |
b
| ax b ln b ax b b
ax x . dx
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
+ + + −
=
+ + +
+
⋅
−
⋅
=
− +
− + + =
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= + +
= +
∴
+ + + +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ + +
+
=
+ + + +
+ =
− + ≠
=
+ + + −
+ =
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
1 ) (
1
1 1 1
1
) (
1 1
1 1 ) (
1
) (
) (
) (
) (
) (
) (
1
} ) {
( 1
1 · ) (
1 )
( 9
于是 有 则 设：
的定义域为 证明：被积函数
- 5 -
（二）含有
（二）含有
（二）含有 （二）含有 ax
+b 的积分 的积分 的积分 的积分
（10~18）C b a ax
C b
a ax b ax d b a ax
dx b ax
C b a ax
dx b ax
+ +
⋅
=
+ +
⋅ +
⋅
= + +
= +
+ +
⋅
= +
+
∫
∫
∫
3
2 1 1 2
1 3
) 3 (
2
) ( 2 1 1
1 ) 1
( ) 1 (
) 3 (
2 . 10
证明：
C b ax b
a ax
C b ax b
b a ax
dx b ax x b
ax t
C b a t
t
C a t
t b dt a
a dt b a
dt bt a t
a dt t t a
b dx t
b ax x
a t b b t
ax x a dt
dx t a
b x t
t t b ax
C b ax b
a ax dx
b ax x
+ +
⋅
−
⋅
=
+ +
⋅
− +
= + +
=
+
−
=
+
⋅
−
⋅
=
−
=
−
=
⋅
− ⋅
= +
∴
− ⋅
= +
− =
=
≥
= +
+ +
⋅
−
⋅
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
3 2
3 2
2 2 3
3 2 5 2 3 2 5 2
2 4 2 2
2 2
3 2
) ( ) 2 3 15 ( 2
) ( ] 5 ) ( 3 15 [ 2
) 5 3 15 ( 2
3 2 5
2 3
2 5
2
) 2 (
2
, 2 ,
, ) 0 (
) ( ) 2 3 15 ( 2
. 11
代入上式得：
将
则 令
证明：
[ ]
C b ax b
abx x
a a
b ax b b
abx b
x a b a ax
dx b ax x
b ax t
C bt b
a t t
C a t
t b a t b a
C a t
t b a
t b a
dt a t
dt b a t
dt b a t
dt bt t b t a t dx b ax x
a bt t b t t
a b b t
ax x
a dt dx t a
b x t
t t b ax
C b ax b
abx x
a a dx
b ax x
+ +
⋅ +
−
⋅
=
+
⋅
− +
+ +
+
⋅
= +
+
=
+
− +
⋅
=
+
⋅
−
⋅ +
⋅
=
+ + ⋅
⋅
− + ⋅
⋅ + + ⋅
⋅
=
−
−
=
− +
⋅
= +
∴
−
= +
− ⋅
= +
− =
=
≥
= +
+ +
⋅ +
−
⋅
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+ +
+
3 2
2 2 3
2 2
2 2 3 3
2
2 2
4 3 3
5 3 3 3 2 7 3
1 4 3
2 1 3
2 1 6 3
4 3 2 3
2 6
3
3 2
5 3 2
2 3 2
5 2
2 2 2
2
3 2
2 2 3
2
) ( ) 8 12
15 105 (
2
) ( 42 35
30 15
15 ) 105 (
2
) 42 35
15 105 (
2
5 4 3
2 7
2
4 1
1 4 2
1 1 2
6 1
1 2
4 2
2
) 2 2 (
2 )
(
, 2 ,
, ) 0 (
) ( ) 8 12
15 105 (
2 . 12
代入上式得：
将
则 令
证明：
C b ax b
a ax
C b a ax
b b ax b
a ax b dx
ax b x
ax t
C a t
t b a
C a t
t b a
a bdt dt a t
a dt t at
b dx t
b ax
x
a dt dx t a
b x t
t t b ax
C b ax b
a ax b dx
ax x
+ +
⋅
−
⋅
=
+ +
⋅
− +
⋅ +
⋅
= +
+
=
+
⋅
−
⋅
=
+
⋅
− + ⋅
⋅
=
−
=
− ⋅
= +
∴
− =
=
>
= +
+ +
⋅
−
⋅
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
) ( ) 2 3 (
2
) 2 (
) ( ) 3 (
2
2 3
2
2 2
1 1 2
2 2
2
, 2 ,
, ) 0 (
) ( ) 2 3 (
2 . 13
2
2 2
2 3 2
2 1 2 2
2 2
2 2
2 2
代入上式得：
将
则 令
证明：
[ ]
C b ax b
abx x
a a
C b ax b
ax b b
abx b
x a b a ax
b dx ax
x
b ax t
C bt b
a t t
C bt
t b a t
dt a t
dt b a b
dt a t
dt bt b a t
a dt t t a
b dx t
b ax
x
a dt dx t a
b x t
t t b ax
C b ax b
abx x
a a b dx
ax x
+ +
⋅ +
−
⋅
=
+ +
⋅ +
⋅
− + +
+
⋅ +
⋅
= +
+
=
+
− +
⋅
=
+
− +
=
− +
=
− +
=
⋅
− ⋅ + =
∴
− =
=
>
= +
+ +
⋅ +
−
⋅ + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
) ( ) 8 4
3 15 ( 2
) ( ) ( 10 15
) 2 (
3 ) 15 (
2
) 10 15 3 15 ( 2
3 ) 2 5
(1 2
4 2
2
) 2 2 (
2 ) 1 (
, 2 ,
, ) 0 (
) ( ) 8 4
3 15 ( 2
. 14
2 2
2 3
2 2
2 2 3
2
2 2
4 3
3 2
5 3
2 3 2 3 4 3
2 2 4 3
2 2 2
2 2 2
2 3 2
代入上式得：
将
则 令
证明：
- 7 -
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
− +
⋅ +
−
>
+ + +
−
⋅ + + =
− +
⋅ +
−
= + +
=
+
−
⋅
−
=
− +
− =
<
+ + +
−
⋅ + + =
+
=
+ +
⋅ −
=
= −
> −
= −
⋅
− ⋅ + =
∴
− =
=
>
= +
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
− +
⋅ +
−
>
+ + +
−
⋅ +
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
) 0 ( 2
) 0 ( 1
2 , 1
2
t 2
) ( 2 1 0 2
. 2
1
1
) ( 2 1 0 2
b . 1
2
2 1
, 2 ,
, ) 0 (
) 0 ( 2
) 0 ( 1
. 15
2 2 2
2 2 2
2 2
2
b b C
b arctan ax
b
b b C
b ax
b b ln ax
b b
ax x
dx
b C b arctan ax
b b
ax x b dx
ax t
C b arctan b
b dt dt t
b b t
b C b ax
b b ln ax
b b ax x b dx
ax t
b C t
b ln t
b
b dt dt t
b t
bdt t
a dt t a t
b b t
ax x
dx
a dt dx t a
b x t
t t b ax
b b C
b arctan ax
b
b b C
b ax
b b ln ax
b b
ax x
dx
得：
综合讨论
代入上式得：
将
， 时 当
代入上式得：
将
， 时 当
则 令
证明：
a C x
a ln x a a x
dx +
+
⋅ −
− =
∫
2121： 2 2
公式
a C arctan x a
a x
dx = ⋅ +
∫
+ 119： 2 2
公式
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+ + −
−
=
+ +
− +
− +
=
+
⋅ + +
− +
−
=
+ + +
− +
−
=
+
− +
−
=
+ + +
−
= +
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−
=
⇒
⎩⎨
⎧
=
=
∴ +
+ +
+ = +
+
= +
⋅
+ + −
−
= +
−
b ax x
dx b
a bx
b ax
b dx ax b x
a bx
b dx ax
b ax b x
a
dx b a ax x b bx
b dx ax
b ax b x
a
b ax xd b bx
b dx ax
b ax b x
a
d x b b ax
bdx ax b x
a
x dx b ax dx b
b ax b x
a b ax x
dx
b b a Bb
Ba A
b ax x x
b ax B b ax x b ax x
b ax x
dx b
a bx
b ax b
ax x
dx
2
1 2
1
) 2(
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1 1
B 1 A 1
0
) B(
A 1 A ,
1
2 . 16
2 1 2 2
2 2 2
于是 有
则 设
证明：
2
2 2 1
) ( 2
2 2 1
2
2 1 2
1 ,
2 1 2
2 1 2
2
2 2
2 ,
, ) 0 (
2
. 17
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+ + +
=
+
− ⋅ + +
+ + =
+
=
− ⋅ +
= + − + =
∴
∴ − + −
=
+ −
− = +
= −
= −
− ⋅ + =
∴
− =
=
≥
= +
+ +
+ + =
b ax x b dx b ax
bdx ax
a b b b ax b
ax x dx
b b ax
ax t
tdx a b b t
t
bdt b t
t x dx
b ax
bdt R t
b
bdt b t
t
bdt b t
dt b dt
t b b t
bdt t dt t a
t b t dx at x
b ax
a dt dx t a
b x t
t t b ax
b ax x b dx b ax x dx
b ax
代入上式得：
将
不能明确积分 符号可正可负
取值为
则 令
证明：
∵
- 9 -
（三）含有
（三）含有
（三）含有 （三）含有 x
2± a
2的积分 的积分 的积分 的积分
（19~21）2
) 2 1 (
1
1
2 . 18
2 1 2
2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+ + +
−
=
⋅ +
⋅ + +
−
=
+ + +
−
=
+
− + =
+ +
− + + =
−
b ax x
dx a
x b ax
adx b
x ax x
b ax
b ax x d x
b ax
d x b ax x dx
b ax
b ax x
dx a
x b dx ax
x b ax
证明：
a C arctanx a
a x
dx a
arctanx t
a arctanx t
tant a x
C a t a dt
t dt sec t a
sec a a
x dx
t sec a t tan a
dx a
x
t dt sec a tant a d π dx
π t tant a x
a C arctanx a
a x
dx
2 2
2
2 2 2
2
+
⋅ + =
=
=
∴
⋅
=
+
⋅
=
=
⋅
⋅ + =
∴
+ =
= ⋅ +
⋅
=
⋅
=
<
<
−
⋅
=
+
⋅ + =
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
1
1
1 )
1 ( 1
)
(
, 2) ( 2
1 . 19
2 2 2
2
2 2 2 2 2
代入上式得：
将
则 令
证明：
∵
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
− +
+ + +
+
−
−
−
−
+
⋅
− + − +
⋅
⋅
= −
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
− + + +
⋅
= −
= + +
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
− + + +
+ =
∴
− +
= +
− +
− + + +
= +
+
− + +
= +
+ +
= +
⋅ +
⋅
−
⋅ + −
=
− +
= + +
+
⋅
− + − +
⋅
⋅
= − +
1 2 2 2 1
2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 1
2 2
1 2 2 2
2 2
2
1 2 2 2 2
2 2
2
1 2 2
2 2 2 2
2
1 2 2
2 2
2
1 2 2 2
2
2 2 2
2 2
2
1 2 2 2 1
2 2 2 2
2
) (
) 1 ( 2
3 2 )
( ) 1 ( 2
) ) (
3 2 ) (
( ) 1 ( 2
1 )
( , 1
) ) (
1 2 ) ( (
2 1 )
( 1
) (
1 )
( ) ) (
2 1 (
) (
2 1 )
( 2 1 ) (
) 2 (
) (
) 2 (
) (
2 ) (
) ) (
(
) (
1 )
( ) (
) (
) 1 ( 2
3 2 )
( ) 1 ( 2 ) (
. 20
n n
n n
n
n n
n
n 2
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
n
n n
n
a x
dx a
n n a
x a n
x
a x n dx
a x
x a
n a
x n dx
n
a x n dx a
x x dx na
a x
a dx 2na x
a x
x a
x n dx
a dx na x
a dx n x
a x
x
a dx x
a a n x
a x
x
a dx x n x a
x x
dx x a
x n a x
x x
a d x
a x x
x a
x dx
a x
dx a
n n a
x a n
x a
x dx
则 令
移项并整理得：
证明：
a C x
a ln x a
C a x a ln a x a ln
adx x dx a
a x a
a dx x a x a a
x dx
a C x
a ln x a a x
dx
+ +
⋅ −
=
+ +
⋅
−
−
⋅
=
− +
= −
− +
= −
−
+ +
⋅ −
− =
∫
∫
∫
∫
∫
2 1
2 1 2
1
1 2
1 1
2 1
1 ] [ 1
2 1
2 1
. 21
2 2 2 2
证明：
- 11 -
（四）含有
（四）含有
（四）含有 （四）含有 ax
2+ b ( a > 0 ) 的积分 的积分 的积分 的积分
（22~28）) 0 ( 2
1
) 0 ( 1
2 , 1
2
1
1 2
1
) (
1 1
1 ) (
1 1
) ( 1 0 1
. 2
1
1 C
) (
1 1
1 ) (
1 1
1 0 1
b . 1
) ( ) 0 ( 2
1
) 0 ( 1
. 22
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
− + +
⋅
−
−
⋅ ⋅
−
>
+
⋅
⋅ + =
+
− +
⋅
−
−
⋅ ⋅
−
=
+ + −
− −
⋅
⋅
−
=
−
− + =
∴
⋅
−
−
=
⋅
−
− + =
<
+
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
=
+ + =
∴
⋅ +
=
⋅ + + =
>
>
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
+
− +
⋅
−
−
⋅ ⋅
−
>
+
⋅
⋅ + =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
b b C
x a
b x
ln a ab
b C b x
arctan a ab
b ax
dx
b C x
a
b x
ln a ab
C a x b
a x b a ln a
b
dx a x b
b a ax
dx
a a x b
a a x b
b b ax
C b x
arctan a ab
b x arctan a b
a a
dx a x b
a b ax
dx
a a x b
a a x b b ax
0 a b
b C x
a
b x
ln a ab
b C b x
arctan a ab
b ax
dx
得：
综合讨论
， 时 当
， 时 当
证明：
C b ax a ln
b ax bd ax a
bdx dx ax
b ax
x
a C
b ax a ln bdx
ax x
2 2
+ +
⋅
=
+ +
=
= + +
>
+ +
⋅ + =
∫
∫
∫
∫
2 1
) 1 (
2 1
1 2 1
) 0 ( 2
1 . 23
2 2
2 2
2 2
证明：
