Công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp Caputo. Xây dựng sơ đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Caputo thứ hai.
Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên
Chuyển động Brown
Do đó, ta cần mở rộng bộ lọc (GtW)t≥0 sao cho (Wt)t≥0 vẫn là chuyển động Brown tương ứng với bộ lọc này. Đối với hầu hết ω∈Ω, quỹ đạo mẫu W.(ω) của chuyển động Brown không thể khả vi và có sự biến thiên vô hạn trên mỗi khoảng con.
Tích phân ngẫu nhiên Itô
Tiếp theo, chúng tôi xác định tích phân Ito cho các quy trình đơn giản. Tích phân Ito ngẫu nhiên của f đối với chuyển động Brown (Wt)t≥0 được xác định bởi.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên. Các ký hiệu X(t),Xn(t)(n∈N∗) lần lượt là các nghiệm Euler chính xác và gần đúng của phương trình.
Một số kiến thức về giải tích phân thứ
Tích phân và đạo hàm phân thứ
Cùng với khái niệm tích phân nhỏ, đạo hàm phân số là một trong hai khía cạnh quan trọng của phép tính vi phân, tích phân nhỏ. Giống như phép tính vi phân và tích phân cổ điển, đạo hàm phân số Caputo là nghịch đảo bên trái của toán tử tích phân nhỏ.
Phương trình vi phân phân thứ Caputo
Kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn phương của phương trình vi phân Caputo được cho trong [?, Định lý 2]. Từ kết quả này, chúng ta có thể chứng minh công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai Caputo (xem Định lý?).
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cổ điển của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Để chứng minh định lý này, chúng ta xây dựng một chuẩn có trọng số phù hợp, rồi áp dụng Định lý điểm bất động của Banach. Bước 3: Chứng minh rằng toán tử Tη là một ánh xạ co đối với độ khớp chuẩn có trọng số, phương pháp này cũng đã được sử dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (xem [?, Nhận xét 2.1]). Trước khi trình bày chi tiết chứng minh của Định lý ??, chúng ta cần một số kết quả chuẩn bị.
Kết quả sau đây là một bổ đề kỹ thuật được sử dụng để ước tính toán tử Tη và để chứng minh kết quả trong phần tiếp theo. Wang và cộng sự cũng chứng minh thành công sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm địa phương của phương trình (??), nhưng lại gặp khó khăn trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm toàn phương. Cụ thể, với α∈(12,1), nhóm tác giả xét một phương trình vi phân cấp hai Caputo tùy ý trên không gian Banach X có dạng.
Tuy nhiên, phương pháp này dường như không thể áp dụng cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Sự phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu của nghiệm phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Chính xác hơn, do sự phụ thuộc trước đây vào nghiệm của phương trình vi phân thứ hai, nghiệm của bài toán. và giải pháp của vấn đề. Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu Giả sử các hệ số b, σ của phương trình (??) thỏa mãn điều kiện. Bài toán tính đúng của phương trình vi phân ngẫu nhiên là một bài toán quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ nghiên cứu hai vấn đề: một là sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình, hai là sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu. Chúng tôi tiếp tục nghiên cứu tính liên tục của nghiệm cổ điển theo thời gian và dãy bậc α của phương trình để hoàn thiện bài toán xếp.
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm nhẹ của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Bây giờ ta nhớ lại khái niệm nghiệm nhẹ của phương trình (??). Giải pháp nhẹ của phương trình vi phân Caputo thứ hai ngẫu nhiên). Sau đó ta thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm trọng ánh của phương trình. Để đạt được kết quả này, yêu cầu các hệ số b, σ của phương trình phải thỏa mãn điều kiện (H1),(H2) nêu trên.
Kỹ thuật chính để chứng minh kết quả là xây dựng một tiêu chuẩn có trọng số phù hợp (so sánh Định lý 2.1.2). Sự tồn tại và tính duy nhất của các giải pháp ánh sáng toàn cầu). Để hoàn thành chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng Jη là một ánh xạ co đối với một số liệu phù hợp trên Hη2([0, T],Rd). Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm nhẹ đối với một lớp rộng hơn các hệ phương trình được chứng minh trong.
Công thức biến thiên hằng số cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Định lý sau đây đưa ra một công thức biến thiên hằng số cho phương trình (??), là một cách biểu diễn đặc biệt của nghiệm cổ điển φ(·, η). Constant Variation Formula for Stochastic Caputo Order Difference Equations). Đây là công thức biến thiên hằng số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên. Là một ứng dụng của Định lý? hệ quả sau đây đưa ra một giải pháp rõ ràng cho một phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đồng nhất có dạng
Để rõ hơn, chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn ý tưởng chứng minh nhận định này. Để làm điều này, chúng tôi thiết lập một công cụ ước tính trong mệnh đề?for. Trước khi xác nhận và chứng minh ước lượng này, chúng ta cần chuẩn bị kết quả ước lượng các thành phần của số hạng trên, tức là chúng ta cần một ước lượng.
Theo công thức biến thiên hằng số của phương trình vi phân Caputo (xem Định lý ??), ta suy ra đẳng thức (??) là đúng.
Cận dưới cho sự phân tách tiệm cận giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Số mũ Lyapunov bình phương trung bình của nghiệm không tầm thường của phương trình (??) luôn không âm, nghĩa là Các kết quả tương tự đã được chứng minh cho các phương trình vi phân tất định (xem. Trong chương này, chúng ta đã chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm cổ điển, dễ dàng của phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai Caputo.
Đồng thời ta cũng chứng minh được công thức biến thiên hằng số của phương trình vi phân Caputo ngẫu nhiên. Cũng trong chương này, chúng ta đã xác định giới hạn dưới của tiệm cận tách giữa hai nghiệm khác nhau của phương trình vi phân Caputo ngẫu nhiên cấp hai. Do đó, các kết quả thu được trong chương này đã làm phong phú thêm lý thuyết định tính của phương trình vi phân Caputo cấp hai ngẫu nhiên.
Trong chương này chúng ta tập trung nghiên cứu nghiệm số cho phương trình vi phân Caputo ngẫu nhiên cấp α∈(12,1) trên khoảng [0, T] có dạng sau.
Lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên
Tốc độ hội tụ của lược đồ số kiểu Euler-Maruyama
Tốc độ hội tụ của lược đồ số kiểu Euler-Maruyama
Áp dụng lược đồ số loại Euler-Maruyama (??) vào hệ phương trình vi phân cấp hai tùy ý Caputo và phương pháp chứng minh tương tự (??) ta được. Giả sử các hệ số b, σ của phương trình (??) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng không quá tuyến tính (H5). Theo sơ đồ số loại Euler-Maruyama (??) cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Caputo thứ hai mà chúng ta có.
Theo công thức nghiệm nguyên (??) và lược đồ số loại Euler-Maruyama (??) của phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai Caputo (??), ta có. Kết quả chính của chương này có thể được mở rộng cho phương trình vi phân Caputo ngẫu nhiên tổng quát hơn với hệ số σ nhận các giá trị vectơ. Cụ thể, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp Caputo cấp α∈(12,1) trên khoảng [0, T] có dạng.
Sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như Định lý ??, chúng ta thu được kết quả sau.
Ví dụ
Từ kết quả trên, ta có thể thấy giản đồ Euler-Maruyama (??) cho phương trình (??) là hội tụ.
Lược đồ Euler-Maruyama mũ cho phương trình vi phân phân thứ Caputo ngẫu nhiên một chiều tuyến tính
Lược đồ Euler-Maruyama mũ
Trong chương này, chúng ta xây dựng sơ đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Caputo cấp hai (xem Phần 3.1). Ngoài ra, chúng tôi cũng đánh giá tốc độ hội tụ và độ ổn định của giản đồ Euler-Maruyama hàm mũ cho phương trình vi phân Caputo-th ngẫu nhiên tuyến tính một chiều ở phần cuối chương. Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu một số bài toán về phương trình vi phân Caputo ngẫu nhiên.
Xây dựng công thức biến thiên hằng số cho một phương trình vi phân cấp Caputo tùy ý cấp α∈(12,1). Xây dựng lược đồ số kiểu Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Caputo và đánh giá tốc độ hội tụ của lược đồ này. Đưa ra tốc độ hội tụ và độ ổn định của biểu đồ Euler-Maruyama hàm mũ cho phương trình vi phân Caputo thứ hai tùy ý tuyến tính một chiều.
Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai Caputo bậc α∈(12,1) dựa trên các phương pháp nghiên cứu trong. Tính đều đặn của nghiệm của phương trình vi phân Caputo de ngẫu nhiên bậc α∈(12,1). Nghiên cứu mở rộng kết quả trong Lp với p > 2 cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Caputo bậc α∈(12,1).
