Bài giảng các quy tắc tính đạo hàm - TOANMATH.com

  Trang 1 ĐẠO HÀM

BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.

+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.

+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

 Kĩ năng

+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.

+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan.

+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tính giới hạn.

TOANMATH.com Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 

^{c  0,c} là hằng số;

 

^{x  1;}

2

1 1

;

   

  x x

 

^{x  }₂¹_x ^;

 

^{xn  n x. n1} ( với n là số tự nhiên).

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

Cho các hàm số ^{uu x}

 

^{;vv x}

 

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1.



^{u v}



^{ u v;}

2.



^{u v}



^{  u v;}

3.

 

^{u v. u v v u ;}

4. 2

  

0 .



   

    

  

u u v v u

v v x

v v

Chú ý:

a)

 

^{k v. kv} ( k: hằng số);

b) 2

   

1 0

 

    

  

v v v x

v v .

Mở rộng:





u1  u2 ... u_n



    u1 u2 ... u_n;





^{u v. .w}



^{u v. .wu v. .w u v. .w .}

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số ^{y f u x}

   

^{ f u}

 

^{với uu x}

 

^.

Khi đó: y_x y u_u . _x.

4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp uu x

 

TOANMATH.com Trang 3

 

^{c 0,c} là hằng số

 

^{x  1}

2

1  1

   

  x x

 

^{x  }₂¹_x

 

^{x  a x. 1}

2

1  

   

   u

u u

 

^{u  }₂^u_u

 

^{u . .u u 1}

5. Đạo hàm các hàm số lượng giác a) Giới hạn của sinx

x . Định lý:

0

limsin 1

 

x

x x .

Chú ý: Nếu hàm số ^{uu x}

 

thỏa mãn điều kiện: ^{u x}

 

^{0 với mọi} xx0 và

 

0

lim 0

 

x x u x thì

   

0

limsin 1.

 

x x

u x u x

b) Đạo hàm của hàm số ysinx Định lý:

Hàm số ysinx có đạo hàm tại mọi x và



^sinx



^{ cosx}

Chú ý: Nếu ysinu và ^{uu x}

 

^thì



^sinu



^{u. cosu.}

c) Đạo hàm của hàm số ycosx Định lý:

Hàm số ycosx có đạo hàm tại mọi x và



^cosx



^{  sinx}

Chú ý: Nếu ycosu và ^{uu x}

 

^thì



^cosu



^{ u.sinu}

d) Đạo hàm của hàm số ytanx Định lý:

Hàm số ytanx có đạo hàm tại mọi , 2

 

  

x k k và



^tan



¹₂

  cos

x x.

Chú ý: Nếu ytanu và ^{uu x}

 

có đạo hàm trên ^,

   

2

 

  

K u x k k với mọi xK. Khi đó trên K ta có:



^tan



₂

cos

  u

u u.

TOANMATH.com Trang 4 e) Đạo hàm của hàm số ycotx

Định lý:

Hàm số ycotx có đạo hàm tại mọi xk,k và

 

2

cot 1

  sin

x x .

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác



^sinx



^{ cosx}



^sinu



^{ u. cosu}



^cosx



^{  sinx}



^cosu



^{ u.sinu}



^tan



¹₂

 cos

x x



^tan



₂

cos

  u

u u



^cot



¹₂

  sin

x x



^cot



₂

sin

   u

u u

Chú ý: Nếu ycotu và ^{uu x}

 

có đạo hàm trên K, ^{u x}

 

^k



^k



^{với mọi xK}. Khi đó trên K ta có:



^cot



₂

sin

   u

u u.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số ^{y f x}

 

^{tại điểm} x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x y



0; 0



.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y



0; 0



là: yy x

 

0 xx0



y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x₀ II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Phương pháp giải

Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo hàm

 Công thức đạo hàm

 

^{xn  n x. n1} (với n là số tự nhiên).

 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số uu x v

 

; v x

 

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

a)



u1u2 ... u_n



 u1 u2 ... u_n.

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số

3 2 2 1

3 

   x

y x x

x Hướng dẫn giải

Ta có ^{ }

   

^{3  3 2 } ^^{2 1}^

y x x x

x

 

2

2

2. 2 1 .1

3 6  

   x x

x x

x .

2

2

3 6 1

 x  x x .

TOANMATH.com Trang 5 b)



^{u v. .w}



^{ u v. .wu v. .w u v. .w.}

c) 2

  

0



   

    

  

u u v v u

v v x

v v .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số a) ⁴ 3 ²

2 2020

   

y x x x.

b) 2

1

 

 y x

x

Hướng dẫn giải

a) y^{ }

 

x^{4 }³₂x^2^



²⁰²⁰x



^{  }y^{ 4}x^33x^2020.

b)

       

 

²

2 . 1 2 1

1

 

    

  

x x x x

y

x

   

 

²

1 . 1 2

2

1

  

 

x x

x x

 

²

1 2 4

2 1

  

 

x x x

x x

 

²

1 4

2 1

  



x x

x x .

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số a) ^yx



^{2x1 3}



^{x2 .}



b) yx²x x5.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ^yx



^{2x1 3}



^x2



^



^2x2x

 

^3x2



^{. Khi đó}



^{2 2}

 

^{3 2}



^

 

    

y x x x



^{2 2}



^{. 3}



²

 

^{3 2 . 2}



^



²



 x x x  x x x



^{4 1 3}



²



^{3 2}



²



 x x  x x 18 2 2 2

 x  x .

TOANMATH.com Trang 6 b) Ta có

 

^{2 }

 

^{ 5}

   

y x x x

 

2 . .

 xx x x x

2 1 .

 x x2 x x 2 3

  2x

x .

Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau

a)

 

^2;

 

  

  

  

a b ax b c d

cx d cx d (a, b, c, d là hằng số)

b)

 

2 2

1 1 1 1 1 1

2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 

   

   

   

a b a c b c

x x

a b a c b c

ax bx c

a x b x c a x b x c

(a, b, c, a b c₁, ,_{1 1} là hằng số)

c)

 

 

    

   

 

2

1 1

2

1 1

2

1 1 1 1

. 2 . b c

a a x a b x

a b ax bx c

a x b a x b (a, b, c, a b₁, ₁ là hằng số) Hướng dẫn giải

a) Ta có

      

 

²

 

     

   

  

  

ax b cx d ax b cx d ax b

cx d cx d

   

 

²

  

 

a cx d ax b c cx d

 

²

 

 ad bc cx d

Vậy

 

²

 

  

  

  

a b ax b c d

cx d cx d

b) Ta có

      

 

2 2 2 2

2 1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1 1

 

         

    

   

   

ax bx c a x b x c ax bx c a x b x c ax bx c

a x b x c a x b x c

TOANMATH.com Trang 7

       

 

2 2

1 1 1 1 1

2 2

1 1 1

2  .      . 2 

  

ax b a x b x c ax bx c a x b a x b x c

     

 

2

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1

.  . 2 .  .  .  .

  

a b a b x a c a c x b c b c a x b x c

Vậy

 

2 2

1 1 1 1 1 1

2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 

    

   

   

a b a c b c

x x

a b a c b c

ax bx c

a x b x c a x b x c

(điều phải chứng minh).

c) Ta có

       

 

2 2

2 1 1 1 1

2

1 1 1 1

. .

 

       

    

   

 

ax bx c a x b ax bx c a x b ax bx c

a x b ax b

     

 

2

1 1 1

2

1 1

2  .     .

 

ax b a x b ax bx c a a x b

 

 

2

1 1 1 1

2

1 1

. 2 .  .  .

 

a a x a b x b b a c a x b

(điều phải chứng minh).

Vậy

 

 

    

   

 

2

1 1

2

1 1

2

1 1 1 1

. 2 . b c

a a x a b x

a b ax bx c

a x b a x b

Bài toán 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp Phương pháp giải

Nếu hàm số ^{ug x}

 

có đạo hàm tại x là

x

u và hàm số ^{y f u}

 

có đạo hàm tại u là  yu

thì hàm hợp ^{y f g x}

   

có đạo hàm tại x là

   .

x u x

y y u .

Công thức đạo hàm của một số hàm hợp thường gặp:

 

^{un  n u. n1.u n}



^*



 

^{u  }₂^u_u^;

2

1  

   

   u

u u .

trong đó ^{uu x}

 

^.

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số



^{4 2}



^{2 2 2 1}

   

y x x x

Hướng dẫn giải

Ta có ^{ }



^



^^



^



^

4 2 2 2 2 1

y x x x



4

 

4

 

²



2

2 1

2 2 . 2

2 2 1

 

    



y x x x x x

x



⁴

 

³



⁴ ₂

2 2 . 4 2

2 2 1



    



y x x x x

x



³

 

³



²₂

4 2 . 2 1

2 1

    



y x x x x

x .

Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 8 Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 1 3

1

  

    y x

x ^{; b)}

3 2 2 1

  

y x x .

Hướng dẫn giải a) Ta có:

   

 

2 2 2

2 4

9 2 1

2 1 2 1 2 1 3

3. . 3. .

1 1 1 1 1

 

   

     

                

x x x x

y x x x x x

b) Ta có:



²



2 2 2

3 2 1 6 2 3 1

2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1

    

   

     

x x x x

y

x x x x x x

. Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2

1 ;

1

  

    y x

x b)

1 2

  .

  

y x

x Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1 1 2

1 1

    

      

x x

y

x x

 

²

 

1 2

2 1 1

    

    

x x

x x

 

³

2 1 1

  

 x

x x

b) Ta có:

 

      

            

1 2 1 1

2. .

y x x x

x x x

1 1 1

2.

2 2

  

  x   

x x x x

1 1 1

2. 1

2

  

  x   

x x x

1 1

1 1

  

  x  x

2

1 1

  x .

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số y x² 1 2x1 Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 9 Ta có:

   

2 2

2 2 2

2 2 1

1

2 1 2 1 2 1 1 2 1

  

   

      

x

x x

y x

x x x x x

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hàm số ^{f x}

 

^axb, với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^f

 

^{x a. B. f}

 

^{x  a. C. f}

 

^{x b. D. f}

 

^{x  b.}

Câu 2: Đạo hàm của hàm số f x

 

x²5x1 tại x4 là

A. – 1. B. – 5. C. 2. D. 3.

Câu 3: Hàm số 2 1 1

 

 y x

x có đạo hàm là A. y 2. B.

 

²

1 . 1

   y 

x ^C.

 

²

3 . 1

   y 

x ^D.

 

²

1 . 1

   y

x

Câu 4: Cho các hàm số ^{uu x v}

 

^{, v x}

 

có đạo hàm trên khoảng J và ^{v x}

 

^{0 với  x J. Khẳng}

định nào sau đây sai?

A. ^_^{u x}

   

^{v x }_^{u x}

 

^{v x}

 

^{. B.}

   

 

2

1 

  

  

 

 

v x v x v x . C. ^_^{u x v x}

   

^{.  }_^{ u x v x}

   

^{. v x u x}

   

^{. . D.}

 

         

 

2

. .

    

  

 

 

u x u x v x v x u x

v x v x .

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số

4 3

2 1

2 3 8

 x  x  

y x

A. ^{3 2} 1₂

2 2 1

    

y x x

x B. ^{3 2} 1₂

2 2

   

y x x

x . C. y 2x³2x²1 D. ^{3 2} 1₂

2 2

   

y x x

x . Câu 6: Cho hàm số ²

2

 

 x x

y x . Đạo hàm của hàm số tại x1 là

A. y

 

1  4. B. y

 

1  5. C. y

 

1  3. D. y

 

1  2.

Câu 7: Đạo hàm của hàm số ^{y }



^{1 x3}



^{5 là}

A. ^{y 5 1}



^x3



^{4. B. y  15x2}



^1x3



^4.

C. ^{y  3 1}



^x3



^{4. D. y  5x2}



^1x3



^4.

Câu 8: Hàm số



²



²

1

 

 y x

x có đạo hàm là

TOANMATH.com Trang 10 A.

 

2 2

2 1

  



x x

y

x ^{. B.}

 

2 2

2 1

  



x x

y

x

C. ^{y  2}



^x2



^{. D.}

 

2 2

2 1

  



x x

y

x Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số ^yx2



^{2x1 5}



^x3



^.

A. y 40x²3x²6 .x B. y 40x³3x²6 .x C. y 40x³3x²6 .x D. y 40x³3x²x. Câu 10: Đạo hàm của hàm số 1 ⁶ 3

2 2

  

y x x

x là A. ⁵ 3₂ 1

3 .

   

y x

x x B. ⁵ 3₂ 1

6 .

   2

y x

x x

C. ⁵ 3₂ 1

3 .

   

y x

x x D. ⁵ 3₂ 1

6 .

   2

y x

x x

Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số

3 2

4 5

 

  

y x

x ^. A.

2

3 2

10 5

3 4 4  .

      

y x

x x ^B.

2

3 2

10 5

3 4 4  .

      

y x

x x

C.

2 2

4 5 .

 

   

y x

x ^D.

2

3 2

10 5

3 4 4  .

      

y x

x x

Câu 12: Đạo hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 2 3 x2 là}

A. 2

3 .

2 3



 x

x

B. 2

1 .

2 2 3 x

C.

2 2

6 .

2 2 3



 x

x

D. 2

3 .

2 3 x

x Câu 13: Cho hàm số

 

₂

4

 

 y f x x

x

. Giá trị ^y

 

^{0 bằng}

A.

 

^{0 1.}

 2

y B.

 

^{0 1.}

 3

y C. ^y

 

^{0 1. D. y}

 

^{0 2.}

Câu 14: Đạo hàm của hàm số

2

1 1

 

y x

có dạng



^21



³

ax x

.

Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?

A. a 4. B. a 1. C. a2. D. a 3.

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số yx²x x1. A. 2 1

2 1

    

 y x x x

x B. 2 1

2 1

    

 y x x x

x C.  2 1

 y x

x D. 2 1

2 1

    

 y x x x

x

TOANMATH.com Trang 11 Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau ^y



^x2

 

^{3 x3}



^2.

A. ^{y 3}



^x25x6



^32



^x3



^x2



^{3. B. y 2}



^x25x6



^23



^x3



^x2



³

C. ^{y 3}



^{x25x 6}



²



^x3



^x2



^{. D. y 3}



^x25x6



^22



^x3



^x2



³

Câu 17: Đạo hàm của hàm số ^{y  }



^{x2 3x7}



^{7 là}

A. ^{y   7}



^{2x 3}

 

^{ x2 3x7}



^{6 B. y   7}



^{x2 3x7}



⁶

C. ^{y   }



^{2x 3}

 

^{ x2 3x7}



^{6 D. y   7}



^{2x 3}

 

^{ x2 3x7}



⁶

Câu 18: Cho ^{f x}

 

^{ 1 3 x31 2 x}. Giá trị của ^f

 

^{0 bằng}

A. 5

6. B. 5

6.

 C. 0. D. 1.

Câu 19: Đạo hàm của hàm số yx² x là A. .

2

x x B. 5

2 .

x C. 5

3 .

x x . D. 5

2 . x x

Câu 20: Đạo hàm của hàm số ² 1 1

  



x x

y x có dạng

 

2

1 2



 ax bx

x

. Khi đó a b. bằng

A. a b.  2. B. a b.  1. C. a b. 3. D. a b. 4.

Câu 21: Đạo hàm của hàm số



¹



^{1 3}



  

y x x bằng A.

  

²



²

1

3 1

 

x x

. B. 1

2x2. C.



²



²

2 2

2 3

 

  x

x x

. D.



²



²

4

2 3



 

x x

Câu 22: Cho hàm số ^{f x}

  

^{ 2018x}



^{2017 2 x}



^{2016 3 x}

 

^{... 1 2018 x}



. Giá trị của ^f

 

^{1 bằng}

A. 2019.2018¹⁰⁰⁹ B. 2018.1009²⁰¹⁹ C. 1009.2019²⁰¹⁸ D. 2018.2019¹⁰⁰⁹ Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số

2 2

 

y x

a x

A.

 

2 2 2 3

   .

 y a

a x

B.

 

2 2 2 3

  .

 y a

a x

C.

 

2 2 2 3

2 .

 

 y a

a x

D.

 

2 2 2 3

  .

 y a

a x Câu 24: Đạo hàm của hàm số ^y



^x1



^{x2 x 1 là}

A.

2 2

4 5 3

.

2 1

 

 

x x

x x

B.

2 2

4 5 3

.

2 1

 

 

x x

x x

C.

2 2

4 5 3

. 1

 

 

x x

x x

D.

2 2

4 5 3

.

2 1

 

 

x x

x x

Câu 25: Cho

 

3 2 1

, .

4 1 4 1 4 1 4

  

    

    

 

x ax b

x

x x x Giá trị của a b bằng

A. – 16. B. – 4. C. – 1. D. 4.

Câu 26: Cho f x

  

 x x1



x2



x3 ...

 

xn



với n^*. Tính f

 

0 .

TOANMATH.com Trang 12 A. ^f

 

^{0 0. B. f}

 

^{0 n C. f}

 

^{0 n! D.}

  

¹



0 2

 n n f

Câu 27: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{và g x}

 

đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn

     

3 2 2

2 2 2 3  36   0, 

f x f x x g x x x . Giá trị của A3f

 

2 4f

 

2 bằng A. 11. B. 14. C. 13. D. 10.

Câu 28: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{và g x}

 

xác định và liên tục trên  thoả mãn: ^{f x}

 

^{x2, x  và}

 

^{1 3; }

 

^{1 5}

g g . Tính đạo hàm của hàm số hợp ^{f g x}

   

^{tại x1.}

A. 0. B. 9. C. 15. D. 30.

Câu 29: Biết hàm số ^{f x}

   

^{f 2x} có đạo hàm bằng 5 tại x1 và đạo hàm bằng 7 tại x2. Tính đạo hàm của hàm số ^{f x}

   

^{f 4x tại x1.}

A. 8. B. 12. C. 16. D. 19.

Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải

Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác



^sinx



^{ cosx}



^sinu



^{ u. cosu}



^cosx



^{  sinx}



^cosu



^{ u.sinu}

 

2

tan 1

 cos

x x



tan



2

cos

  u

u u

 

2

cot 1

  sin

x x



cot



2

sin

   u

u u

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số sin 2 cos tan 2020

  2x

y x x

Hướng dẫn giải Ta có:



^{sin 2}



^cos



^{tan 2020}



2

 

 

    

y x x x

2

1 2020

2. cos 2 sin

2 2 cos 2020

  x

x x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số a) ysin 2xcos 5x.

b) ysin . cos 4x x.

c) ycos⁶x2 sin⁴x. cos²x3sin²x.cos⁴xsin⁴x. Hướng dẫn giải

a) Ta có: ^{y }



^{sin 2x}

 

^{ cos 5x}



^{2 cos 2x5sin 5 .x}

b) Ta có: y 



^sinx



^{. cos 4}xsin . cos 4x



x



 cos . cos 4 4 sin .sin 4

 x x x x

c) Ta có:

TOANMATH.com Trang 13

   

4 2 4 2 2

sin 1 2 cos cos 3sin cos

   

y x x x x x

   

4 2 4 2

sin 1 2 cos cos 1 2 sin

 x  x  x  x

4 4 4 2 2 4

sin cos 2 sin cos 2 sin cos

 x x x x x x



^{cos2 sin2}



^{2 2 sin2 cos2 2 sin2 cos2}



^{cos2 sin2}



 x x  x x x x x x

1.

Vậy y 1 0.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số a) sin cos 2

3 6

 

   

      

y x x tại .

3

 x

b) 2

cos 3 sin 2

6 3

 

   

      

y x x tại .

3

 x Hướng dẫn giải

a) Ta có ^{cos 2 sin 2 cos 0}

 

^{2 sin 1.}

3 6 3 2

   

       

             

y x x y

b) Ta có 2

3sin 3 2 cos 2

6 3

 

   

        

y x x

5 1

3sin 2 cos 0 .

3 6 2

 

 

y     

Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm.

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số

a) ^{ytan 2}



^{x1 ;}



^{b) ycot 3}



^{x25 .}



Hướng dẫn giải

a) Ta có: ^{y }



^{tan 2x1}



^cos2



^22x1



^.

b) Ta có: ^{y cot 3}



^x25



^{ sin2}



^63xx25



^.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ tanxcotx tại điểm}

4

 x . Hướng dẫn giải

Ta có:

  

^{tan cot}



2 tan cot

 

 



x x

f x

x x

2 2

1 1

cos sin 2 tan cot

 



x x

x x

TOANMATH.com Trang 14

2 2

2 2

sin cos

2 sin cos tan cot

 



x x

x x x x

2

2 cos 2 sin 2 tan cot

 

 x

x x x.

Suy ra

 

  

  

        

2

2 cos

2 0

4 sin tan cot

2 4 4

f .

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2cos

   

y x với ^x

 

^{0; .}

Hướng dẫn giải

Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ²

cos cos

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

       x

y x

1 1 1 1 1 1 2 1 1

cos cos cos

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

   x   x   x

cos2 cos .

8 8

 x  x

Do đó 1

cos sin

8 8 8

 

    

x x

y .

Ví dụ 6: Cho hàm số sin cos cos sin

 



x x x

y x x x

Chứng minh rằng: ^y



^sinxxcosx



^{2x y2 2 0.}

Hướng dẫn giải Ta có:

      

 

²

sin cos cos sin sin cos cos sin

cos sin

 

    

  

x x x x x x x x x x x x

y

x x x

Ta có:

+)



^sinxxcosx



^{cosxxcosxx. cos}



^x



^xsinx;

+)



^cosxxsinx



^{  sinxxsinxx. sin}



^x



^{ xcosx}

Do đó:

   

   

2

2 2

sin . cos sin sin cos cos

cos sin cos sin

  

  

 

x x x x x x x x x x x

y

x x x x x x

Ta có: ^VTy



^sinxxcosx



^{2x y2 2}

TOANMATH.com Trang 15



²



2

 

^{2 2 2}

sin cos

. sin cos . 0 .

cos sin cos sin

  

        

x x x x

x x x x VP

x x x

x x x

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx.

A. y 5cosx3sin .x B. y cosx3sin .x C. y cosxsin .x D. y 5cosx3sin .x Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y 3x2 tanx.

A. 5 2 tan² 2 3 2 tan

  

 y x

x x . B. 5 2 tan²

2 3 2 tan

  

 y x

x x

C.

5 2 tan2

2 3 2 tan

   

 y x

x x D.

5 2 tan2

2 3 2 tan

   

 y x

x x

Câu 3: Cho hàm số ycos 3 .sin 2x x. Giá trị của 3

 

   y bằng A. 1

2. B. 1

2.

 C. – 1. D. 1.

Câu 4: Hàm số yx²cosx có đạo hàm là

A. y 2 cosx xx²sin .x B. y 2 cosx xx²sin .x C. y 2 sinx xx²cos .x D. y 2 sinx xx²cos .x Câu 5: Đạo hàm của hàm số ^{ysin cos}



^x



^{cos sin}



^x



^là

A. cos cos cosx



x



sin sin sinx



x



. B. sin cos cosx



x



cos sinx x



sinx



 C. cos cos cosx



x



sin sin sinx



x



. D. sin cos cosx



x



cos sinx x



sinx



Câu 6: Đạo hàm của hàm số ysin⁴xcos⁴x là

A. sin 4 .x B. 2 sin 4 . x

C. cos 4xsin 4 .x D. sin 4 .x

Câu 7: Biết hàm số y5sin 2x4 cos 5x có đạo hàm là y asin 5xbcos 2x. Giá trị của a b bằng A. – 30. B. 10. C. – 1. D. – 9.

Câu 8: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{ cos}

 

^2x . Giá trị của ^f

 

^{3 bằng}

A. 2 . B. 8 3 .

 . C. 4 3

3 . D. 0.

Câu 9: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{sin xcos x. Giá trị 2}

16



 

   f bằng

A. 0. B. 2. C. . 2

 D. 2 2

 .

TOANMATH.com Trang 16 Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số ysin²x. cosx.

A. ^{y sinx}



^{3cos2x1 .}



^{B. y sinx}



^{3cos2x1 .}



C. ^{y sinx}



^{cos2x1 .}



^{D. y sinx}



^{cos2x1 .}



Câu 11: Cho hàm số ^{f x}

 

^{acosx2 sinx3x2020}. Tìm a để phương trình ^f

 

^{x 0} có nghiệm A. a  5. B. a  5. C. a 5. D. a 5.

Câu 12: Cho hàm số ^{y f x}

 

được xác định bởi biểu thức y cosx và 1 2

  

  

f .

Hàm số ^{y f x}

 

là hàm số nào sau đây?

A. y 1 sinx. B. ycosx. C. y 1 cosx. D. ysinx. Câu 13: Hàm số y2 sinx2 cosx có đạo hàm là

A. 1 1

sin cos

  

y

x x . B. 1 1

sin cos

  

y

x x . C. cos sin

sin cos

  x  x y

x x D. cos sin

sin cos

  x  x y

x x

Câu 14: Cho ^{f x}

 

^{sin3ax a, 0. Tính f}

 

^{ .}

A. ^f

 

^{ 3sin2}

 

^{a .cos}

 

^{a . B. f}

 

^{ 0.}

C. ^f

 

^{ 3 sina 2}

 

^{a . D. f}

 

^{ 3 .sina 2}

 

^{a .cos}

 

^{a .}

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số sin sin cos

 

y x

x x. A.

 

²

1 .

sin cos

   y 

x x

B.

 

²

1 .

sin cos

   y

x x

C.

 

²

1 .

sin cos

   y 

x x

D.

 

²

1 .

sin cos

   y

x x

Câu 16: Cho hàm số cos 2 1 sin

  y x

x . Giá trị của 6

 

   y bằng A. 1.

6

 

  

y B. 1.

6

 

   

y C. 3.

6

 

  

y D. 3.

6

 

    y

Câu 17: Đạo hàm của hàm số

 

^{cos2 cos2 cos2 2 cos2 2 2 sin2}

3 3 3 3

   

       

            

f x x x x x x là

A. 6. B. 2 sin 2 .x C. 0. D. 2 cos 2 .x Câu 18: Cho hàm số ^{f x}

 

^sin



^sinx



. Giá trị của

6

 

   f bằng A. .

2

 B. 3

2 .

 _{C. 0. D.}

2.



TOANMATH.com Trang 17 Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số ^ysin2



^{cos tan 3}



^{4 x}

 

^.

A. y sin 2 cos tan 3

 

⁴ x

 

. sin tan 3

 

⁴ x

 

.4 tan 3 . 1 tan 3³ x



 ³ x



.3. B. y sin 2 cos tan 3

 

⁴ x

 

. sin tan 3

 

⁴ x

 

. tan 3 . 1 tan 3³ x



 ³ x



C. y sin 2 cos tan 3

 

⁴ x

 

. sin tan 3

 

⁴ x

 

.4 tan 3 . 1 tan 3³ x



 ³ x



D. y  sin 2 cos tan 3

 

⁴ x

 

. sin tan 3

 

⁴ x

 

.4 tan 3 . 1 tan 3³ x



 ³ x



.3 Câu 20: Hàm số y cot 2x có đạo hàm là

A. 1 cot 2² cot 2

   x y

x . B.



^{1 cot 22}



cot 2

   x y

x . C. 1 tan 2² cot 2

   x y

x . D.



^{1 tan 22}



cot 2

   x y

x Câu 21: Hàm số ytanxcotx có đạo hàm là