1
Chủ đề 6. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH A. Lý thuyết.
1. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.
Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1
𝑘 và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ thuận với nhau
Ví dụ: Nếu y = 5x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 5 (ta cũng suy ra được x = 𝑦
5 hay x = 1
5 y , ta nói: x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 1
5 ) 2. Tính chất
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
+ Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi + Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị
tương ứng của đại lượng kia
• Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k ( y = k.x) thì:
𝑦1 𝑥1 = 𝑦2
𝑥2 = 𝑦3
𝑥3 = … = 𝑘
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1𝑦2
;
𝑥1𝑥3
=
𝑦1𝑦3
…
1. Định nghĩa tỉ lệ nghịch
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = 𝑎
𝑥 hay xy = a (với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a
Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a (khác 0) thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a
Ví dụ: Nếu y = 3
𝑥 thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 3 (ta cũng suy ra được x = 3
𝑦 hay x.y = 3 , ta nói: x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 3 )
2. Tính chất
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi + Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia
• Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a (x.y = a) thì:
𝑥1.𝑦1 = 𝑥2.𝑦2 = 𝑥3.𝑦3 = … = a
𝑥1
𝑥2
=
𝑦2𝑦1
;
𝑥1𝑥3
=
𝑦3𝑦1
…
2
3. Ví dụ
Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k.
Khi x = -3 thì y = 12.
a) Tìm k?
b) Tính giá trị của y khi x = 12 Giải.
a) Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k nên ta có hệ thức
y = kx.
Ta có: 12 = k(-3) ⇒ k = 12 : (-3) = -4 Vậy k = -4
b) Thay k = -4 ta có hệ thức y = -4x Khi x = 12 thì y = -4.12 = -48
3. Ví dụ
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là -5.
a) Biểu diễn y theo x
b) Tính giá trị của x khi y = -4 Giải.
a) Ta có x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là -5 nên ta có: x.y = -5 hay y = −5
𝑥
b) Thay y = -4 vào hệ thức x.y = -5 ta có:
x.(-4) = -5 ⟹ x = −5
−4 = 5
4
B. Bài tập vận dụng.
1. Bài tập trắc nghiệm.
Bài 1: Cho biết đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số -2. Hệ thức biểu diễn y theo x là:
A. y = -2x B. y = −1
2 x C. y = -x D. y = 1
2 x Đáp án B
Bài 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi x = 12 thì y = -3. Hệ số tỉ lệ của x với y là:
A. k = −1
4 B. k = 1
4 C. k = -4 D. k = 4 Đáp án C
Bài 3: Giả sử x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, x1; x2 là hai giá trị khác nhau của x và y1; y2 là hai giá trị tương ứng của y. Tính x1 biết x2 = 3; y1 = −3
5 ; y2 = 1
10
A. x1 = -18 B. x1 = 18 C. x1 = -6 D. x1 = 6
3
Giải
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên
Đáp án A
Bài 4: Cho biết x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 0,6 và y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 3. Hỏi x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
A. 2,4 B. 3,6 C. 1,8 D. 5 Giải.
Vì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 0,6 nên x = 0,6y Vì y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 3 nên y = 3z
⇒ x = 0,6y = 0,6.(3z) = 1,8z
Vậy x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 1,8 Đáp án C
Lưu ý: Nếu x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k1 và y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là k2 thì x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là k1.k2
Bài 5: Giá tiền của 6 quyển vở là bao nhiêu biết rằng 4 quyển vở giá 36 000 đồng?
A. 24 000 đồng B. 54 000 đồng C. 65 000 đồng D. 85 000 đồng Giải
Gọi giá tiền của 6 quyển vở là x (đồng)
Vì số quyển vở và giá tiền tỉ lệ thuận nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
4
Đáp án B
Bài 6: Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5 và chu vi của nó là 36cm. Tính các cạnh của tam giác đó.
A. 9cm; 12cm; 15cm B. 10cm; 12cm; 14cm C. 8cm; 12cm; 16cm D. 8cm; 10cm; 18cm Giải
Gọi độ dài các cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z Theo đề bài ta có: 𝑥
3 = 𝑦
4 = 𝑧
5 và x + y + z = 36 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Đáp án A
Bài 7: Hai đại lượng x và y trong bảng nào sau đây tỉ lệ nghịch với nhau?
a.
x 2 3 6 8 9
y 36 24 12 9 8
b.
5
x 1 2 3 4 5
y 60 30 20 15 14
Hai đại lượng x và y trong bảng a là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì chúng liên hệ với nhau theo công thức: x.y = 72 Bài 8. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 6 thì y = -5. Khi đó, biểu diễn y theo x ta được :
A. y = -30x B. y = −30
𝑥 C. y = −5
6𝑥 D. y = −5𝑥6 Giải:
Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên y = 𝑘
𝑥 (k ≠ 0) Khi x = 6 thì y = - 5 nên ta có:
Ta biểu diễn được y theo x là:
Đáp án B.
6
Bài 9. Cho biết 3 người làm cỏ một cánh đồng hết 8 giờ. Hỏi 8 người (với cùng năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Giải
Gọi thời gian 8 người làm cỏ cánh đồng hết x (giờ)
Vì phần công việc làm như nhau và năng suất làm việc của mọi người nhưa nhau nên số người và thời gian làm hết cánh đồng cỏ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
3.8 = 8.x ⇒ x = 3 Đáp án B
Bài 10. Cho biết 3 máy cày, cày xong một cánh đồng hết 30 giờ. Hỏi 5 máy cày như thế (cùng năng suất) cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ?
A. 50 giờ B. 18 giờ C. 15 giờ D. 10 giờ Giải:
Gọi x (giờ) là thời gian 5 máy cày cày xong cánh đồng. (x > 0)
Vì diện tích ruộng phải cày như nhau, năng suất của mỗi máy cày như nhau nên số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian cày xong, ta có:
3.30 = 5.x ⟹ x = 3.30
5 = 18
Vậy với 5 máy cày thì cày xong thửa ruộng hết 18 giờ Đáp án B.
7
2. Bài tập tự luận.
Bài 1.
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
x -3 -1 1 2 5
y -4
Giải:
Theo đề bài, hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận. Gọi hệ số tỉ lệ của y với x là k, ta có y = k.x ⟹ k = 𝑦
𝑥
Khi x = 2 thì y = -4 nên ta có k = −4
2 = -2
Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2.x Từ đó :
Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6.
Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2 Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2 Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10
8
Vậy ta có bảng sau :
x -3 -1 1 2 5
y 6 2 -2 -4 -10
Kiến thức áp dụng
+ y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số k ⟺ y = k.x.
+ Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận thì tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
Bài 2.
Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Điền các số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:
x -2 -1 5
y -15 30 15 10
Lời giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: x.y = a.
Khi x = -2 thì y = -15, do đó a = (-2).(-15) = 30.
Vậy ta có: xy = 30
9
+) Khi x= -1 thì (-1).y = 30 nên y = 30: (-1) = - 30 +) Khi y = 30 thì x. 30 = 30 nên x = 30 : 30 = 1 +) Khi y = 15 thì x.15 = 30 nên x = 30 : 15 = 2 +) Khi y = 10 thì x.10 = 30 nên x = 30: 10 = 3 +) Khi x = 5 thì 5.y = 30 nên y = 30 : 5 = 6 Ta có kết quả sau:
x -2 -1 1 2 3 5
y -15 -30 30 15 10 6
Kiến thức áp dụng
+ y tỉ lệ nghich với x theo tỉ số a ⟺ x.y = a
+ Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
Bài 3. Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h. Hãy chứng tỏ rằng z tỉ lệ thuận với x và tìm hệ số tỉ lệ.
Giải:
z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k nên ta có z = k.y (1)
10
y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h nên ta có y = h.x (2) Thay (1) vào (2) ta có z = k.y = k.(h.x) = (k.h).x
Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.h
Rút ra kết luận: Nếu đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ k và đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ h thì đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k.h
Bài 4. Để làm nước mơ, người ta thường ngâm mơ theo công thức: 2kg mơ ngâm với 2,5kg đường. Hỏi cần bao nhiêu kg đường để ngâm 5kg mơ?
Giải:
Gọi x (kg) là khối lượng đường dùng để ngâm 5kg mơ (x > 0) Vì khối lượng mơ tỉ lệ thuận với khối lượng đường nên ta có: 2
2,5 = 5
𝑥 ⟹ x = 5.2,5
2 = 6,25 Vậy để ngâm 5kg mơ cần 6,25 kg đường
Bài 5. Chu vi của một hình chữ nhật là 64cm. Tính độ dài mỗi cạnh biết rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5?
Giải:
Gọi x, y (cm) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật (y > x > 0) Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 64 : 2 = 32 (cm)
Do đó: x + y = 32.
11
Do chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật tỉ lệ với 3 và 5 nên ta có: 𝑥
3 = 𝑦
5
Theo tính chất của dãy số tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 12cm và 20cm
Bài 6. Gọi x, y,z lần lượt là số vòng quay của kim giờ, kim phút và kim giây trong cùng một thời gian a, Điền số thích hợp vào các ô trong bảng sau:
x 1 2 3 4
y
12
y 1 6 12 18
z
b. Viết công thức biểu diễn y theo x và z theo y.
c. Số vòng quay x của kim giờ và số vòng quay z của kim giây có tỉ lệ thuận với nhau không? Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ của z đối với x.
d. Khi kim giờ quay được 5 vòng thì kim giây quay được bao nhiêu vòng?
Giải:
a) Kim giờ quay 1 vòng hết 12 giờ
Kim phút quay 1 vòng hết 1 giờ = 60 phút Kim giây quay 1 vòng hết 1 phút = 60 giây.
Từ đó ta có bảng sau:
x 1 2 3 4
y 12 24 36 48
13
y 1 6 12 18
z 60 360 720 1080
b. Công thức biểu diễn y theo x là: y = 12.x (1) Công thức biểu diễn z theo y là: z = 60.y (2)
c. Thay (1) vào (2) ta được: z = 60y = 60. (12.x) = 720.x.
Số vòng quay của kim giờ x và số vòng quay của kim giây z là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
Hệ số tỉ lệ của z đối với x là 720
d. Thay x = 5 vào biểu thức z = 720.x ta có z = 720.5 = 3600 vòng
Vậy khi kim giờ quay được 5 vòng thì kim giây quay được 3600 vòng.
Bài 7. Đố vui: Hai bạn Bình và Minh đi mua vở, mỗi bạn đem theo số tiền vừa đủ mua 20 quyển. Khi đến cửa hàng thấy vở bán hạ giá 20%, Bình cho rằng sẽ mua được 24 quyển (tăng thêm 20%) còn Minh lại bảo sẽ mua được 25 quyển (tăng thêm 25%). Theo bạn, ai đúng? vì sao?
Giải:
Vì số tiền của hai bạn không đổi nên giá tiền 1 quyển vở và số quyển vở mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
14
Gọi x (đồng) là giá tiền 1 quyển vở lúc đầu (x > 0)
Suy ra giá tiền quyển vở sau khi giảm 20% là 80%.x = 0,8x (đồng) Gọi số quyển vở lúc sau mua được là y (y ∈ N*)
Khi đó: 20.x = y.0,8.x
⟹ 𝑦 =
20.𝑥0,8.𝑥 = 25 (quyển vở).
Vậy Minh nói đúng.
Bài 8: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Khi x nhận các giá trị x1 = 2, x2 = 5 thì các giá trị tương ứng y1, y2 thỏa mãn: 3y1 + 4y2 = 46 Hãy biểu diễn y qua x.
Giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ⇒ x1y1 = x2y2 hay 2y1 = 5y2
⇒ 𝑦1
5 = 𝑦2
2 ⇒ 3𝑦1
15 = 4𝑦2
8
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và điều kiện 3y1 + 4y2 = 46 ta có:
3𝑦1
15 = 4𝑦2
8 = 3𝑦1+4𝑦2
15+8 = 46
23 = 2
15
⇒3𝑦1
15 = 2⇒ y1 = 2.15
3 = 10
⇒ x1y1 = 2.10 = 20 Vậy xy = 20 hay y = 20
𝑥
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau. Khi x nhận các giá trị x1 = 2, x2 = 3 thì các giá trị tương ứng y1 = 36, y2 = 24. Hãy biểu diễn x theo y?
Bài 2. Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 3: 4: 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi nếu tổng số tiền lãi là 720 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã đóng?
Bài 3. Học sinh của ba lớp 6 cần phải trồng và chăm sóc 48 cây xanh. Lớp 6A có 28 học sinh, lớp 6B có 32 học sinh, lớp 6C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết số học sinh tỉ lệ với số cây xanh?
Bài 4. Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Khi x nhận các giá trị x1 = 3; x2 = 1 thì các giá trị tương ứng của y có tổng bằng 12 Tính giá trị tương ứng của y khi x = -36
Bài 5. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Khi x nhận các giá trị x1 = 3, x2 = 4 thì các giá trị y1, y2 thỏa mãn y12 + y22 = 25 . Tìm hệ số tỉ lệ k (k > 0) của hai đại lượng x và y.
Bài 6. Một người đi từ thành phố A đến thành phố B hết 4 giờ. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 2km mỗi giờ vì thế thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 48 phút. Tính đoạn đường AB.
