vii

vii Abstract

In this report we introduce and then study a maximal operator M_k,n that generalizes the classical one introduced by Hardy and Littlewood in the rank one case.

More precisely, fork ≥0and an integern ⩾1,

M_k,nf(x) = sup

r>0

1 µ_k,n(]−r.r[)

Z

R

f(y)τ_x^k,n(χ_r;y)dµ_k,n(y) ,

where the measure µ_k,n is given by dµ_k,n(y) = |y|^2k+n2−2dy, and τ_x^k,n is a certain translation operator.

The main result is to prove the weak (1,1) inequality and the strong (p, p) inequality forM_k,n,with1< p ≤ ∞.The approach uses geometric and analytic tools.

One of the major technical obstacles is the lack of known properties of the translation operatorτ_x^k,n.The strategy is to introduce an uncentered maximal operator associated to intervals of typeI(x, r) =] max{0,|x|ⁿ¹ −rⁿ¹}ⁿ,(|x|ⁿ¹ +r¹ⁿ)ⁿ[ which controls the maximal operator M_k,n.To do so, one needs to prove a Vitaly type covering lemma for the intervals

I(x_j, r_j) _j together with a sharp estimate for µ_k,n(I(x_j, r_j)). The main result generalizes the casen= 1proved by Deleaval, and the casen= 2proved by Ben Said and Deleaval.

Keywords: Hardy-Littlewood maximal operator, Generalized Fourier transform, Vitali type lemma, Strong and Weak type inequalities, Convolution structure, Translation operator.

Title and Abstract (in Arabic)

دوولتيل و يدراهل ىصقلأا لماعملا نع صخلملا

ملا سردن مث مدقن ،ريرقتلا اذه يف لماع

( ىصقلأا 𝑀_𝑘,𝑛

يدراه همدق يذلا يكيسلاكلا لماعملا ممعي يذلا )

ل ،قدأ ريبعتب .ىلولأا ةلاحلا يف دوولتيلو و حيحص ددع يأ(𝑁)

،رفصلا يواسي وأ ربكأ ددع يأ(𝑘) 𝑀_𝑘,𝑛𝑓(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝

𝑟>0

1

𝜇𝑘,𝑛(] − 𝑟, 𝑟[)|∫ 𝜏𝑥𝑘𝑛(𝜒_𝑟; 𝑦)

ℝ

𝑑𝜇_𝑘,𝑛(𝑦)|,

ثيح ( سايقملا 𝜇_𝑘,𝑛

) ي ( لكشب ىطع 𝑑𝜇_𝑘,𝑛(𝑦) = |𝑦|^{2𝑘+𝑛2−2}𝑑𝑦

( و ) 𝜏_𝑥^𝑘𝑛 ةجيتنلا .نيعم ليوحت لماعم وه )

ةفيعضلا ةنيابتملا تابثإ يه ةيسيئرلا (1,1)

ا ةنيابتملاو ةيوقل

(𝑃, 𝑃) . (1 < 𝑃 ≤ ∞) ـل

ةيسدنه تاودأ جهنلا مدختسي

ليوحتلا لماعم صئاصخ ةفرعم مدع يف ةيسيئرلا تابقعلا ىدحإ لثمتت .ةيليلحتو

𝜏_𝑥^𝑘𝑛 ( ) . لماعم لاخدإ يه ةيجيتارتسلاا

عونلا نم تارتفب طبترم يزكرم ريغ ىصقأ 𝐼(𝑥, 𝑟) = ] 𝑚𝑎𝑥 {0, (|𝑥|^𝑛1− 𝑟^1𝑛)

𝑛

} , (|𝑥|^1𝑛+ 𝑟^1𝑛)

𝑛

[

و يف مكحتي يذلا ىصقلأا لماعملا

. عون نم ةيرظن تابثإ ىلإ جاتحن ،كلذب مايقلل

"

Vitaly

"

( تارتفلل {𝐼(𝑥𝑗, 𝑦_𝑗)}_𝑗 )

صولل و ( تارتفلا سايقمل قيقد ريدقتل ل 𝜇_𝑘,𝑛(𝐼(𝑥_𝑗, 𝑦_𝑗))

ةلاحلا ممعت ةيسيئرلا ةجيتنلا .) (𝑛 = 1)

رلسور اهتتبثأ ،

ةلاحلاو (𝑛 = 2) أ

لافيليدو ديعس نب اهتبث .

ميهافم :ةيسيئرلا ثحبلا

دوولتيل و يدراهل ىصقلأا لماعملا

، ممعملا هييروف ليوحت

، يلاتيف ةيرظن

، ليوحتلا لماعم ،

.ةيوقلاو ةفيعضلا تانيابتملا

viii