TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO MỘT LỚP CÁC BAO HÀM ... - 1. Mở đầu

Natural Sciences, 2020, Volume 65, Issue 3, pp. 3-12 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO MỘT LỚP CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN TRUNG TÍNH

Bùi Thị Hải Yến¹, Nguyễn Thị Nhàn¹và Nguyễn Thị Quỳnh²

1Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư

2Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội

Tóm tắt.Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân trung tính được cho bởi





 d

dt[Dy^t−f(t, y^t)]−A[Dy^t−f(t, y^t)]−Ly^t∈F(t, y^t), t∈J = [0,∞), y⁰=ϕ∈C^E=C([−r,0];E), r >0.

(1)

Bằng việc sử dụng lí thuyết giải tích đa trị, nguyên lí ánh xạ co và định lí điểm bất động Frigon, chúng tôi đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của (1).

Từ khóa:bao hàm thức vi phân trung tính, định lí điểm bất động.

1. Mở đầu

Bao hàm thức vi phân (hay còn được gọi là hệ vi phân đa trị) là một lớp bài toán có nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật. Nó không chỉ góp phần khái quát hóa lớp phương trình vi phân với vế phải không liên tục, hay các bài toán điều khiển với hàm điều khiển nằm trong một tập biến thiên theo trạng thái (điều khiển phản hồi đa trị), mà còn là mô hình toán học của nhiều ứng dụng quan trọng trong kĩ thuật, sinh hóa. . . Về bao hàm thức vi phân, có thể kể đến các cuốn sách chuyên khảo như [1], và nhiều hướng nghiên cứu rộng rãi liên quan đến các tính chất định tính của nó (chẳng hạn, xem [2, 3]).

Bài báo nghiên cứu một lớp bao hàm thức vi phân trung tính trên không gian Banach tổng quát. ChoElà không gian Banach, chúng ta xét bài toán sau





 d

dt[Dy_t−f(t, y_t)]−A[Dy_t−f(t, y_t)]−Ly_t∈F(t, y_t), t∈J = [0,∞), y₀=ϕ∈C_E =C([−r,0];E), r >0.

(1.1)

trong đó, toán tửA:D(A)⊆E →Elà tuyến tính có thể không bị chặn,L:CE →Elà toán tử tuyến tính bị chặn, toán tửD:C_E →Etuyến tính liên tục và được xác định bởi

Dϕ=ϕ(0)−P ϕ,∀ϕ∈C_E

Ngày nhận bài: 13/3/2020. Ngày sửa bài: 20/3/2020. Ngày nhận đăng: 27/3/2020.

Tác giả liên hệ: Bùi Thị Hải Yến. Địa chỉ e-mail: bthyen.ktn@hluv.edu.vn

vớiP : C_E → E là toán tử tuyến tính bị chặn. Hàm trễy_t ∈ C_E cho bởiy_t(θ) = y(t+θ) với θ∈[−r,0]. Ánh xạ đa trịF :J×C_E → P(E)nhận giá trị compact và hàmf :J×C_E →Elà liên tục.

Kết quả đầu tiên của bài toán đạo hàm riêng trung tính được nghiên cứu bởi Datko [4].

Những kết quả gần đây nhất có thể kể đến của các tác giả Anh-Ke [5], Haiyang-Shi-Liping [6], Wang-Shen [7], Eduarho-Jianhong-Denis [8], Ezzinbi và các cộng sự [9-12]. Trong đó, các tác giả đã nghiên cứu về tính giải được, nghiệm phân rã, nghiệm tuần hoàn, và tính tiêu hao cho một số lớp các phương trình vi phân/đạo hàm riêng trung tính.

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán (1.1) bằng định lí điểm bất động Frigon. Kết quả nhận được là tiếp nối những kết quả trước đó được đưa ra bởi nhóm tác giả Mostafa Adimy, Khalil Ezzinbi và các cộng sự.

2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lí thuyết

Trong phần này, chúng ta nhắc lại một số kết quả về ánh xạ đa trị co chấp nhận được trong không gian Fréchet.

ChoXlà không gian metric, ta kí hiệu các tập hợp bởi P(X) ={Y ⊂X :Y 6=∅}, Pcl(X) ={Y ∈ P(X) :Y đóng}, Pcp(X) ={Y ∈ P(X) :Y compact},

Pb(X) ={Y ∈ P(X) :Y bị chặn}.

Gọi∧là tập chỉ số và với mỗiα∈ ∧, giả sửdαlà một metric trênX, gọiDα là giả metric Hausdorff sinh bởi metricd_α:

D_α(A, B) = inf{ǫ >0 :∀x∈A, y ∈B,∃x¯∈A,y¯∈B sao chod_α(x,y)¯ < ǫ, d_α(¯x, y)< ǫ},

vớiinf∅=∞. Trong trường hợpXlà một không gian lồi địa phương đầy đủ, ta nói rằng tập con A⊂Xlà bị chặn nếuD_α({0}, A)<∞với mọiα∈ ∧.

Định nghĩa 2.1. Cho X và E là hai không gian Fréchet. Một ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là một ánh xạ co chấp nhận được với các hằng số{k_α}α∈∧ nếu với mỗiα ∈ ∧tồn tại k_α∈(0,1)sao cho các khẳng định đúng

i)D_α(F(x), F(y))≤k_αd_α(x, y)với mọix, y∈X.

ii) Với mọix∈Xvàǫ= (ǫ_α)∈(0,∞)^∧, tồn tạiy∈F(x)sao cho d_α(x, y)≤d_α(x, F(x)) +ǫ_αvới mọiα∈ ∧. Bổ đề sau được chỉ ra trong [13].

Bổ đề 2.1. Cho Xlà không gian Fréchet vàU là một tập mở trong X. ChoN : ¯U → P(X)là một toán tử co chấp nhận được. Giả sử rằngN bị chặn. Khi đó, các phát biểu sau tương đương:

i) N có điểm bất động.

ii) Tồn tạiλ∈[0,1)vàx∈∂Usao chox∈λN(x).

Để áp dụng Bổ đề 2.1, ta xétH_d:P(X)× P(X) →R₊∪ {∞}cho bởi:

H_d(A, B) = max

sup

a∈A

d(a, B),sup

b∈B

d(A, b)

,

trong đó,d(a, B) = inf

b∈Bd(a, b),d(A, b) = inf

a∈Ad(a, b).

Khi đó,(Pcl(X), H_d)là không gian metric. Kết quả dưới đây được chứng minh trong [16].

Mệnh đề 2.1. NếuΓ₁vàΓ₂là hàm đa trị đo được giá trị compact thì hàm đa trịt7→Γ₁(t)∩Γ₂(t) đo được.

Định lí 2.1. ChoXlà không gian metric tách được,(T, σ)là không gian đo được,Γlà hàm đa trị từT vào tập tất cả các tập con khác rỗng củaX. Nếu với mỗi tập mởV trongX,Γ⁻(V) = {t: Γ(t)∩V 6=∅}thuộcσthì ảnh củaΓlà các tập đo được.

2.2. Tính giải được

Trong phần này, ta đưa ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán (1.1). Trước khi trình bày kết quả, chúng tôi xét các giả thiết sau

(H1) Toán tửAlà Hille-Yosida, nghĩa là, tồn tạiM0 ≥0vàω∈Rsao cho(ω,∞)⊂ρ(A)và

k(λ−A)⁻ⁿk ≤ M₀

(λ−ω)ⁿ, vớin∈Nvàλ > ω, trong đóρ(A)kí hiệu là tập giải của toán tửA.

Đặt

D(A₀) ={x∈D(A), Ax∈D(A)}, A₀x=Axvớix∈D(A).

Khi đó,A₀sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh(T₀(t))_t≥0 trênD(A).

(HF) Hàm đa trịF : [0,∞)×C_E → P(E)làL₁-Caratheodory, nghĩa là:

(i)t7→F(t, y)đo được với mỗiy∈C_E.

(ii)x7→F(t, x)liên tục với hầu khắpt∈[0,∞).

(iii) Với mỗiq >0, tồn tạih_q ∈L¹_loc([0,∞),R₊)sao cho

kF(t, y)k ≤h_q(t)với mọikyk ≤qvà với hầu khắpt∈[0,∞).

(Hf) Tồn tạiK1 <1sao cho

kf(t, y)−f(t,y)¯ k ≤K₁ky−y¯kvớit∈J;y,y¯∈C_E. (H2) kPk+K₁<1.

(H3) Tồn tại hàm không giảmψ: [0,∞)→[0,∞)vàp∈L¹_loc([0,∞),R₊)sao cho kF(t, y)k ≤p(t)ψ(kyk)hầu khắpt∈J,∀y∈C([−r,0], D(A))với

∞

Z

1

ds

s+ψ(s) =∞. (H4) với mọiR >0, tồn tạil_R∈L¹_loc([−r,∞),R₊)sao cho

H_d(F(t, y), F(t,y))¯ ≤l_R(t)ky−y¯k,với mọiy,y¯∈C_E thoả mãnkyk,ky¯k ≤R, và

d(0, F(t,0))≤l_R(t)với hầu khắpt∈J.

Nhận xét 2.1. Từ(Hf), ta có

kf(t, ϕ)k ≤K₁kϕk+K₂với mọit∈J, ϕ∈C_E, trong đó,K₂= sup_t∈Jkf(t,0)k

Sau đây ta đưa ra khái niệm về nghiệm tích phân của bài toán (1.1). Với mỗiv ∈C([−r,∞);X) ta ký hiệu

S_F,v ={g∈L¹(J, E) :g(t)∈F(t, v_t)với hầu khắpt∈J}.

Định nghĩa 2.2. Hàm liên tụcy ∈C([−r,∞), D(A))được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)nếu tồn tại một hàmg∈S_F,y sao cho những khẳng định sau được thoả mãn:

i) Zt

0

(Dy_s−f(s, y_s))ds∈D(A), t≥0,

ii) Dyt=f(t, yt) +Dϕ−f(0, ϕ) +A

t

Z

0

(Dys−f(s, ys))ds+L

t

Z

0

ysds+

t

Z

0

g(s)ds, t≥0,

iii) y₀ =ϕtrên[−r,0].

Nhận xét 2.2. Nếu một nghiệm tích phân của bài toán(1.1)tồn tại thì theo [11] nghiệm này được cho bởi công thức:

Dy_t=f(t, y_t) +T₀(t)(Dϕ(0)−f(0, ϕ)) + lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λLy_sds

+ lim

λ→∞

t

Z

0

T0(t−s)B_λg(s)ds.

trong đó,B_λ =λ(λ−A)⁻¹.

Với mỗin∈N, ta định nghĩa nửa chuẩn trongC([−r,∞), D(A))bởi kykn:= sup

t≤n

e^{−(wt+τ Ln(t))}ky(t)k,

trong đóL_n(t) =

t

R

0

M l_n(s)ds. Khi đóC([−r,∞), D(A))là không gian Fréchet với họ nửa chuẩn {k.kn}n≥1. Hằng sốτ được chọn đủ lớn trong khi thiết kế các nửa chuẩn thích hợp nhằm thu được kết quả về tính giải được của bài toán.

Định lí 2.2. Giả sử rằng(H1)-(H4) và (Hf)thỏa mãn. Khi đó với mỗiϕsao choϕ(0)−f(0, ϕ) ∈ D(A), bài toán(1.1)có ít nhất một nghiệm tích phân trên[−r,∞).

Chứng minh. Xét toán tửN :C([−r,∞), D(A))→ P(C([−r,∞), D(A)))được định nghĩa bởi,

N(y)(t) =















ϕ(t), nếut∈[−r,0],

f(t, yt) +T0(t)[Dϕ(0)−f(0, ϕ)] +P yt+ lim

λ→∞

t

R

0

T0(t−s)B_λLysds + lim

λ→∞

Rt 0

T₀(t−s)B_λg(s)ds, nếut∈J.

trong đóg∈S_F,y.

Ta thấy, điểm bất động của toán tửN là nghiệm tích phân của bài toán (1.1). Ta sẽ chứng minhN có điểm bất động.

Choylà một nghiệm của bài toán (1.1). Chon∈Nvàt≤n, thìy ∈ N(y), và tồn tạig ∈S_F,y sao cho, với mỗit∈[0,∞), ta có

y(t) =f(t, y_t) +T₀(t)[Dϕ(0)−f(0, ϕ)] +P y_t+ lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λLy_sds

+ lim

λ→∞

t

Z

0

T₀(t−s)B_λg(s)ds.

Khi đó,

ky(t)k ≤(K₁ky_tk+K₂) +M e^wt(kDϕk+K₁kϕk+K₂) +kP y_tk

+M e^wtkLk Zt

0

e^−wsky_skds+M e^wt Zt

0

e^−wsp(s)ψ(ky_sk)ds.

Đặt

µ(t) = sup{ky(s)k:−r≤s≤t},0≤t≤n.

Khi đó tồn tạit^∗ ∈[−r, t]sao choµ(t) =ky(t^∗)k. Nếut^∗ ∈[−r,0]thìµ(t) =kϕk.

Trong trườngt^∗ ∈[0, n], theo bất đẳng thức trên ta có vớit∈[0, n],

e^−wtµ(t)≤M(1 +kPk+K₁)kϕk+M K₂ 1− kPk −K1

+ MkLk 1− kPk −K1

t

Z

0

e^−wsky_skds

+ M

1− kPk −K₁ Zt

0

e^−wsp(s)ψ(µ(s))ds.

Đặt vế phải của bất đẳng thức trên làv(t). Khi đó, ta có

µ(t)≤e^wtv(t)với mọit∈[0, n], và

v(0) = M(1 +kPk+K₁)kϕk+M K₂ 1− kPk −K₁ , v^′(t) = MkLk

1− kPk −K1

e^−wtky_tk+ M 1− kPk −K1

e^−wtp(t)ψ(µ(t)).

Sử dụng tính tăng củaψta có v^′(t)≤ MkLk

1− kPk −K₁e^−wtµ(t) + M

1− kPk −K₁e^−wtp(t)ψ(e^wtv(t))

≤ MkLk

1− kPk −K₁e^−wte^wtv(t) + M

1− kPk −K₁e^−wtp(t)ψ(e^wtv(t)), hầu khắpt∈[0, n].

Bất đẳng thức này kéo e^wtv^′(t)≤ MkLk

1− kPk −K₁e^wtv(t) + M

1− kPk −K₁p(t)ψ(e^wtv(t)), hầu khắpt∈[0, n].

Do đó,

(e^wtv(t))^′ =we^wtv(t) +e^wtv^′(t)

≤

w+ MkLk 1− kPk −K₁

e^wtv(t) + M

1− kPk −K₁p(t)ψ(e^wtv(t))

≤m(t) e^wtv(t) +ψ(e^wtv(t))

, hầu khắpt∈[0, n].

trong đóm(t) = max

w+ MkLk

1− kPk −K₁; M

1− kPk −K₁p(t)

. Từ đó ta suy ra

e^wtv(t)

Z

v(0)

du u+ψ(u) ≤

Zn

0

m(s)ds <∞.

Bởi giả thiết (H3), tồn tại hằng sốdnsao choe^wtv(t)≤dn, t∈[0, n]và sup

−r≤s≤nky_sk ≤max{kϕk, d_n}:=M_n.

Đặt

U ={y∈C([−r,∞), E) : sup{ky(t)k:t≤n}< M_n+ 1, với mọin∈N}. Dễ thấy,U là tập mở trongC([−r,∞), E).

Ta sẽ chứng minhN : ¯U → P(C([−r,∞), D(A)))là toán tử co chấp nhận được.

Đầu tiên, ta chứng minhN là một ánh xạ co, nghĩa là, tồn tạiγ <1sao cho H_d(N(y), N(¯y))≤γky−y¯knvới mỗiy,y¯∈C([−r,∞), D(A)).

y,y¯∈C([−r,∞), D(A))vàh∈N(y). Khi đó, tồn tạig(t)∈F(t, y_t)sao cho với mỗit∈[0, n]

y(t) =f(t, y_t) +T₀(t)(Dϕ(0)−f(0, ϕ)) +P y_t

+ lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λLy_sds+ lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λg(s)ds

=:h(t).

Từ giả thiết (H4), ta có

H_d(F(t, yt), F(t,y¯t))≤ln(t)kyt−y¯tk. Do đó, tồn tạiw∈F(t, y_t)sao cho

kg(t)−wk ≤ l_n(t)ky_t−y¯_tk, t∈J.

XétU∗ : [0, n]→ P(E)cho bởi

U∗(t) ={w∈E :kg(t)−wk ≤l_n(t)ky_t−y¯_tk}.

Vì toán tử đa trịV∗(t) =U∗(t)∩F(t,y¯_t)đo được (theo Mệnh đề 2.2), tồn tại một hàm¯g,V∗(¯g)là tập đo được. Do đó,g¯∈F(t,y¯_t)và

kg(t)−g(t)¯ k ≤l_n(t)ky_t−y¯_tk, với mỗit∈[0, n].

Ngoài ra vớit∈[0, n], ta định nghĩa

¯h(t) =f(t,y¯_t) +T₀(t)(Dϕ(0)−f(0, ϕ)) +Py¯_t

+ lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λL¯y_tds+ lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λg(s)ds.¯

Khi đó,

kh(t)−¯h(t)k ≤kf(t, y_t)−f(t,y¯_t)k+kP y_t−Py¯_tk+k lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λ(Ly_s−L¯y_t)dsk

+k lim

λ→∞

t

Z

0

T₀(t−s)B_λ(g(s)−¯g(s))dsk.

Đặt

L_n(t) = Zt

0

M l_n(s)ds.

l_n(t) = max{kLk, l_n(t)}. Ta có các ước lượng sau

kf(t, y_t)−f(t,y¯_t)k ≤K₁ky_t−y¯_tk

≤K₁.e^{wt+τ Ln(t)}.e^{−(wt+τ Ln(t))}ky−y¯k=K₁.e^{wt+τ Ln(t)}.ky−y¯kn; kP y_t−Py¯_tk ≤ kPkky_t−y¯_tk

≤ kPk.e^{wt+τ Ln(t)}.e^{−(wt+τ Ln(t))}ky−y¯k=kPk.e^{wt+τ Ln(t)}.ky−y¯kn;

k lim

λ→∞

t

Z

0

T₀(t−s)B_λ(Ly_s−L¯y_t)dsk ≤M e^wtkLk

t

Z

0

e^−wsky_s−y¯_tkds

≤M e^wt Zt

0

L_n(s)e^{τ Ln(s)}e^{−(ws+τ Ln(s))}ky−y¯kds≤M e^wt Zt

0

l_n(s)e^{τ ln(s)}ky−y¯knds

≤ 1

τe^{ws+ ¯τ Ln(s)}ky−y¯kn;

k lim

λ→∞

Zt

0

T₀(t−s)B_λ(g(s)−g(s))ds¯ k ≤M e^wt Zt

0

e^−wskg(s)−g(s)¯ kds

≤M e^wt Zt

0

e^−wsl_n(s)ky_s−y¯_tkds≤M e^wt Zt

0

l_n(s)e^{τ ln(s)}ky−y¯knds≤ 1

τe^{ws+ ¯τ Ln(s)}ky−y¯kn.

Do đó,kh−¯hkn≤

kPk+K₁+ 2 τ

ky−y¯kn. Từ đó suy ra

H_d(N(y), N(¯y))≤

kPk+K₁+ 2 τ

ky−y¯kn. VìkPk+K₁ <1, nên ta có thể chọnτ đủ lớn sao chokPk+K₁+ 2

τ <1. VậyN là toán tử co.

Tiếp theo, ta chứng minhN chấp nhận được.

Choy ∈C([−r,∞), D(A)). XétN :C([−r, n], D(A))→ Pcl(C([−r, n], D(A))), cho bởi

N(y) =



















h∈C([−r, n], D(A)) :h(t) =



















ϕ(t), nếu t∈[−r,0]

f(t, y_t) +T₀(t)[Dϕ(0)−f(0, ϕ)] +P y_t + lim

λ→∞

t

R

0

T₀(t−s)B_λLy_sds + lim

λ→∞

Rt 0

T0(t−s)B_λg(s)ds, nếu t∈[0, n].



















trong đó,g∈S_F,yⁿ ={h∈L¹([0, n], D(A)) :h∈F(t, y_t)a.e t∈[0, n]}.

Từ (H1), (H3), (H4) vàF là ánh xạ đa trị với giá trị compact, nên bằng lập luận tương tự như trong [14] (hoặc [15]) ta suy ra với mọiy ∈C([−r, n], D(A))thìN(y) ∈ Pcp(C([−r, n], D(A))) và tồn tạiy∗ ∈C([−r, n], E)sao choy∗∈N(y∗).

Choh∈C([−r, n], D(A)),y¯∈U¯ vàǫ >0.

Nếuy∗∈N(¯y)thìky∗−N(¯y)k= 0và

ky¯−y∗k ≤ ky¯−Ny¯k+ky∗−hk. Vìhbất kì, ta có thể giả sửh∈B(y∗, ǫ). Do đó,

ky¯−y∗kn≤ ky¯−Ny¯kn+ǫ.

Nếuy∗∈/ N(¯y)thìky∗−N(¯y)k 6= 0. VìN(¯y)compact, tồn tạix∈N(¯y)sao choky∗−Ny¯k= ky∗−xk. Vìx∈N(¯y), ta được

ky¯−xk ≤ ky¯−Ny¯k+kx−hk. Vìhbất kì, ta có thể giả sửh∈B(x, ǫ). Do đó,

ky¯−xkn≤ ky¯−Ny¯kn+ǫ.

Vậy,N là toán tử co chấp nhận được. Hơn nữa, từ cách chọn củaU, không cóy ∈ ∂U sao cho y∈ λN(y)vớiλ∈[0,1)nào đó. Từ bổ đề 2.1,N có ít nhất một điểm bất động chính là nghiệm tích phân của bài toán (1.1).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J.P. Aubin, A. Cellina, 1984. Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory.

Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences],Springer-Verlag, Berlin, 264.

[2] T.D. Ke, D. Lan, 2017. Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects. J. Fixed Point Theory Appl. 19(4), pp. 2185-2208.

[3] T.D. Ke, N.V. Loi, V. Obukhovskii, 2015. Decay solutions for a class of fractional differential variational inequalities.Fract. Calc. Appl. Anal.18(3), pp. 531-553.

[4] R. Datko, 1977. Linear autonomous neutral differential equations in a Banach space.

J. Differential Equations, 25, pp. 258-274.

[5] Nguyen Thanh Anh and Tran Dinh Ke, 2015. Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays.Math. Meth. Appl. Sci.

[6] Wen, Haiyang; Shu, Shi; Wen, 2020. Liping Analytical and numerical dissipativity of neutral functional differential equations.Appl. Math. Lett.100, 106016, pp. 7.

[7] Wang, Weibing; Shen, Jianhua, 2020. Positive periodic solutions for neutral functional differential equations.Appl. Math. Lett.102, 106154, pp. 6.

[8] Hernández, Eduardo; Wu, Jianhong; Fernandes, Denis; 2020.Existence and Uniqueness of Solutions for Abstract Neutral Differential Equations with State-Dependent Delay. Appl.

Math. Optim. 81, No. 1, pp. 89-111.

[9] Ezzinbi K., Marrakesh, S. L. Rhali, Tara, 2014. Existence and controllability for nondensely defined partial neutral functional differential inclusions.

[10] M. Adimy, K. Ezzinbi, 1998. A class of linear partial neutral functional differential equations with non-dense domain.J. Differential Equations147, pp. 285-332.

[11] M. Adimy, K. Ezzinbi, 1999. Existence and linearized stability for partial neutral functional differential equations with non-dense domain.Differ. Equ. Dyn. Syst., 7, pp. 371-417.

[12] M. Adimy, K. Ezzinbi, M. Laklach, 2001. Spectral decomposition for partial neutral functional differential equations.Springer.

[13] M. Frigon, 2002. Fixed point resultats for multivalued contractions on gauge spaces.

SIMAA 4, 175-181.

[14] J. Henderson, A. Ouahab, 2005. Existence results for nondensely defined semilinear functional differential inclusions in Fréchet spaces.J. Qual. Theory Differ. Equ.

[15] M. Benchohra, A. Ouahab, 2005. Controllability results for functional semilinear differential inclusions in Fréchet spaces. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser. A, Theory Methods 61, 405-423.

[16] M. Frigon, 2002. Fixed point resultats for multivalued contractions on gauge spaces.

SIMAA 4, 175-181.

ABSTRACT

Solvability for the partial neutral functional differential inclusions

Bui Thi Hai Yen¹, Nguyen Thi Nhan¹ and Nguyen Thi Quynh²

1Department of Mathematics, Hoa Lu University

2Department of Fundamental Science, Hanoi University of Industry In this article, we study the existence of integral solutions to the following neutral functional differential inclusion:





 d

dt[Dy_t−f(t, y_t)]−A[Dy_t−f(t, y_t)]−Ly_t∈F(t, y_t), t∈J = [0,∞), y0=ϕ∈CE =C([−r,0];E), r >0.

(1)

By using the multivalued analysis theory, the fixed point theorem for condensing map and the Frigon’s fixed point theorem, we give sufficient conditions for the solvability of (1).

Keywords:partial neutral functional differential inclusion, the fixed point theorem.