S X X = + + X X , 1 ( ) sup ( ) ( ) , r P S m r P S m r ∆ = = +

VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG Tô Anh Dũng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Các định lý giới hạn địa phương với điều kiện cần và đủ cho phân phối giới hạn bất kỳ một chiều là một lớp bài toán đóng một vai trò không nhỏ trong lý thuyết xác suất và thống kê toán.

Tuy nhiên trong thực tế ngoài các biến ngẫu nhiên một chiều, còn gặp các biến nhiều chiều. Vì vậy mục tiêu của bài báo này là mở rộng các định lý trên cho các không gian hữu hạn chiều.

Ngoài ra, bài báo còn xét một dạng định lý giới hạn địa phương khác, đó là định lý giới hạn địa phương của các hiệu trên các không gian nhiều chiều.

Trong bài báo này chúng ta sử dụng một số ký hiệu truyền thống sau:

! - Tập hợp các số nguyên

! - Tập hợp các số thực

!^S - Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số nguyên

!

^S - Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số thực

2. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN VÉCTƠ S-CHIỀU 2.1 Định lý giới hạn địa phương cổ điển

Trước hết ta đưa ra hai định lý giới hạn địa phương đã được xét trong [4]. Ký hiệu

1

...

n n

S = X + + X

là tổng các biến ngẫu nhiên

X

₁

,..., X

_n,

1_n

( ) sup (

_n

) (

_n

) ,

m

r P S m r P S m r

∆ =

∈

= + − = ∈

!

!

,

2

( ) sup ( ) ( )

∆ =

∈

+ −

n ! n n

r

r p x r p x

,

p x

_n

( )

là hàm mật độ của S_n,

x ∈ !

.

Định lý 2.1.1 Giả sử

S

_n

∈ !

và tồn tại dãy

A

_n

∈ !

và

b

_n

∈ !

(

b

_n

→ ∞

) sao cho khi

n → ∞

^{n n}

( )

n

S A

P x F x

b

 − ≤  →

 

 

, (1) trong đó

F x ( )

là hàm phân phối với hàm mật độ

p x ( )

liên tục đều trong

!

. Khi đó để

, 1, 2,...

Xk k

=

thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

1 1

(

_n

)

ⁿ

n n n

m A

P S m p o

b b b

   −   

= =     +  

     

(2) đều theo

m ∈ !

, điều kiện cần và đủ là

∆

¹_n

( ) r

_n

= o b (

_n⁻¹

)

với mọi dãy

r

_n

∈ !

mà

n

( )

n

r = o b

.Định lý sau cho trường hợp liên tục.

Định lí 2.1.2 Giả sử (1) thỏa mãn. Để X_k,k

=

1, 2,...thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

b p

n n

( A

n

+ b x

n

) → p x ( )

(3)

đều theo

x

, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ

p x

_n

( )

và

∆

²_n

( ) v

_n

= o b (

_n⁻¹

)

với mọi dãy

v

_n

∈ !

mà

v

_n

= o b ( )

_n ^.

Việc nới rộng hai định lý trên cần các ký hiệu:

1

...

n n

S = X + + X

là tổng các véc tơ ngẫu nhiên

X

₁

,..., X

_n,

1

( ) sup ( ) ( ) ,

S

S

n n n

m

r P S m r P S m r

∈

∆ = = + − = ∈

!

!

,

2

( ) sup ( ) ( )

n S n n

r

r p x r p x

∈

∆ = + −

!

,

p x

_n

( )

là hàm mật độ của Sn ,

x ∈ !

^S,

1/ 2 2 1 S

i i

x x

=

 

=   ∑  

, trong đó x

=

( ,...,x₁ x_S).

Định lý 2.1.1’ Giả sử

S

_n

∈ !

^S và tồn tại dãy

A

_n

∈ !

^S và

b

_n

∈ !

(

b

_n

→ ∞

) sao cho khi

n → ∞

^{n n}

( )

n

S A

P x F x

b

 − ≤  →

 

 

, (1’) trong đó

F x ( )

là hàm phân phối với hàm mật độ

p x ( )

liên tục đều trong

!

^S. Khi đó để

, 1, 2,...

Xk k

=

thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

1 1

(

_n

)

_S ⁿ _S

n n n

m A

P S m p o

b b b

   −   

= =     +  

     

(2’) đều theo

m ∈ !

^S điều kiện cần và đủ là

∆

¹_n

( ) r

_n

= o b (

_n^−S

)

với mọi dãy

r

_n

∈ !

^Smà

n

( )

n

r = o b

^.

Định lí 2.1.2’ Giả sử (1’) thỏa mãn. Để X_k , k

=

1, 2,...^thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

b p

n^S n

( A

n

+ b x

n

) → p x ( )

(3’) đều theo

x

, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ

p x

_n

( )

và

∆

²_n

( ) v

_n

= o b (

_n^−S

)

với mọi dãy

v

_n

∈ !

^S mà

v

_n

= o b ( )

_n ^.

2.2.Định lý giới hạn địa phương của các hiệu Ta ký hiệu

V là định thức của ma trận V,

k

( )

f t

X là hàm đặc trưng của Xk ,

n

( )

f t

là hàm đặc trưng của Sn .

Định lý 2.2.1 Giả sử

X

_k

∈ !

^Scó cùng phân phối với bước cực đại bằng một, có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến, khi đó

^Δn

r m

^S

m an r

^{S exp}

n ( m an m an )

^S

n n

θ π

− −

+ +

−  

=  − − −  +

 

V V

V

1 1 1

2 2

2 2 2

( ( ), ) 1

( , ) ( ),( )

(2 ) 2

(4)

trong đó,

a E X = ( )

_k , θ

≤ C F r ( , ) < ∞

, F là phân phối của Xk .

Hệ quả 2.2.1 Giả sử

X

_k

∈ !

^Scó cùng phân phối với bước cực đại bằng một với kỳ vọng bằng không, có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến. Khi đó với mọi hằng số r và m

Δ¹

− +

 

=  

 

2

( , )

^S2

n

r m O n

(5) Nhận xét 2.2.1 Biểu thức (5) không đều theo m. Hơn nữa theo (4), tồn tại C(F, r) và

m

_n sao cho Δ¹_n

( , ) r m

_n

= C F r n ( , )

^−S+22

Nhận xét 2.2.2 Với điều kiện của định lý 2.2.1 định lý giới hạn địa phương thỏa mãn, thậm chí với một đánh giá của số dư, tuy nhiên để nhận được (4) từ định lý giới hạn địa phương là không thể ( cần đòi hỏi tồn tại mômen bậc cao hơn để có được đánh giá số dư tốt hơn).

Định lý sau xét trường hợp liên tục.

Định lý 2.2.2 Giả sử

X

_k

∈ !

^Scó cùng phân phối và với

n

₀ nào đó tồn tại hàm mật độ bị chặn

p x

_n

0

( )

, ngoài ra có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến, khi đó

^Δn

r x

^S

x an r

^{S exp}

n ( x an x an )

^S

n n

θ π

− −

+ +

−  

=  − − −  +

 

V V

V

2 1 1

2 2

2 2 2

( ( ), ) 1

( , ) ( ),( )

(2 ) 2

(6) trong đó,

a E X = ( )

_k , θ

≤ C F r ( , ) < ∞

, F là phân phối của Xk .

2.3 Chứng minh

1) Chứng minh định lý 2.1.2’ : Ta ký hiệu Fn(x) – hàm phân phối của Sn ,

sup ( ) ( )

n S n n n

x

F A b x F x

ε

∈

= + −

!

, ν_n

= ( ,..., )

ν_n¹ ν_n^S ,

ν_nⁱ

=  

^2Sε_n

b

_n

  , i = 1,2,..., S

[ , ] a b

là hình chữ nhật s-chiều.

Đủ: Từ điều kiện (1’) ta có ε_n

→ 0

, từ đó ν_n

= o b ( )

_n . Hơn nữa,

1

[ , ] [ , ]

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

n n n n n n n n n n

S S S S

n n n n n n n n n n n n

u A b x A b x u A b x A b x

b p A b x b p u du b p A b x p u du

ν ν

ν ⁻

∈ + + + ∈ + + +

+ =

∫

+

∫

+ − =

Δ 1 1

1

...

( ) ( ) ( ) ( )

n n

S S S

n n n n

F x O b o b

ν ν ε ν ⁻

= + +

= ( ) ( )

ν_n^{1 S}

p x

_n

+ O ( ) ( ) (1)

ε_n

+

ν¹_n ^S

o

ở đây,

x

_n

∈ [ , x x +

ν_n

]

và Δ

1...

( )

h hn

F x

là hiệu bậc k của F(x) theo các thành phần của véctơ x với các số gia h1, …, hn.

Từ đó, do

p x ( )

liên tục đều, ta có

( ) ( ) (1) ( ) (1)

S

n n n n n

b p A b x + = p x + o = p x o +

Nghĩa là ta nhận được (3’).

Cần: Giả sử ta có (3’), khi đó

Δ²

( ) sup ( ) ( )

n n S n n n

x

p x p x

ν ν

∈

= + −

!

sup ( )

S

S n n n S

n n

x n n

x A x A

b p p o b

b b

− ν −

∈

 + −   − 

=  −   +

   

!

= o b (

_n^−S

)

vì

p x ( )

liên tục tuyệt đối và ⁿ

0

b

n

ν

→

. Định lý chứng minh xong. !

2) Chứng minh định lý 2.2.1 Từ công thức biến đổi ta có

Ω

Ω

Δ^{1 ( , ) ( , )}

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) 1 ( ) ( )

(2 )

1 ( ) ( )

(2 )

1 ( ) ( )

(2 )

i m t i m r t

n S n

i m t i m r t S n

t

i m t i m r t S n

r m e e f t dt

e e f t dt

e e f t dt

δ

π

π

π

− − +

− − +

≤

− − +

′

= −

= − +

+ −

∫

∫

∫

1 [

_{1 2}

] (2 )

^S

J J

=

π

+

(7) trong đó,

Ω { Ω {

1 1

( ,..., ): , 1,..., }

( ,..., ): , 1,..., ; }

S i

S i

t t t t i s

t t t t i s t

δ

δ δ

= = ≤ =

′ = = ≤ = >

Vì ma trận V xác định dương nên có thể chọn δ sao cho cầu

{ t ≤

δ

}

nằm trong elipxoid:

2 3/ 2 1/ 2

1 3

[ ( , ) ] : ( , ) sup

( , )

S k

t k

E t X a

t t t

E t X a

=

 − 

 ∈ ≤ 

 

 − 

 

V

!

Và với δ đó, sử dụng định lý 8.4 của [2] ta nhận được

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 2

1

( , ) ( , ) 3/ 2 3/ 2 ( , )

3,

( )

( ) ( , )

an t n t t i m t i m r t

t

i m t i m r t Cn t t

n t

J e e e dt

e e n t t e dt

δ

δ

θ

− −

− − +

≤

− − + −

≤

= − +

+ −

∫

∫

V

V V

l

= J

₁₁

+ J

₁₂ (8) trong đó, l_{j n,} là phân số Liapunov:

( )

1

( 2)/ 2

, 1 / 2

1 1 2

1

( , )

sup , ( 2)

( , )

n j

k j

j n t kn j

k k

n E t X a

n j

n E t X a

−

= − −

= −

=

−

= × ≥

 − 

 

 

∑

∑

l

Ta có

( , ) ( , )

( , ) ( , ) 2

11

( )

S

an t n t t i m t i m r t

J = ∫ e

⁻

− e

^{− +}

e

^{− − V}

dt −

!

(

^{i m t( , ) i m r t( , )}

)

^{( , )an t 2n( , )t t}

t

e e e dt

δ

− −

− − +

>

− ∫ −

^V

= J

¹¹

′ + J

¹¹

′′

(9)

Theo công thức biến đổi ta có

( ) ( )

1 1

/ 2 ( ), ( ) ( ), ( )

2 2

11 / 2

(2 )

^S _n ^{m an m an} _n ^{m r an m r an}

J

S

e e

n

π



^{− − − − + − + −}



′ =  − 

 

-1 -1

V V

V

Từ đó, sử dụng khai triển Taylor tại điểm m , nhận được

( )

2¹

(

^{( ), ( )}

)

2²

11 2

2 / 2

( ),

(2 )

m an m an S S n

S

m an r

J e O n

n

π

− − − − +

+

−  

′ = +  

 

-1 -1

V V

V

(10) Tiếp theo,

( , ) ( , ) ( , )

2 4 4

11

n t t n t t n t t

t t

J C e dt C e e dt

δ δ

− − ′ ′ −

> >

′′ ≤ ∫

^V

=

^V

∫

^V

trong đó,

t ′∈ ∈ { t

^!S

: t >

^δ

}

^và

C C F = ( )

^.

Chú ý rằng, nếu α_* là giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận V, thì giá trị nhỏ nhất của dạng toàn phương

( , )

V

t t

với điều kiện

t =

δ ^{sẽ là} δ α_*

≠ 0

^{. Vì vậy}

( , ) 4 ( , )

4 4

11 / 2

2

S S

n n t t S n t t

S

J C e e dt C e e dt

n

δ α − δ α

− − −

′′ ≤ ∫

^V

= ∫

^V

! !

*

*

Do V đối xứng, không suy biến nên tồn tại ma trận Q sao cho Q VQ

′ =

K, trong đó K là ma trận đường chéo, tạo thành từ các giá trị riêng α_i của ma trận V. Để tính tích phân cuối cùng, ta đổi biến với

t Cx =

^:

2 / 2 / 2 ( , )

1 1

...

i i S

S S

S x

t t

i i S

e dt e

^α

dx

π π

α α

∞ −

−

= −∞

= ∏ = =

∫

^V

∫

! V

trong đó

x x = ( ,..., )

₁

x

_S . Như vậy,

11 / 2

Cn S

J C e n

′′ ≤

−

và từ đó nhận được

2 11 2

J o n 

⁻S⁺



′′ =  

 

(11) Bây giờ ta đánh giá

J

₁₂

₁₂ ^{i m t( , ) i m r t( , )} _3,n ^{3/ 2}

( , )

^{3/ 2 Cn t t( , )}

t

J e e n t t e dt

δ

− − + θ −

≤

= ∫ −

^{l V V}

≤

3/ 2

3/ 2 ( , )

( , )

1/ 2

( , )

S

Cn t t

C r t n t t e dt

n

θ ₋

≤ ∫

^{V V}

=

!

2

2

3/ 2 ( , ) 2

2

3/ 2 2

2

4 2

2

( , ) ( , )

( , )

S

S

S

C u u S

C u

S

C u

S

C r u u u e du

n

C r u u u e du

n

C r u e du

n

α

α

θ

θ

θ α

− +

− +

− +

= ≤

≤ ≤

≤ ≤

∫

∫

∫

V V

V

!

!

!

*

* *

₂

2

( , )

S

C F r n

⁺

≤

(12) trong đó α^* là giá trị riêng lớn nhất của ma trận V.

Cuối cùng

Ω

2 _n

( )

J C f t dt

′

≤ ∫

Vì

X

₁ là véctơ ngẫu nhiên với thành phần nguyên với bước cực đại bằng một nên

( ) 1 ,

Ω

f t < t ∈ ′

ở đây

f t ( )

hàm đặc trưng của X1. Do vậy

Ω

sup ( )

_n ⁿ

, ( , ) 1

t

f t a a a F

δ

′

∈

= = <

Từ đó nhận được

J

₂

≤ (2 )

π ^S

a

^{S. Như vậy}

2 2 2

J o n 

⁻S⁺



=  

 

(13)

Còn lại, thay (10), (11) vào (9) ; thay (9), (12) vào (8). Và từ (8), (13) và (7) suy ra (4).

Định lý 2.2.1 được chứng minh xong. ! 3) Chứng minh hệ quả 2.2.1

Theo định lý 2.2.1, do a = 0 ta có

( )

Δ exp

1 2

1 1 2

2 2

2 2 2

( , ) 1

( , ) ,

(2 ) 2

S

n S S S

r m m r m m O n

n n n

θ π

+

− − −

+ +

 

 

=  −  + =  

   

V V

V

Chứng minh xong. !

4) Chứng minh định lý 2.2.2 Từ điều kiện bị chặn của hàm mật độ

0

( )

p x

n suy ra hàm đặc trưng

0

( )

f t

n khả tích tuyệt đối, nghĩa là có công thức biến đổi cho

n ≥ 2 n

₀^{. Vì vậy,}

Δ²ⁿ

( , ) r x = (2 )

π

1

^S

∫ ( e

^{−i x t( , )}

− e

^{−i x r t( + , )}

) ( ) f x dt

ⁿ

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

(2 )

x t i x r t i x t i x r t

n n

S

t t

e e f t dt e e f t dt

δ δ

π _≤ ^{− − +} _> ^{− − +}

 

=  − + − 

 

 ∫ ∫ 

1 [

_{1 2}

] (2 )

^S

J J

=

π

+

(14) trong đó, δ được xác định trong chứng minh định lý 2.2.1 và tương tự ta nhận được

^{1 1 2 exp}

(

¹

)

²

2 2 2

( ( ), ) 1 ( ),( )

(2 )

^{S S}

2

^S

x an r

J x an x an

n n n

θ π

− −

+ +

−  

=  − − −  +

 

V V

V

(15) ở đây θ

≤ C F r ( , ) < ∞

^.

Ta xét J2

_{2 n}

( )

_n

( )

_n

( ) [

_{1 2}

]

t t H t H

J C f t dt C f t dt f t dt C I I

δ δ

> < ≤ >

 

≤ =  +  = +

 

 

∫ ∫ ∫

(16)

Ta có

1 2 1

2 1

( ) ( )

k

n

X n

k n t H

I f t f t dt

= + δ< ≤

= ∏ ′ ∫

, trong đó

t ∈ ∈ { t

^!S

:

^δ

< t ≤ H }

. Theo bổ đề 2 [3]

1 1

1

2 1 2 2

( ) exp 2( 2 ) inf ( , )

k

n

X d H

k n

f t n n X d

δ

π π

Λ

≤ ≤

= +

 

 

′ ≤  − − 

 

 

∏

2_n1

( )

1

( , , )

t H

f t dt C F H

δ

δ

< ≤

= < ∞

∫

và

1

2 2

inf

_H

( , ) 0

d

X d C

δ

π π

Λ

≤ ≤

≥ > ′

trong đó

1

( , ) inf

_S

( ,

2

( ) ,

S

S a k

X d x a d P dx d

Λ

=

∈!

∫ < − > ∈

!

! (xem [5]). Và

< >

α là khoảng cách từ số nguyên gần nhất đến α .

Vì vậy

I C

₁

≤

₁

exp{ 2( − n − 2 ) } n C′

₁ hay

2 1 2

I o n 

⁻S⁺



=  

 

(17) Tiếp theo ta có

1 1

2 2

2 1

( ) ( )

k

n

X n

k n t H

I f t f t dt

= + ≥

= ∏ ′′ ∫

trong đó

t ′′∈ ∈ { t

^!S

: t ≥ H }

^{. Và}

{ }

1

1 / 2 1

2 1

( ) exp 2( 2 ) inf ( , )

k

n

X d H

k n

f t n n X d

πΛ

= + ≥

′′ ≤ − −

∏

1

2

inf

_H

( , )

d

X d C

π

Λ

≥

≥ ′′

( với H nào đó đủ lớn) Vậy

2 2 2

I o n 

⁻S⁺



=  

 

(18) Cuối cùng, từ (14) – (18) suy ra (6). Định lý 2.2.2 được chứng minh xong. !

3. KẾT LUẬN

Bài báo có thể phát triển theo một số hướng sau:

- Nới rộng các định lí trên ra trường hợp vô hạn chiều.

- Xem xét ứng dụng các định lí trên trong các mô hình thống kê phi tuyến.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Kesten H. Sum of independent random variables – without moment condition. – Ann.

Math. Stat., Vol. 42, No 3, p. 701-703, (1972).

[2]. Бхаттачария Р.Н., Paнгa Pao P. Аппpoкcимaция нopмaльным pacпpeдeлeниeм и acимптoтичecкиe paзлoжeния. Hayкa, (1982).

[3]. A. Б. Лoкaльныe пpeдeльныe тeopeмы для плoтнocтeй cyмм нeзaвиcимых вeктopoв . – Изв. AН УзCCP, Cepия физ. мaт. нayк. No 5, C. 25-29, (1983).

[4]. Myxин A. Б. O нeкoтopых нeoбхoдимых и дocтaтoчных ycлoвиях лoкaльных пpeдeльных тeopeм. – Дoкл. AН УзCCP, No 8, C 7-8, (1984).

[5]. To Aнь Зyнг. Cглaживaниe pacпpeдeлeний пpи cyммиpoвaнии и лoкaльныe пpeдeльныe тeopeмы. – Изв. AН УзCCP, Cepия физ. мaт. нayк, No 2, C. 44-51, (1986).

[6]. Tô Anh Dũng, Ung Ngọc Quang. Về một định lí giới hạn địa phương trong không gian các ma trận. Hội nghị khoa học trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TPHCM, (1993).