Numerical Solution Of Differential Equations

ةيلضافتلا تلاداعملل يددعلا لحلا

Numerical Solution Of Differential Equations

مهف يف ةماهلا ةيضايرلا تاودلأا نم ةيلضافتلا تلاداعملا ربتعت اهتيمها تدتمإ دقو ةيعامتجلإاو ةيسدنهلاو ةيئايزيفلا لئاسملا نم ديدعلا

ي ام رهظو ةيداصتقلإا مولعلا لوقح يلا ًارخوم ةجذمنلاب يمس

:ةيلضافتلا تلاداعملا نم ناعون كانهو،ةيضايرلا )1

ةيداعلا ةيلضافتلا تلاداعملا

Ordinary Differential Equations (ODEs) ةيئزجلا ةيلضافتلا تلاداعملا )2

Partial Differential Equations

(PDEs) لع يوتحت ةيداعلا ةيلضافتلا ةلداعملاف امأ دحاو لقتسم ريغتم ي

ةلقتسملا تاريغتملا نم ددع يلع يوتحت ةيئزجلا ةيلضافتلا ةلداعملا ةرارحلا ةجرد لثم(

) , (x t

عضوملا يلع دمتعت ثيح u

نمزلاو x

.)t

زمرلاب ةيلضافتلا ةلداعملل زمرن

) 1

y(

dx y

ةغيصلاب نوكي اهلحو dy

cⁿ ثيح ةيلضافتلا تلاداعملا نم عونلا اذه لمشيو ،تباوث نع ةرابع

:نيفنص يلع

) ,..., , ,

(x c₁ c₂ c_n g

y

)1 ةيئادتبلاا ميقلا لئاسم Initial Value Problem

:

عونلا اذه يف يئادتبإ طرش ةيلضافتلا ةلداعملل نوكت لئاسملا نم

( initial Condition او تاريغتملل )

لثمي يئادتبلإا طرشل

.ةيلضافتلا ةلداعملا لح لثمت يتلا ةلادلا اهب رمت يتلا ةيئادتبلإا ةطقنلا )2 ةيدحلا ميقلا لئاسم Boundary Value Problem

:

يئادتبإ طرش ةيلضافتلا ةلداعملل نوكي لئاسملا نم عونلا هذه يف

هذه لثمتو لقتسملا ريغتملل ةرتفلا ةياهن دنع نيعم طرشو طورشلا

.ةيلضافتلا ةلداعملا لح لثمت يتلا ةلادلا امهب رمت نأ بجي نيتطقن لحل ةمدختسملا ةيددعلا قرطلا ضعب لوانتن ءزجلا اذه يف

يتلا يلولأا ةجردلا ةلداعم يلع نيرصتقم ةيداعلا ةيلضافتلا ةلداعملا :ةغيصلا يلع نوكت

) , (x y dx f

dy

يئادتبلإا طرشلا تاذ

0 0) (x y y

عباتلا ريغتملا ةفرعم يلع ةيددعلا قرطلا دمتعت ءدبلا ةظحل يف y

x0

مث

بسحن ذإ ةوطخ ةوطخ ةطقنلا هذه نم قلطنن

y1

لجأ نم

h x0

و

y2

لجأ نم

h x₁ 2

لثمت ثيح هذخأت يذلا دئازتلا h

ةغيصلاب فرعيو x

M a h b

.

- رليوأ ةقيرط Euler's Method تباثلا ءاطعإ يلع ةقيرطلا هذه دمتعت

نكمي ثيحب ةريغص ًاميق h

دودح فذح يوحي يذلا دحلا نم ًاءادتبإ رليات ةلسلس

)

! ( 2

2

x h y

نم

ةطقنلل رليات ةلسلس

) (x h

: يتلأاك فرعي يذلاو

.

) 2 (

.... ! ...

)

! ( ) 2 ( ) ( )

( ⁿ

n

n y x h

h y x y h x y h x y

دحلا نم ًارابتعإ دودحلا فذحبو

)

! ( 2

2

x h y

:نأ جتني

) , ( ) ( ) ( )

( )

(x h y x hy x y x hf x y

y

دبن ةطقنلا نم أ

) , (x₀ y₀

:نأ جتني هلاعأ ةقلاعلا يف ضيوعتلابو

1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 )

, (

) ( 2 ) (

) 2 (

) ( ) (

) (

1

0 0

0 2

0 0

0 1

M n

y x hf y y

x y h x y

h x y y

x y h x y

h x y y

n n n

n

:يه رليوأ نوناقل ةماعلا ةغيصلا نأ يأ

:لاثم ةيلضافتلا ةلداعملل يبيرقتلا لحلا دجوأ

y x

ثيح y 0

) 0 ( y

ذخ

2 . 0

ةرتفلا يف h ]

1 , 0

. [

لحلا :

نوناقلا مادختسإب

) 1

(

طرشلا نمو

0 ) 0 y(

جتني

0

0 ₀

0 y

x

نأ دجن نوناقلا يف ضيوعتلابو

747 . 1 ) 489 . 0 8 . 0 ( 2 . 0 48 . 0 ) (

2 . 0

274 . 0 ) 128 . 0 6 . 0 ( 2 . 0 128 . 0 ) (

2 . 0

128 . 0 ) 04 . 0 4 . 0 ( 2 . 0 4 . 0 ) (

2 . 0

4 . 0 ) 0 2 . 0 ( 2 . 0 0 ) (

2 . 0

0 ) (

2 . 0 ) , (

4 4 4

5

3 3 3

4

2 2 2

3

1 1 1

2

0 0 0

1

0

y x y

y

y x y

y

y x y

y

y x y

y

y x y

y

nh nh x x y

x y x

f _{n n n n n}

) (

2 .

1 n 0 n n

n y x y

y n x_n 0.2 n

1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 )

, (

0 1

M n

nh x x when

y x hf y y

n

n n n

n

(1)

0 0

0

0.04 0.2

1

0.128 0.4

2

0.271 0.6

3

0.489 0.8

4

1.747 1

5

:لاثم يئادتبلإا طرشلا ةلاسمل يبيرقتلا لحلا دجوأ

1 ) 0 ( 1

0

1 x and y

x y y

حيحصلا لحلاب هنراق مث

ex

x y

دصقن(

نيب قرفلل ةقلطملا ةميقلا لثميو بكترملا أطخلا داجيإ ةنراقملاب

نأ يأ ) يبيرقتلا لحلاو حيحصلا لحلا

1

1 n

n z

y E

:لحلا

هاندأ لودجلا يف ةحضوملا ةيبيرقتلا ميقلا يلع لصحتن اذكهو

) (

2 .

1 n 0 n n

n y x y

n y n x

01 . 1 ) 1 1 . 0 1 ( 1 . 0 1 ) 1 (

1 . 0

1 ) 1 0 1 ( 1 . 0 1 ) 1 (

1 . 0

) 1 (

1 . 0

1 )

, (

1 . 10 0

0 1

1 1 1

2

0 0 1

1 1

0

x y y

y

x y y

y

x y y

y

x y y

x f

n a h b

nh x x

n n n

n

n n n

n n

1 0

0

1.01 0.1

1

1.029 0.2

2

1.016100 0.3

3

1.90490 0.4

4

1.131441 0.5

5

1.78297 0.6

6

1.230467 0.7

7

1.287420 0.8

8

1.348578 0.9

9

حيحصلا لحلاو ييرقتلا لحلا نيب ةنراقمللو

) (

1 ⁿ

x n

n x e

z

40818 . 10 3

. 0

018731 .

1 2

. 0

04837 . 1 1

. 0

1 0

) 3 . 0 ( 3

4

) 2 . 0 ( 2

3

1 . 0 1

2

0 0

1

3 2 1 0

e e

x z

e e

x z

e e

x z

e e

x z

x x x x

ذكهو ةحيحصلا ميقلا ةيقب يلع لصحتن ا

1

1 n

n z

y Error

n 1 1 z

yn

n

0.00000 1

1 0

0.03837 1.04837

1.01 1

0.0217631 1.048731

1.029 2

0.024718 1.040818

1.016100 3

0.16542 1.070320

1.90490 4

0.066131 1.06531

1.131441 5

0.634158 1.148812

1.78297 6

0.033883 1.196585

1.230467 7

0.038091 1.249329

1.287420 8

0.042008 1.306570

1.348578 9

ةعبارلا ةبترلا نم اتوك جنر ةقيرط Runge-Kutta Method of order 4 (R.k.4) ةريغص ةوطخ يلا جاتحت اهنوكل ًايلمع لمعتست لا رليوأ ةقيرط نإ

ةميق(

ةقيرطو ،ةلوقعم ةقد يلع لوصحلل )ةريغص نوكت نأ بجي h

ةيلضافتلا تلاداعملا لحل ماع بولساك ةبوغرم ريغ ايلعلا بترلا نم رليات ةلادلل ةريثك تاقتشم يلا جاتحت اهنلأ

) (x

نم ربتعتف اتوك جنر ةقيرط امأy

يهف ةيلضافتلا تلاداعملل يبيرقتلا لحلا داجيإ يف ةمدختسملا قرطلا مهأ

ةلادلل قاقتشإ يلا ةجاحلا بنجت عم ةيلاع ةقد يلع لوصحلا نم انكمت

) y(x

ةلادلا ضيوعت يلع دمتعتو

) , (x y

ةراتخم طاقن يف f

لاداعم ةعبارلا ةبترلا نم اتوك جنر ةقيرط ت (R.k.4)

ةروصلاب فرّعُت

:ةيتلأا

ثيح

) ,

(

2 ) , 1 ( 2

2 ) , 1 ( 2

) , (

3 4

2 3

1 2

1

hk y h x hf k

k h y

x hf k

k h y

x hf k

y x hf k

n n

n n

n n

n n

:لاثم ةقيرط مادختسإب

R.K.4 طرشلا ةلاسمل يبيرقتلا لحلا دجوأ

يئادتبلإا

1 . 0 1

) 0 (

1 0

1 h y

x x

y y

لحلا :

) 2

2 6( 1

4 1

1 y k k k k

y_{n n n n}

1( )

اب اتوك جنر تلاداعم ةباتك نكمي :ةيتلأا ةروصل

) 2 ( )

2 2

6( ^{1 2 3 4}

1 h k k k k

y y_{n n}

ثيح اتوك جنر تلاداعم قيبطتب

1 )

,

(x y y x

f

جتني

) ,

( ₃

4 x h y hk

k _{n n}

) ,

(

2 ) 2,

(

2 ) 2,

( ) , (

3 4

2 3

1 2

2 1

hk y h x f k

hk h y

x f k

hk h y

x f k

y x f k

n n

n n

n n n

1 ) 2)(

1 2)(

1 (

1 2) 1 ( 2) 1 2(

]) 1 2) 1 ( ) 2 1 2[(

2, (

) 1 2(

2, (

1

3 2 1

n n n

n n

n n

n n n

n n n

y h x

h

h x h y

h

h x h y

y h x h

f k

x h y

h y x f k

x y k

9 ,..., 3 , 2 , 1 , 0

1 1

) 2))(

1 2( 1

4 (

n each for

h x y

h x h h

y

k _{n n n n}

دنع ًلاثم

n 0

0525 . 0 19525 . 0 1

09525 . 0 1 ) (

9525 . 0

05 . 0 ) 1 95 . 0 95 . 0 (

0 1

4 3 2

0 0 1

k

y x k

x y

k

x y k

n n

n n

ةلداعملا يف ميقلا هذه ضيوعتبو

) 2

2

6( ^{1 2 3 4}

1 h k k k k

y y_{n n}

يلع لصحتن

ميقلا ضعب لثمي هاندأ لودجلاو ميقلا يلع لصحتن نأ عيطتسن اذكه ميقلا ةيقب داجيإ لواح ةبوسحملا

1

yn

xn

1.00000 0

1.0048375000 0.1

1.187309014 0.2

.……

0.3

0048375009 .

1

) 09525 . 0 ) 09525 . 1 ( 2 05 . 0 2 0 6 (

1 . 0 0

) 2

2

6( ^{1 2 3 4}

0

1 h k k k k

y y

ةيلضافتلا ةلداعملل حيحصلا لحلا :لاثم

3 2y x

y

وه

12 6 13e ^/2 x

y ^x

ةيئادتبلإا ةميقلاب ةلداعملل يبيرقتلا لحلا دج

1 ) 0 ( y

ذخأبو

1 . 0

ةرتفلل h 1

0 x

.ةرتفلا ناصقنب دادزت ةقدلا نأ تبثاو لحلا

ثيح اتوك جنر تلاداعم قيبطتب

2 / 3 ) ,

(x y x y

:حبصت f

06625 . 0 ) 025 . 1 , 05 . 0 ( 2 )

, 1 ( 2

05 . 0 ) 1 , 0 ( ) , (

1 0 0

2

0 0 1

hf k h y

x hf k

hf y x hf k

اتوك جنر ةلداعم يف ميقلا هذه ضيوعتبو

حيحصلا لحلا نمو

12 6 13e ^/2 x

y ^x

ةطقنلل ةحيحصلا ةميقلا دجن

y1

ةميق ضيوعتب

x1

يه

6 0665242486 .

1 ) 1 . 0 y(

ةينامث يلا ةقدلا لصت يأ

ذخأب ةيونعم ماقرأ

1 . 0

ةميق ةنراقمبو h

عم حيحصلا لحلا نم ةجتانلاy

0833328 .

0 ) 06665625 .

1 , 1 . 0 ( ) ,

(

6665625 .

0 ) 033125 . 1 , 05 . 0 ( 2 )

, 1 ( 2

3 0 0 4

2 0 0

3

hf k y h x hf k

hf k h y

x hf k

6 0665242185 .

1

) 083328 .

0 6665625 .

0 2 06625 . 0 2 05 . 0 6( 1

) 2

2 6(

0 1

4 3 2 1 1

y y

k k k h k

y y_{n n}

ةميق ةرتفلا ةميق دايدزإب يددعلا لحلا نم ةجتانلاy

ةميق نأ ظحلانh

هاندأ لودجلا يف حضوم مك دادزي أطخلا

ةميق اتوك جنر ةقيرطبy

ةميق حيحصلا لحلا نم y

ةرتفلا اتخملا

ةر

h

y(0.1)=1.06652421 856

Z(0.1)=1.066652424 86

1 . h 0

y(0.2)=1.16722083 33

Z(0.2)=1.16722193 718

2 . 0 h

y(0.4)=1.4782 Z(1.4)=1.478235859

39

4 . h 0

:لاثم ةيلضافتلا ةلداعملا لحل ةعبارلا ةبترلا نم اتوك جنر ةقيرط مدختسإ

2 ) (x y y

ةرتفلا يف

] 3 , 0

يئادتبلإا طرشلاو [

y(0)=1 يقبو

8 م

,1 4 ,1 2 ,1 h 1

مث ،

حيحصلا لحلاب ةجيتنلا نراق

x e

y 3 ^x/2 2

.

:لحلا اتوك جنر تلاداعم قيبطتب

) 2

2

6( ^{1 2 3 4}

1 h k k k k

y y_{n n}

ثيح

:يلع لصحتن

3234863 .

2 0

)) 4121094 .

0 ( 25 . 0 1 ( 25 . 0

4121094 .

2 0

)) 5 . 0 )(

5 . 0 ( 25 . 0 1 ( 125 . 0

40625 . 2 0

)) 5 . 0 )(

5 . 0 ( 25 . 0 1 ( 125 . 0

5 . 2 0

0 . 1 0 . 0

4 3 2 1

k k k k

2 ) 2,

( ) , (

1 2

1

hk h y

x f k

y x f k

n n

n n

) ,

(

2 ) 2,

(

3 4

2 3

hk y h x f k

hk h y

x f k

n n

n n

دنعو

n 0

8974915 .

0 ) 3234863 .

0

) 4121094 .

0 ( 2 ) 40625 . 0 ( 2 5 . 0 ( 04167 . 0 0 . 1

) 2

2 6 (

25 . 0

1

4 3 2 1 0

1

y

k k k k y

y

كهو :ةبوسحملا ميقلا حضوي هاندأ لودجلاو ميقلا ةيقب يلع لصحتن اذ

1

zn n 1

y

xn 8

h 1 4

h 1 2

h 1 1

h

1.0 1.0

1.0 1.0

1.0 0

0.94323 92 0.94323

92 1.12

5

0.89749 17 0.89749

08 0.897491

5 0.25

0.86208 74 0.86208

74 0.37

5

0.83640 23 0.83640

24 0.836440

37 0.83642

58 0.50

0.81186 78 0.81186

79 0.811869

6 0.75

0.81959 20 0.81959

21 0.819594

0 0.81962

85 0.82031

25 1.00

0.91709 97 0.91709

98 0.917102

1 1.91714

23 1.50

1.10363 83 1.10363

85 1.103640

8 1.10368

26 1.10451

25 2.00

1.35951 44 1.35951

45 1.359516

8 1.35955

75 2.50

1.66939 05 1.66939

06 1.669392

8 1.66943

08 1.67018

60 3.00