tính toán ngẫu nhiên với quá trình dạng hermite

(1)

TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE Dương Tôn Đảm

Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG – HCM 1. MỞ ĐẦU

Hàm ngẫu nhiên dạng đa thức Hermite đã được đề cập đến trong các tài liệu của H.McKean [3], Lawrence.C.Evan [4], B.K Oksendan [2] . . . Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có những ứng dụng quan trọng. Ta bắt đầu từ những khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đó là vi và tích phân Itô của các quá trình ngẫu nhiên.

2.KHÁI NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 2.1.Định Nghĩa 2.1

Đa Thức Hermite bậc

n

là đa thức xác định bởi

2 2

( )

( , ) exp exp 0,1, 2,...

! 2 2

n n

t x d x

H x t n

n t dx t

 

   

= −    −    =

     

_(1.1)

-Theo định nghĩa trên ta có:

2

0 1 2

3 4 2 2

3 4

( , ) 1; ( , ) ; ( , )

2 2

( , ) ; ( , ) ; ...

6 2 24 4 8

x t H x t H x t x H x t

x tx x tx t

H x t H x t

= = = −

= − = − +

2.2.Định Nghĩa 2.2

Cho W^t là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều (chuyển động Brown), khi đó quá trình ngẫu nhiên:

H W t

n

(

t

^, )

xác định theo (1.1) , được gọi là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite.

Ví dụ: 3

( , )

³

6 2

t t

t

W tW H W t = −

Khái niệm vi, tích phân ngẫu nhiên mà ta xét trong bài này là vi, tích phân Itô, nghĩa là nếu hầu chắc chắn ta có

0

0 0

( , ) ( , )

t t

X = X + ∫ α ω s ds + ∫ β ω s dW

, khi đó ta viết

( , ) ( , )

t t

dX = α ω t dt + β ω t dW

_(1.2)

Biểu thức (1.2) được gọi là vi phân Itô của X^t, hay ta còn gọi đơn giản là vi phân ngẫu nhiên của X^t

.

2.3.Định lý 2.3 (Công thức Itô)

(2)

Cho

X

^t là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng (1.2) và

( , ) : x t R

2

R

ϕ →

_{là một}

hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất x, một lần khả vi liên tục theo biến thứ hai t_{. Khi} đó quá trình ngẫu nhiên

^ϕ ( ^{X t}

^t

^, )

có vi phân ngẫu nhiên tính bởi công thức:

( ) ( ) ( )

² 2

( )

²

, , , 1 , ( , )

t t t t 2 t

d X t X t d t X t d X X t t d t

t x x

ϕ ϕ ϕ

ϕ = ∂ + ∂ + ∂ β ω

∂ ∂ ∂ (1.3)

Công thức (1.3) được gọi là công thức Itô, chứng minh nó trong trường hợp một chiều có thể xem trong [6].

3. MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE

3.1.Định lý 3.1

Cho

H

n

= H W t

n

(

t

^, )

là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với mnguyên và lớn hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên

( )

ⁿ^m ⁿ^m ¹ ⁿ ^{m m}⁽ ₂ ¹⁾ ⁿ^m ² ⁿ² ¹

d H = m H ⁻ d H + − H ⁻ H ₋ d t

(2.1)

3.2.Bổ đề 3.2

Đối với quá trình ngẫu nhiên Hermite ta sẽ có

( , )

1

( , )

n t n t t

dH W t = H

₋

W t dW

(2.2)

Chứng minh bổ đề: Trước hết ta có nhận xét,

( )

2 2 2

2

0 0

2

e x p e x p

2 2

( ) e x p

2

x n n

t

n n

n

x t

d t d

e x

d d t

d x

t d x t

λ λ

λ λ λ

−

= =

  

  −  =   − − 

     

    

  

= −   − 

 

 

Suy ra:

( ) ( )

2 2 2

2 0

exp exp ! ,

2 2

n x n

t n

n n n

d t d x

x e t n H x t

d dx t

λ

λ λ

λ

=

  −   = −   −   =

       

   

   

Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm

2

exp 2

x λ t

 λ − 

 

 

_tại

λ = 0

ta sẽ có

2

0

exp ( , ).

2

n n

n

x λ t H x t

λ

^∞

λ

=

 −  =

 

  ∑

Mặt khác, ta thấy rằng nếu áp dụng công thức Itô cho hàm

( )

2

0

exp , .

2

n

t t n t

n

W λ t H W t

φ λ

^∞

λ

=

 

=  −  =

  ∑

(2.3)

(3)

Ta sẽ có

φ

^t lại là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

(0) 1

t t t

d φ λφ dW φ

 =

 =



→

1

⁰

t

t s

dW

s

φ = + λ φ ∫

Từ đó ta có

1

0 0 0 1 0

1 1

t t

n n n

n n s n s

n n n

H H dW H dW

λ λ λ λ

∞ ∞ ∞

= = = −

= + = +

∑ ∫ ∑ ∑ ∫

( )

1

( )

0

, ,

t

n t n s s

H W t H

₋

W s dW

⇒ = ∫

(2.4) Từ (2.4) ta suy ra (2.2).

Chứng minh định lý 2.1

Áp dụng công thức Itô cho hàm

ϕ ( X t

t

^, ) = X

t^m_{, với}_mnguyên, lớn hơn 1 và

( ^, )

t n t

X ≡ H W t

. Khi đó từ (1.3) và (2.2) ta sẽ thu được điều cần chứng minh là biểu thức (2.1).

Ví dụ khi

m = 2

từ (2.1) ta sẽ có

( )

ⁿ²

²

ⁿ ⁿ ⁿ²¹

d H = H dH + H

₋

dt

(2.5)

Chú ý: Biểu thức (2.5) còn có thể thu được từ nhận xét sau Nếu

X

¹_và

X

₂có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là

1 1 1

2 2 2

t t

dX dt dW dX dt dW

α β

= +

  = +



Khi đó:

d X X (

1

.

2

) = X dX

1 2

+ X dX

2 1

+ β β

1 2

dt

Với

X

1

≡ X

2

≡ H W t

_n

(

_t

, )

sử dụng (2.2) ta sẽ thu được (2.5).

3.3.Hệ quả 3.3

Cho

^{H W t}

ⁿ

(

^t

^, )

là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta sẽ có

( )

²

( )

0

, exp

t

n t t

n

H W t e W

∞ −

=

∑ =

(2.6)

Thật vậy khi sử dụng hệ thức (2.3) với

λ = 1

sẽ suy ra được (2.6).

3.4.Định lý 3.4

Cho

^{H W t}

ⁿ

(

^t

^, )

_;

^{∀ =} ⁿ ^{1, 2,3...}

là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta sẽ có:

(i)

^{E H W t} {

ⁿ

(

^t

^, ) } ⁼ ⁰

_(2.7)

(4)

(ii)

( )

{

²

}

²¹

⁽ ⁾

0

, ,

t

n t n s

E H W t E  H

₋

W s ds 

=  

 ∫ 

(2.8)

(iii)

( )

1

( )

0

, , 0

t

n s n s s

E  H W s H

₋

W s dW 

  =

 ∫ 

(2.9) Chứng minh định lý 2.4

+ Chứng minh (i) và (ii):

Ta có nhận xét

^{H W t}

ⁿ

(

^t

^, ) ^∈ ^L

²

( ) ^ο ^, ^t ⁿ ⁼ ^{1, 2,3} ^K ^; ^t ^> ⁰

và từ (2.2) ta có:

( )

¹

( )

0

, ,

t

n t n s s

H W t = ∫ H

₋

W s dW

Trước hết ta chứng minh (i) và (ii) đối với các hàm bước nhảy (step process),

H

_n₋1

( W s

_s

, )

và giả định rằng

^H

ⁿ−¹

( ^{W s}

^s

^, ) = ^H

ⁿ^{( )}^k−¹_khi

s

_k

≤ < s s

_k₊₁

; H

_n^{( )}^k₋₁_là

^F ( ) ^s

^k - đo được và

( ) ^s

^k

F

độc lập với

σ

- trường sinh bởi các chuyển động Brown trong tương lai sau thời điểm

s

k

(i)=>

( )

{ }

¹

⁽ ⁾

¹

(

^{( )}¹

( ^{( )}

¹

^{( )} ) )

0 0

, ,

t n

k

n t n s s n k k

k

E H W t E H W s dW E H W s W s

−

− − +

=

 

=   = −

 ∫  ∑

( ) ( ^{( )} ^{( )} )

1

( )

1 1

0

n

k

n k k

k

E H E W s W s

−

− +

= =

= ∑ _144424443 − =

(ii)=>

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

{ }

2 1

( ) ( )

1 1 1 1 1

, 0 0

t n

k j

n s n n k k j j

k j

E H dW E H H W s W s W s W s

−

− − − + +

=

   

    = − −

   

 ∫  ∑

Với

j < k

_{, khi đó}

W s ( )

k₊1

− W s ( )

k độc lập với

^H

ⁿ^{( )}^k⁻¹

^H

ⁿ^{( )}⁻^j¹

( ^{W s} ( ) ( )

^j⁺¹

⁻ ^{W s}

^j

)

_:

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

{ }

( ) ( )

( )

{ } ⁽ ^{( )} ^{( )} ⁾

( ) ( )

1 1 1 1

( ) ( )

1 1 1 1

0

k j

n n k k j j

k j

n n j j k k

E H H W s W s W s W s E H H W s W s E W s W s

− − + +

<∞ =

− − =

144424443 1444442444443

Do đó

( ) ( ^{( )} ^{( )} )

{ }

2 1 ( ) 2 2

1 1 1

0 0

.

t n

k

n s n k k

k

E H dW E H W s W s

−

− − +

=

   

    = − =

   

 ∫  ∑

(5)

( ( ) ) ( ⁽ ^{( )} ^{( )} ⁾ ) ( ^{( )} ) ⁽ ⁾

1 ( ) 2 2 1 ( ) 2

1 1 1 1

0 0

. .

n n

k k

n k k n k k

k k

E H E W s W s E H s s

− −

− + − +

= =

= ∑ − = ∑ −

2 1 0 t

E  H

n₋

dt 

=  

 ∫ 

Phần tiếp theo ta xấp xỉ hàm

H

_n₋1

( W s

_s

, )

bằng dãy các hàm bước nhảy và sử dụng các kết quả vừa thu được rồi chuyển qua giới hạn theo định nghĩa tích phân Ito, ta sẽ thu được (i) và (ii).

+ Chứng minh (iii):

Từ hệ thức (2.5) ta có

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

0 0

, 2 , , ,

t t

n t n s n s s n s

H W t = ∫ H W s H

₋

W s dW + ∫ H

₋

W s ds

=>

( )

{

²

} ⁽ ⁾

¹

⁽ ⁾

²¹

⁽ ⁾

0 0

, 2 , , ,

t t

n t n s n s s n s

E H W t E  H W s H

₋

W s dW  E  H

₋

W s ds 

=   +  

 ∫   ∫ 

Từ đó sử dụng (2.8) ta sẽ thu được (2.9).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. A.Friedman.Stochastic Differential Equations and Applications Dover Publication, Inc (2006)

[2]. B.K Oksendan. Stochastic Differential Equations: and Introduction with Applications.

Springer (1995)

[3]. H.McKean.Stochastic Integrals, Academic Press (1969)

[4]. Lawrence C.Evan. An introduction to Stochastic Differential Equations, UC Berkley (2002)

[5]. Dương Tôn Đảm, Quá trình ngẫu nhiên phần 1: Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên. NXB ĐHQG Tp.HCM (2007)

[6]. A.D.Ventxe, Giáo trình lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, NXB ĐH và THCN Hà Nội (1987)