2 Không gian họ các số xác định bởi hàm Orlicz

VỀ MỘT LỚP KHÔNG GIAN CÁC HỌ SỐ KHẢ TỔNG Kiều Phương Chi ⁽¹⁾, Mai Thế Tân ⁽²⁾, Dương Đức Kiên ⁽³⁾

1 Khoa Toán - ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn

2 Phòng Giáo dục Quận 11, TP. Hồ Chí Minh

3 Khoa Khoa học cơ bản, Trường Cao đẳng Lý Tự Trọng, TP. Hồ Chí Minh Nhận bài ngày 02/12/2019, nhận đăng ngày 21/2/2020.

Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng cấu trúc Banach cho lớp không gian các họ số khả tổng xác định bởi hàm Orlicz. Kết quả này là sự mở rộng tự nhiên những kết quả đã biết đối với không gian các dãy khả tổng đã được trình bày trong [3, 4, 5]...

Từ khóa:Họ khả tổng; không gian Orlicz.

1 Mở đầu

Trong giải tích hàm, lớp không gian các dãy có vai trò rất quan trọng. Lớp những không gian các dãy cổ điển được xét với dãy nhận giá trị trong trường vô hướng và các tính chất của chúng là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [3], các tác giả J.

Lindenstrauss và L. Tzafriri đã xây dựng không gian Banach các dãy nhận giá trị vô hướng từ lớp các hàm thực đặc biệt dựa trên ý tưởng của Orlicz, chúng được gọi là các hàm Orlicz.

Các tính chất của các không gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắc thông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J. Lindenstrauss và L. Tzafriri. Gần đây, lớp không gian này vẫn được quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều ứng dụng sâu sắc trong giải tích hàm (xem [1], [2], [9]).

Các dãy số suy rộng (hay còn gọi là các họ số) là sự mở rộng tự nhiên của các dãy. Các họ số xuất hiện khá nhiều trong giải tích (xem [7, 8]). Một ví dụ điển hình của dãy số suy rộng là dãy các tổng theo các phân hoạch trong định nghĩa tích phân Riemann. Các họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ số hội tụ tới 0,... được giới thiệu và nghiên cứu thấu đáo trong [8]. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày cách xây dựng không gian các họ số (dãy số suy rộng) xác định bởi hàm Orlicz. Chúng tôi muốn nhấn mạnh thêm rằng các kết quả trong bài báo này khi thay tập chỉ số tùy ý bởi tập chỉ số đếm được thì sẽ nhận được các kết quả cổ điển về không gian các dãy Orlicz.

Để tiện theo dõi, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của không gian các họ số và hàm Orlicz.

Định nghĩa 1.1. ([8]) TậpI 6=∅được gọi làđịnh hướng được nếu trênI đã xác định quan hệ ">" thỏa mãn các tính chất:

i) Với mọim, n, p∈I sao cho m > n,n > pthì m > p;

ii) Với mọi m∈I thìm > m;

iii) Với mọim, n∈I, tồn tại p∈I sao cho p > m vàp > n.

Khi đó, tậpI được gọi là tập định hướng bởi quan hệ ">", ký hiệu (I, >)hoặc viết tắt I.

1) Email: kieuphuongchi@sgu.edu.vn (K. P. Chi)

Ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.2. ([8]) Cho I là tập chỉ số tùy ý. Ký hiệu:

F(I) =

J ⊂I :J hữu hạn . Trên F(I) định nghĩa quan hệ bao hàm ">" như sau:

Với mỗi J, K∈ F(I) :J > K ⇔K ⊂J.

Khi đó,F(I) với quan hệ bao hàm ">" là một tập định hướng.

([8]) Giả sử (I, >) là tập định hướng. Khi đó, một hàm S xác định trên I được gọi là mộtlưới hay dãy suy rộng(hoặc họ số) và được ký hiệu là (S, I, >) hoặc viết tắt làS.

Nếu miền giá trị củaSlà không gian tôpô thì nó được gọi là lưới trong không gian tôpô.

Định nghĩa 1.3. ([8]) Giả sử(I, >) là tập định hướng. (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó lưới(S_n, I, >) được gọi làhội tụtrong không gian tôpô đến điểm S đối với tôpô τ nếu với mọi lân cậnU củaS đều tồn tại n₀∈I sao cho với mọin∈I mà∀n > n₀ thìS_n∈U. Khi đó, ký hiệulimSn=S hay Sn→S.

Từ đây về sau, ta giả thiếtI là tập chỉ số cho trước.

Định nghĩa 1.4. ([8]) Cho{x_i}_i∈I là một họ các số thực hoặc phức. Họ {x_i}_i∈I được gọi làkhả tổng nếu dãy suy rộng{S_J}_J∈F(I)hội tụ đếnS, trong đóS_J = P

i∈J

x_i. Khi đó ta viết X

i∈I

xi=S

Nói cách khác, P

i∈I

xi =Snếu với mọiε >0, tồn tạiJ0 sao cho với mọiJ ∈ F(I)màJ > J0

thì

X

i∈J

x_i−S

< ε.

Trong bài báo này, ta dùng(xi)hoặc{x_i}để ký hiệu họ các số. Ta cần một số kết quả bổ trợ sau được trình bày trong [8].

Mệnh đề 1.5. ([8]) Nếu họ các số {x_i}i∈I tùy ý, tồn tại số C >0 sao cho

X

i∈J

x_i

< C,∀J ∈ F(I)

thì P

i∈J

|x_i|<4C.

Mệnh đề 1.6. ([8]) Họ các số{x_i}_i∈I là khả tổng khi và chỉ khi tồn tạiC >0sao cho với mọiJ ∈ F(I) thì

P

i∈J

x_i

< C.

Từ Mệnh đề 1.7, ta thấy họ số{x_i}_i∈I là khả tổng khi và chỉ khi họ{|x_i|}_i∈I khả tổng.

Đặc biệt

X

i∈I

|x_i|= sup (

X

i∈J

|x_i|:J ∈ F(I) )

.

Hơn nữa, nếu họ các số{x_i}_i∈I là họ khả tổng thì mọi xi = 0 trừ ra một tập đếm được.

Định nghĩa 1.7. ([8]) Họ các số {x_i}_i∈I được gọi là bị chặn nếu tập {x_i :i∈I} bị chặn, tức là tồn tạiM >0 sao cho|x_i|< M với mọii∈I.

Ký hiệu

l∞(I) =

{x_i}_i∈I :{x_i}_i∈I bị chặn

là tập hợp các họ bị chặn. Trênl∞(I) trang bị các phép toán như sau:

Phép cộng: Với mọi x={x_i}_i∈I, y={y_i}_i∈I∈l∞(I) ta định nghĩa x+y={x_i+yi}_i∈I

Phép nhân vô hướng: Với mọi x={x_i}_i∈I∈l∞(I) vàλ∈Kta định nghĩa λx={λx_i}_i∈I

Dễ dàng kiểm tra hai phép toán cho trên là xác định và với hai phép toán nàyl∞(I) là một không gian tuyến tính. Hơn nữal∞(I) là không gian Banach với chuẩn

kxk= sup

i∈I

|x_i|

Định nghĩa 1.8. ([8]) Họ các số{x_i}_i∈I được gọi là hội tụ tới0nếu với mọiε >0, tồn tại J0∈ F(I) sao cho

|x_i|< ε,∀i∈I\J₀. Ký hiệu

C0(I) ={{x_i}_i∈I:xi hội tụ tới 0}

là không gian các họ hội tụ tới0.

Mệnh đề 1.9. ([8]) C₀(I) là không gian con đóng của l∞(I).

Vớip≥1 đặt

lp(I) = (

{x_i}_i∈I :X

i∈I

|x_i|^p<∞ )

là không gian các họp−khả tổng. Dễ dàng kiểm tra đượcl_p(I)là không gian con củaC₀(I).

Hơn nữa, bản thânlp(I) là không gian Banach với chuẩn kxk_p= X

i∈I

|x_i|^p

!¹_p

Đặc biệt, khip= 2 thì ta gọil₂(I) là không gian các họ các số bình phương khả tổng. Nó là không gian Hilbert với tích vô hướng

hx|yi=X

i∈I

x_iy_i,∀x, y∈l₂(I).

Ta có kết quả sau về không gian liên hợp của không gian các họ các số được trình bày trong [7, 8].

Mệnh đề 1.10. ([8]) 1) [C₀(I)]^∗ ∼=l₁(I).

2) [l1(I)]^∗ =l∞(I).

3) (lp(I))^∗=lq(I), p >1,1 p+1

q = 1.

Định nghĩa 1.11. ([3]) HàmM : [0,+∞)→Rđược gọi làhàm Orlicznếu 1)M là hàm không giảm, liên tục;

2)M(0) = 0và lim

t→∞M(t) =∞;

3)M là hàm lồi.

Hàm Orlicz M gọi làsuy biếnnếu tồn tại t >0sao cho M(t) = 0.

Các hàmM(t) =t^p;M(t) =te^t là những hàm Orlicz.

2 Không gian họ các số xác định bởi hàm Orlicz

Trong mục này, chúng tôi xây dựng cấu trúc không gian Banach cho tập hợp các họ khả tổng xác định bởi hàm Orlicz. Sau đó, nghiên cứu một số tính chất của lớp không gian con và mô tả cấu trúc của chúng khi hàm Orlicz suy biến.

Giả sử M là hàm Orlicz, Klà trường các số thực hoặc số phức vàI là tập chỉ số tùy ý.

Ta ký hiệu

lM(I) = n

x= (xi)i∈I ⊂K:X

i∈I

M |x_i|

ρ

<∞, với ρ >0nào đó o

.

Phần tửx= (xi)i∈I được viết gọn thànhx= (xi). Ta có ngay kết quả sau.

Mệnh đề 2.1. l_M(I)⊂l∞(I).

Chứng minh. Giả sử lM(I) l∞(I). Khi đó tồn tại x = (xi) ∈lM(I) không bị chặn. Khi đó, với mỗi n = 1,2, ... ta tìm được |x_in| > n. Vì x ∈ l_M(I) nên tồn tại ρ > 0 sao cho P

i∈IM|x_i| ρ

<∞.Suy ra tồn tại k sao choM|x_i| ρ

< k với mọi i∈I. Lấyt₀ ∈(0,∞) sao choM(t₀) =k. Vì lim

n→∞|x_in|=∞nên tồn tại n₀ sao cho |x_in

0|

ρ > t₀. Kéo theo M|x_in

0| ρ

> M(t₀) =k.

Điều này mâu thuẫn với

M|x_in| ρ

< k

với mọin. Vậyl_M(I)⊂l∞(I).

Mệnh đề 2.2. lM(I) là không gian tuyến tính với các phép toán cảm sinh từ l∞(I).

Chứng minh. Giả sửx= (x_α)α∈I, y = (y_α)α∈I ∈l_M(I). Khi đó tồn tạiρ₁, ρ₂ >0 sao cho P

α∈I

M(^|x_ρ^α|

1 )<∞,P

α∈I

M(^|y_ρ^α|

2 )<∞ Lấyρ=ρ1+ρ2 ta có

M(|x_α+yα|

ρ ) =M(|x_α+yα| ρ₁+ρ₂ ) 6M(|x_α|+|y_α| ρ1+ρ2

)

=M( ρ₁ ρ₁+ρ₂

|x_α|

ρ₁ + ρ₂ ρ₁+ρ₂

|y_α| ρ₂ ) 6 ρ1

ρ₁+ρ₂M(|x_α|

ρ₁ ) + ρ2

ρ₁+ρ₂M(|y_α| ρ₂ ).

Suy ra X

α∈I

M(|x_α+y_α|

ρ )< ρ₁ ρ₁+ρ₂

X

α∈I

M(|x_α|

ρ₁ ) + ρ₂ ρ₁+ρ₂

X

α∈I

M(|y_α|

ρ₂ )<∞.

Tức là x+y∈lM(I).

Nếuλ= 0 thìλx= 0∈lM(I).Nếuλ6= 0 thì với ρ=|λ|ρ₁ ta có X

α∈I

M(|λx_α|

ρ ) =X

α∈I

M(|λ||x_α|

ρ ) =X

α∈I

M(|x_α| ρ1

)<∞.

Suy raλx∈l_M(I).Vì vậy l_M(I) là không gian tuyến tính.

Sau đây ta trong bị chuẩn cholM(I).

Mệnh đề 2.3. l_M(I) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức.

kxk= inf{ρ >0 :X

α∈I

M(|x_α|

ρ )61}, (1)

với mọix∈l_M(I).

Chứng minh. Với mỗi x∈l_M(I), rõ ràng kxk= infn

ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61o

>0.

Ta cần chỉ ra x = 0 khi và chỉ khi kxk = 0. Thật vậy, nếu x = 0, tức là x_i = 0 với mọi i∈I. Khi đó,M(|x_i|

ρ ) =M(0

ρ) = 0 với mọiρ và vì thế kxk= inf{ρ >0}= 0.

Nếu x 6= 0 thì ta chỉ ra kxk 6= 0. Giả sử ngược lại x 6= 0 nhưng kxk = 0. Khi đó, vì x = (xi) 6= 0 nên tồn tại i0 sao cho xi0 6= 0, suy ra |x_i0| > 0. Vì M là hàm Orlicz nên

t→∞lim M(t) =∞.Do đó, tồn tạit₀>0sao cho M(t₀)>1. Từ giả thiết kxk= infn

ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61o

= 0

suy ra tồn tại

ρ₀∈ {ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61}

sao cho |x_i0| ρ0

> t0. Do đó

M(|x_i0|

ρ₀ )>M(t₀)>1.

Ta thu được

X

i∈I

M|x_i| ρ₀

>M(|x_i0| ρ₀ )>1.

Điều này mâu thuẫn với

ρ0 ∈ {ρ >0 :X

i∈I

M kx_ik

ρ

61}.

Vì vậyx6= 0 thì kxk 6= 0. Do đó, kxk= 0 khi và chỉ khi x= 0.

Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau:Nếu x6= 0 thì X

i∈I

M |x_i|

kxk

61. (2)

Thật vậy, với mọiε >0tồn tại ρ >0 sao cho ρ6kxk+εvà X

i∈I

M|x_i| ρ

61.

Do tính không giảm của hàmM ta suy ra X

i∈I

M |x_i| kxk+ε

6X

i∈I

M|x_i| ρ

61.

Choε→0 ta nhận được

X

i∈I

M|x_i| kxk

61.

Tiếp theo ta chỉ ra kλxk = |λ|kxk với mọi x ∈ lM(I) và với mọi λ ∈ K. Trường hợp λ= 0 hoặcx= 0là hiển nhiên. Nếu λ6= 0 và x6= 0thì

kλxk= inf (

ρ⁰>0 :X

i∈I

M

|λx_i| ρ⁰

≤1 )

= inf (

ρ⁰>0 :X

i∈I

M

|λ| |x_i| ρ⁰

≤1 )

.

Đặtρ= ρ⁰

|λ|.Khi đó ta có

kλxk= inf (

ρ|λ|:X

i∈I

M |x_i|

ρ

≤1 )

=|λ|inf (

ρ:X

i∈I

M kx_ik

ρ

≤1 )

=|λ|kxk.

Cuối cùng, vớix, y∈l_M(I) ta đặt u=kxk= inf

( ρ:X

i∈I

M |x_i|

ρ

≤1 )

và

v=kyk= inf (

ρ:X

i∈I

M |y_i|

ρ

≤1 )

.

Khi đó

X

i∈I

M |x_i|

kxk

≤1 và X

i∈I

M |y_i|

kyk

≤1.

Giả sửt, s∈R sao chos > u vàt > v. Khi đó, ta có X

i∈I

M |x_i|

s

≤X

i∈I

M |x_i|

kxk

61

và

X

i∈I

M |y_i|

t

≤X

i∈I

M |y_i|

kyk

≤1.

Mặt khác, ta có

|x_i|+|y_i| t+s = s

s+t

|x_i|

s + t

s+t

|y_i| t . Suy ra

M

|x_i+y_i| s+t

≤M

|x_i|+|y_i| s+t

6 s

s+tM |x_i|

s

+ t

s+tM |y_i|

t

≤ s

s+t + t s+t = 1.

Do đó

s+t∈ (

ρ:X

i∈I

M

|x_i+yi| ρ

≤1 )

.

Vì vậy

kx+yk= inf (

ρ:X

i∈I

M

|x_i+y_i| ρ

≤1 )

≤s+t. (3)

Vì (3) đúng với mọis >|xkvà t >|y|nên ta thu được kx+yk ≤ kxk+kyk. Do đól_M(I) là không gian định chuẩn.

Để chứng minh tính Banach của lM(I)ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 2.4. Nếu dãy (x^k) ⊂l_M(I), trong đó x^k = (x^k_i), i∈I hội tụ tới 0 trong l_M(I) thì

k→∞lim x^k_i = 0 trong Kvới mọi i∈I.

Chứng minh. Giả sử khẳng định không đúng. Khi đó, tồn tạii₀∈Isao cho dãy(x^k_i0)không hội tụ tới0trongK. Vì vậy, tồn tại dãy(k_j)vàr >0sao cho|x^k_i^j

0|>r. Với mỗij= 1,2, ..., ta có

x^kj

= inf

(

ρ >0 :X

i∈I

M |x^k_i^j| ρ

!

≤1 )

.

Suy ra

1>X

i∈I

M |x^k_i^j| x^kj

!

≥M |x^k_i^j

0| x^kj

!

≥M r

x^kj

!

(4)

với mọi kj. Cho kj → ∞ với để ý rằng kx^kjk → 0 ta nhận được M r

|x^kj|

!

→ ∞. Mâu thuẫn với (4). Ta nhận được điều cần chứng minh.

Định lý 2.5. lM(I) là không gian Banach.

Chứng minh. Giả sử(x^k)là dãy Cauchy tronglM(I). Ta cần chỉ ra(x^k)hội tụ tớix∈lM(I).

Thật vậy, vì(x^k) là dãy Cauchy nên

x^k−x^l = inf

( ρ:X

i∈I

M

|x^k_i −x^l_i| ρ

≤1 )

→0 (5)

khik, l→ ∞.Theo Bổ đề 2.4 thì với mỗii∈I ta có

|x^k_i −x^l_i| →0

khi k, l → ∞. Do đó, (x^k_i) là dãy Cauchy trong K với mỗi i ∈ I. Vì K đầy đủ nên

k→∞lim x^k_i :=x_i ∈K. Đặt x= (x_i). Với mọi ε >0, từ (5) tồn tại k₀ sao cho

x^k−x^l = inf

( ρ:X

i∈I1

M

|x^k_i −x^l_i| ρ

≤1 )

< ε (6)

với mọik, l>k₀. Trong bất đẳng thức trên cố địnhk>k₀ cho l→ ∞ta nhận được

x^k−x

= inf

( ρ:X

i∈I

M

|x^k_i −xi| ρ

≤1 )

< ε (7)

với mọik > k0. Tức là x^k hội tụ tới x.

Tiếp theo ta chỉ rax∈l_M(I). Từ (7) ta có X

i∈I

M |x^k_i⁰ −xi| ρ

!

≤1<∞,

tức làx^k0−x∈lM(I). Do lM(I) là không gian tuyến tính nênx=x^k0−(x^k0−x)∈lM(I).

Ta nhận đượcl_M(I) là không gian Banach.

Mệnh đề sau như là một ví dụ đẹp về không gianlM(I).

Mệnh đề 2.6. Nếu M(t) =t^p(p>1)thì lM(I) =lp(I).

Chứng minh. Đầu tiên, ta chỉ ra hai tập hợplM(I)vàlp(I) bằng nhau.Lấyx bất kỳ thuộc lM(I). Khi đóP

i∈IM |x_i|

ρ

<∞ vớiρ nào đó. VìM(t) =t^p nên ta đượcP

i∈I

|x_i| ρ

p

<

K <∞ với ρ nào đó. Do đó P

i∈I|x_i|^p < Kρ^p <∞. Vậyx ∈l_p(I). Tức là l_M(I) ⊂l_p(I).

Chiều ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa.

Bây giờ, ta chỉ rakxk=kxk_p với mọix∈l_M(I). Thật vậy, với mọi x∈l_M(I) ta có kxk= infn

ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61o

= infn

ρ >0 :X

i∈I

|x_i|^p 6ρ^po

= infn

ρ >0 : X

i∈I

|x_i|^p1/p

6ρo

= inf n

ρ >0 :|x|_p6ρ}=kxk_p. Mệnh đề được chứng minh.

Tiếp theo ta nghiên cứu một lớp không gian con quan trọng củalM(I).

Với mỗi hàm OrliczM và tập chỉ sốI, ta đặt h_M(I) =n

x= (x_i)⊂K:X

i∈I

Mkx_ik ρ

<∞với mọiρ >0o .

Mệnh đề 2.7. h_M(I) là không gian con đóng của l_M(I).

Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh h_M(I) là không gian con của l_M(I). Giả sử x, y ∈ hM(I) vàα∈K. Khi đó, nếuα= 0 thì αx= 0∈hM(I).

Nếuα6= 0 thìP

i∈IM |x_i|

ρ

<∞ với mọiρ >0. Do đó, với mọi ρ⁰ >0, đặtρ= ρ⁰

|α|ta có

X

i∈I

M|αx_i| ρ⁰

=X

i∈I

M|x_i| ρ

<∞.

Suy raαx∈hM(I).

Từ chứng minh trên ta suy ra 2x,2y ∈ h_M(I). Do đó P

i∈IMk2x_ik ρ

< ∞ và P

i∈IM |2y_i|

ρ

<∞ với mọiρ >0. Với mọi i∈I, từ tính lồi của hàm M ta có M

|x_i+y_i| ρ

6M

|x_i|+|y_i| ρ

=M1 2

|2x_i| ρ +1

2

|2y_i| ρ

6 1

2M|2x_i| ρ

+1

2M|2y_i| ρ

.

Do đó

X

i∈I

M|x_i+yi| ρ

6 1

2 X

i∈I

M|2x_i| ρ

+1

2 X

i∈I

M|2y_i| ρ

<∞.

Vì vậyx+y∈h_M(I).

Tiếp theo ta chứng minh h_M(I) đóng trongl_M(I). Giả sử (x^k) là dãy trong h_M(I) và x^k hội tụ tới x trongl_M(I). Khi đó, với mọi ε >0 tồn tạik₀ sao cho

kx^k−xk< ε (8)

với mọik>k₀. Ta chỉ rax^k0 −x∈h_M(I). Giả sử x^k0−x /∈h_M(I). Khi đó, tồn tạiρ₀>0 sao cho

X

i∈I

M|x^k_i⁰ −xi| ρ₀

=∞.

Vì vậy, với mỗi0< ρ <min{ε, ρ₀}, nhờ tính không giảm của hàmM ta có X

i∈I

M

|x^k_i⁰−x_i| ρ

=∞

và vì thế

infn

ρ >0 :X

i∈I

M|x^k_i⁰ −xi| ρ

61o

> ε,

tức là kx^k0 −xk > ε. Mâu thuẫn với (8). Vì vậy, k₀ sao cho x^k0 −x ∈ h_M(I). Do đó x=x^k0−(x^k0 −x)∈hM(I).

Định lý sau mô tả cấu trúc của các không gian h_M(I) và l_M(I) trong trường hợp M suy biến.

Định lý 2.8. Giả sử M suy biến. Khi đó ta có các khẳng định sau:

1) l_M(I) đẳng cấu với l∞(I);

2) hM(I) đẳng cấu vớiC0(I).

Chứng minh. 1) Mệnh đề 2.1 cho thấyl_M(I)⊂l∞(I). Giả sửM suy biến. Khi đó, tồn tại t0 >0 sao choM(t0) = 0. Từ tính liên tục của M và lim

t→∞M(t) =∞ suy ra tồn tại T0 là giá trị lớn nhất sao choM(T₀) = 0. Với mọi x= (x_i)∈l∞(I) màx6= 0, ta đặt

k= sup

i∈I

|x_i|=kxk_∞<∞.

Lấyρ= 2k

T₀ ta thu được

|x_i|

ρ = T₀|x_i| 2k 6 T₀

2 . Từ tính chất không giảm củaM(t) ta có

06M|x_i| ρ

6MT₀ 2

= 0

với mọin. Ta nhận đượcP

i∈IM _|x

i| ρ

= 0. Hayx = (xi) ∈lM(I). Từ đó suy ra l∞(I) = l_M(I).

Để chứng minh l_M(I) đẳng cấu với l∞(I) ta còn phải chỉ ra các chuẩn của chúng là tương đương. Để ý rằngl∞(I) xét với chuẩn

kxk∞= sup

i∈I

|x_i|.

Từ chứng minh trên ta có, vớiρ= 2k T0

thì X

i∈I

M|x_i| ρ

= 0<1

và vì thế

kxk= inf{ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61}6 2k

T₀ = 2kxk_∞ T₀ .

Như vậy,

kxk_∞> T₀

2kxk (9)

với mọix∈l_M(I).

Bây giờ, từ

kxk= inf{ρ >0 :X

i∈I

M|x_i| ρ

61}

suy ra P

i∈IM_|x

i| kxk

6 1 với mọi x ∈ l_M(I) và x 6= 0. Gọi T₁ là số lớn nhất sao cho M(T1) = 1 (T1 tồn tại do tính liên tục của M, lim

t→∞M(t) = ∞ và M(0) = 0). Ta có M

_|x

i| kxk

61 với mọii. Do tính không giảm của M nên

|x_i| kxk 6T1

với mọii. Ta thu được

kxk∞= sup

i∈I

|x_i|6T1kxk (10)

với mọix6= 0. Bất đẳng thức rõ ràng vẫn đúng vớix= 0. Từ (9) và (10) suy ra các chuẩn trênl∞(I) vàl_M(I) là tương đương và vì thế l_M(I) đẳng cấu vớil∞(I).

2) Vì C0(I) là không gian con đóng của l∞(I) và hM(I) là không gian con đóng của l_M(I), khi M suy biến l_M(I) đẳng cấu với l∞(I) nên để chứng minh h_M(I) đẳng cấu với C₀(I) ta chỉ cần chỉ ra h_M(I) =C₀(I) khi M suy biến.

Giả sửx= (xi)∈hM(I). Khi đóP

i∈IM _kx

ik ρ

<∞ với mọiρ >0. Nếux /∈C0(I) thì họ(|x_i|)_i∈I không hội tụ tới0. Khi đó, tồn tại tập con vô hạn củaJ củaI vàr >0sao cho kx_jk> r với mọij∈J. Lấyρ >0sao cho

|x_j| ρ > r

ρ>2T0

với mọij∈J. Từ |x_j|

ρ >2T0 với mọij ∈J, suy ra M

|x_j| ρ

>M(2T0)>0 với mọij∈J. DoJ là tập vô hạn nênP

j∈JM_|x

j| ρ

=∞.TừJ ⊂I suy raP

i∈IM_|x

i| ρ

=

∞.Ta nhận được sự mâu thuẫn vớiP

i∈IM_|x

i| ρ

<+∞với mọiρ. Vì vậyh_M(I)⊂C₀(I).

Ngược lại, giả sửx= (x_i)∈C₀(I). Ta chỉ ra x∈h_M(I). Thậy vậy, với mọiρ >0. Khi đó, từ họ(|x_i|) hội tụ tới0 suy ra tồn tại J₀ ∈ F(I) sao cho|x_i|< ρT₀ với mọi i∈I\J₀. Hay |x_i|

ρ < T0 với mọii∈I\J0. Vì vậy M(|x_i|

ρ ) = 0 với mọii∈I\J0.Ta thu được X

i∈I

M|x_i| ρ

=X

i∈J₀

M|x_i| ρ

<∞.

Vì vậyx= (x_i)∈h_M(I). Do đóC₀(I)⊂h_M(I). Từ đó ta có C₀(I) =h_M(I).Định lý được chứng minh.

Ta nhắc lại rằng: Hàm OrliczM được gọi là thỏa mãn điều kiện∆_qtại0nếulim

t→0

M(qt) M(t) <

∞ vớiq >0 nào đó. Hàm OrliczM thỏa mãn điều kiện ∆q tại 0 với mọiq >0 khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện∆2 tại 0 (xem [3]).

Định lý sau đưa ra một điều kiện đểh_M(I) =l_M(I) thông qua điều kiện∆₂.

Định lý 2.9. Giả sửM là hàm Orlicz không suy biến. Khi đó, nếuM thỏa mãn điều kiện

∆₂ tại 0 thìl_M(I) =h_M(I).

Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆₂ tại 0. Khi đó, M thỏa mãn điều kiện∆_q với mỗiq >0. Lấyx∈l_M(I). Khi đó, tồn tại ρ₀ >0 sao cho

X

i∈I

M |x_i|

ρ₀

<∞.

Suy ra họ M(^|x_ρ^i|

0

i∈I hội tụ tới 0. DoM không suy biến và liên tục tại0nên kéo theo họ

|xi| ρ0

i∈I hội tụ tới 0. Do đó, tồn tạiJ₀ ∈ F(I) sao cho |x_i|

ρ₀ <1với mọii∈I\J₀.

Với mọiρ >0áp dụng điều kiện∆q vớiq= ρ₀

ρ, ta tìm được tồn tạiK >0và0< δ <1 sao cho

M ρ0t ρ

< KM(t) với mọi0< t6δ. Suy ra

M(|x_i|

ρ ) =M(ρ₀ ρ

|x_i|

ρ₀)6KM(|x_i| ρ₀) với mọii∈I\J₀. Ta thu được

X

i∈I

M |x_i|

ρ

= X

i∈J0

M |x_i|

ρ

+

∞

X

i∈I\J0

M |x_i|

ρ

≤ X

i∈J0

M |x_i|

ρ

+K X

i∈I\J0

M |x_i|

ρ0

<∞.

Như vậy P

i∈IM(|x_i|

ρ ) < ∞ với mọi ρ > 0, tức là x ∈ h_M(I). Do đó l_M(I) ⊂h_M(I). Vì vậyl_M(I) =h_M(I).

Ta nhắc lại rằng với mỗi tập chỉ số I, và với mỗi i ∈ I, đặt e_i : I → K xác định bởi ei(i) = 1 vàei(j) = 0 với mọij6=i. Ta nhận được kết quả quan trọng sau:

Định lý 2.10. Bao tuyến tính của {e_i :i∈I} trù mật tronghM(I).

Chứng minh. Rõ ràngei ∈hM(I) với mọi i. Vì vậy, từ hM(I) là không gian con đóng của l_M(I) suy ra span{e_i :i∈I} ⊂h_M(I). Giả sử x= (x_i) ∈h_M(I). Khi đó, với mọiε >0 ta có

X

i∈I

M(|x_i|

ε )<∞. (11)

Vì vậy, tồn tạiJ ∈ F(I) sao cho

X

i∈I\J

M(|x_i| ε )61.

XétSJ =P

i∈Jxiei. Ta cóSJ ∈span{e_i:i∈I}. Hơn nữa, từ (11) suy ra kS_J−xk= inf

n

ρ >0 : X

i∈I\J

M(|x_i|

ρ )61}6ε, như vậy,x∈span{e_i :i∈I}.Định lý được chứng minh.

Nhận xét 2.11. Từ Định lý 2.10 suy ra nếu I là tập đếm được thì h_M(I) là không gian khả ly.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khan Vakeel A. and Lohani Q. M. D., “Some new difference sequences spaces defined by Musielak-Orlicz function”,Thai J. Math., 6 , No. 1, 215-223, 2008.

[2] Khan Vakeel A., On a new sequence space defined by Musielak-Orlicz functions, Stud.

Univ. Babes-Bolyai Math. 55, No. 2, 143-149, 2010.

[3] Lindenstrauss J. and Tzafriri L.,Classical Banach spaces. I. Sequence spaces, Springer - Verlag, Berlin - New York.

[4] Lindenstrauss J. and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces III”, Israel J. Math., 14, 368-389, 1973.

[5] Lindenstrauss J. and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces II”, Israel J. Math., 11, 355-379, 1972.

[6] Lindenstrauss J. and Tzafriri L., “On Orlicz sequence spaces,Israel J. Math., 10, 379- 390, 1971.

[7] Meise R. and Vogt D.,Introduction to Functional Analysis, Claderon Press, Oxford, 1997.

[8] Pietsch A.,Nuclear Locally Convex Spaces, Springer - Verlag, 1972.

[9] Subramanian N., “The Cesaro convergence of triple chi sequences spaces of fuzzy real numbers defined by a sequence of Musielak-Orlicz function”, Bol. Soc. Parana. Mat., (3) 37, No. 2, 145-155, 2019.

SUMMARY

ON THE CLASS OF SPACES OF SUMMABLE FAMILY

In this paper, we construct the Banach space of summable families of numbers. The results are natural extension of the space of number sequences (see [3], [4], [5]).

Keyword: Sumalble families; Orlicz spaces.