II
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNGÚNG DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN THỤC TÊ TRONG CHƯUNG TRÌNH ĐẠI sô LỚP 10
HuỳnhNgọc Diễm*
* ThS. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một. Bình Dương
ABSTRACT
The article presents the application of mathematical modeling to solve real-life problems in the grade 10 Algebra program.
Keywords: Mathematical modeling, modeling, practical problems, Grade 10 Algebra.
Received:11/01/2022; Accepted:18/01/2022; Published: 20/2/2022
1. Đặt vấn đề
Trong Chương trình Giáo dục phô thông 2018 của Bộ Giáo dục và đào tạo đã nêu rõ mục tiêu của môn Toán cấp trung học phổ thông như sau: “Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình hóa để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hóa được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học”. Môn Toán góp phần hình thành và phát triên cho học sinh năng lực toán học (biêu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ. phương tiện học toán. Chúng ta thấy rằng năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực toán học của học sinh trung học phổ thông cần đạt được trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán. Mô hình hóa toán học
được học sinh thể hiện ở chỗ: biết lựa chọn, thiết lập được mô hình toán học bao gồm: công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ,... phù hợp với tình huống được đặt ra trong bài toán thực tế; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập và nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tế.
Bên cạnh đó, việc tăng cường mối liên hệ giữa toán học và thực tế được xem là một trong những định hướng xuyên suốt trong quá trình dạy học môn Toán ở cấp trung học phổ thông, nó giúp cho học sinh có những hiểu biết tương đối về các ngành nghề gắn với môn Toán và giúp học sinh có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
Bài viết đề cập đến việc vận dụng mô hình hóa toán học giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình Đại số lớp 10.
2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lý thuyết
Phần lý thuyết tôi trình bày lại nội dung đã tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3].
Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình nhưng có thể hiểu một cách chung nhất thì mô hình dùng đế mô tả một tình huống thực tiễn nào đó nhằm hướng tới một mục tiêu nhất định.
Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên, chuyên ngành kỹ thuật và trong cả khoa học xã hội.
Mô hình hóa trong dạy học Toán là phương
Ĩ8 . TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 260 kỳ 1 - 3 / 2022
NGHIÊN CỨU ỨNG DỰNG
II
pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống xuất phát từ thực tiền bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, từ đó vận dụng kiến thức, kỹ năng toán học để giải quyết bài toán đặt ra.
Mô hình hóa toán học giúp học sinh phát triển sự thông hiểu giữa các khái niệm và quá trình toán học; phát triển các kỳ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao. Do vậy, giáo viên càn đưa ra các loại bài tập gắn với hoạt động mô hình hóa như:
bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong sách giáo khoa hoặc trên mạng Internet, bài toán liên quan kinh tế,...
* Quy trình mô hình hóa
Mô hình hóa các tình huống thực tế trong dạy học Toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ký hiệu,... Mô hình hóa là quy trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó và có thể được coi là một quy trình khép kín, kết quả của nó dùng để giải thích mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn, kết quả lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tế. Mô hình hóa theo quy trình gồm 4 giai đoạn chính sau:
- Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề.
- Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố thông qua ngôn ngữ toán học. Từ đó, phác họa mô hình toán học tương ứng.
- Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù họp để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.
- Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.
Đe vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học môn Toán, giáo viên có thể thiết kế và tổ chức các hoạt động mô hình hóa các bài toán theo các bước sau đây:
- Bước 1 (toán học hóa): Phân tích vấn đề thực tiễn, đơn giản hóa vấn đề bằng cách loại bỏ những yếu tố không bản chất để mô tả và diễn đạt lại vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học (nêu được bài toán).
- Bước 2 (giải bài toán): Sử dụng các công cụ toán học và phương pháp giải toán phù hợp đê giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.
- Bước 3 (hiểu và thông dịch): Hiểu và trình bày ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tế (bài toán ban đầu).
- Bước 4 (đối chiếu thực tế): Xem xét lại vấn đề hoặc bài toán đã nêu ở Bước 1 cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tế để cải tiến mô hình (bài toán hoặc vấn đề) đã xây dựng.
Như vậy, để tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, chúng ta cần xuất phát từ tình huống thực tế, diễn đạt vấn đề thực tế bằng lời (lập giả thuyết, công thức, phương trình,...); sau đó, sử dụng công cụ toán học để giải bài toán và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán trong thực tế; cuối cùng, xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả), tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp khi áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tế.
Sau đây, tôi sẽ minh họa mô hình hóa toán học thông qua một số bài toán thực tế:
2.2. Một sổ bài toán thực tế trong Chương trình Đại số 10 vận dụng mô hình hóa Toán học
2.2.1. Bài toán 1
Một trang trại rau sạch mồi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000 đồng/kg thì hết rau sạch, nếu giá bán cứ tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm 20 kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?
Giải
Thực hiện các bước trong hoạt động mô hình hóa toán học ta có bài giải của bài toán như sau:
Ta có: 1 tấn = 1000 kg.
Gọi X (lần) là số lần trang trại tăng giá rau sạch trong một ngày.
Điều kiện: X eN*.
Khi đó, giá bán một kilôgam rau sạch của
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 260 kỳ 1 - 3 / 2022. 79
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
trang trại sau khi tăng giá trong một ngày là 30000 + lOOOx (đồng); số kilôgam rau thừa sau khi tăng giá trong một ngày là: 20.X (kg); số kilôgam rau trang trại bán được sau khi tăng giá trong một ngày là 1000 - 20x (kg).
Tiền bán rau của trang trại sau khi tăng giá trong một ngày:
7; = (1000 - 20x) (30000 +1000x)(đồng) Tiền bán rau thừa của trang trại sau khi tăng giá trong một ngày:
T, = 2000.20X (đồng)
Tong số tiền trang trại thu được trong một ngày:
T= T} + T2 = (1000-20x) (30000+ 1000x)+
2000.20X
= -20000X2 + 440000X + 30000000 Đặt y(x) = -20000x2+ 440000x+ 30000000 với điều kiệnx e N *.
Đây là hàm số bậc hai có a = -20000 < 0 nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh I có hoành độ X =
11 (thỏa điều kiện X e N*).
Vậy trang trại cần tăng giá 11 lần mồi ngày để thu được tiền bán rau nhiều nhất, tổng số tiền trang trại nhận được sau khi tăng giá 11 lần là 32420000 đồng.
2.2.2. Bài toán 2
Doanh nghiệp tư nhân Phát Tài chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Vision với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua ưong một năm là 600 chiếc. Nhàm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mồi chiếc xe thì số lượng xe bán ra ưong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là cao nhất?
Giải
Thực hiện các bước trong hoạt động mô hình hóa toán học ta có bài giải của bài toán như sau:
Gọi X (triệu đồng) là giá giảm mỗi chiếc xe Vision so với giá bán hiện tại (điều kiện: 0 < X < 4).
Khi đó giá bán mới một chiếc xe Vision của doanh nghiệp là: 31 - X (triệu đồng), số chiếc xe Vision bán ra sẽ tăng: 200.X (chiếc).
Tổng doanh thu của doanh nghiệp trong một năm đối với loại xe Vision: 7? = (31 - x) (600 + 200x)
Chi phí của doanh nghiệp trong một năm đối với loại xe Vision: c = 27(600 + 200x)
Lợi nhuận của doanh nghiệp trong một năm đối với loại xe Vision:
L = (31 - x)(600 + 200x) - (600 + 200x)
= -200x2 + 200x + 2400 Đặty(x) = -200x2 + 200x + 2400 với điều kiện 0 < X < 4.
Đây là hàm số bậc hai có a = - 200 < 0 nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh I có hoành độ
X = - (thỏa điều kiện 0 < X < 4).
2
Vậy doanh nghiệp cần giảm giá mồi chiếc xe 0,5 triệu đồng (500000 đồng) tức doanh nghiệp sẽ bán với giá 30,5 triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất, lợi nhuận khi ấy của doanh nghiêp là 2450 triệu đồng.
3. Kết luận
Trên đây, tôi đã trình bày lại nội dung lý thuyết và một số bài toán thực tế vận dụng mô hình hóa Toán học để giải quyết. Bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự trao đổi, đóng góp ý kiến từ phía độc giả để bài viết hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tài liệu tham khảo
[1], Bộ Giáo dục và đào tạo, Chương trình giảo dục phô thông môn Toán, Hà Nội, 2018.
[2], Lê Thị Thu Hương - Đinh Thị Hồng Liên, Vận dụng quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở Tiểu học, Tạp chí Giáo dục, số 453 (Kì 1 - 5/2019), trang 28-32, trang 49.
[3]. Lâm Thùy Dương - Trần Việt Cường, Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học môn Toán ở Tiêu học, Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 9/2018, trang 127 - 129, trang 176.
[4], Sách giáo khoa Đại sổ lóp 10, NXB Giáo dục, 2010.
