(1) Kedua himpunan itu adalah:
A = {mawar, melati, anggrek} B = {matahari, anggrek}
(2) Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membandingkan satu persatu, apakah elemen A ada pasangannya yang sama pada B dan sebaliknya. Kita dapat merancang prosedur sistematis untuk melakukan ini sebagai berikut. (i) Ambil elemen pertama A, bandingkan dengan elemen B. Apabila ada pasangan yang anggotanya
sama, tuliskan anggota yang sama itu pada sebuah himpunan misalkan himpunan C. (ii) Ambil elemen kedua, ketiga, dan seterusnya dari A, ulangi hal yang sama.
(iii) Bila setelah semua elemen A diproses, maka himpunan C tersebut merupakan irisan himpunan A dan himpunan B.
Prosedur ini kita lakukan sebagai berikut.
(i) Ambil elemen pertama dari A yaitu: mawar. Apakah pasangan yang sama ada di B? tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
(ii) Ambil elemen kedua dari A yaitu: melati. Apakah pasangan yang sama ada di B? tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
(iii) Ambil elemen ketiga dari A yaitu: anggrek. Apakah pasangan yang sama ada di B? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama sebagai anggota sebuah himpunan, misalnya himpunan C = {anggrek}.
(iv) Karena semua elemen himpunan A telah habis, maka diperoleh sebuah himpunan yang anggotanya adalah ada di himpunan A dan ada di himpunan B, yaitu: C = {anggrek}
(3) Himpunan semua anggota yang ada di A dan ada di B, disebut irisan himpunan A dan himpunan B. Karena itu, irisan himpunan A dan himpunan B adalah {anggrek}.
Diketahui himpunan P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temukanlah sebuah himpunan
Contoh 1.9
Kedua himpunan itu adalah:
P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif penyelesaian Masalah 1.12, sebagai berikut.
(1) Ambil elemen pertama dari P, yaitu: 1. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota sebuah himpunan R, yaitu: R = {1}
(2) Ambil elemen kedua dari P yaitu: 3. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3}. (3) Ambil elemen ketiga dari P yaitu: 5. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan
yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3, 5}. (4) Ambil elemen keempat dari P yaitu: 7. Apakah ada pasangan yang sama di B? tidak ada. Lanjutkan ke
elemen berikutnya.
(5) Karena semua elemen P telah habis, maka kita peroleh himpunan R yang anggotanya merupakan anggota himpunan P dan anggota himpunan Q, yaitu: R = {1, 3, 5}.
(6) Himpunan yang kita peroleh ini disebut irisan himpunan P dan himpunan Q.
Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.12 dan penyelesaian contoh 1.11, kita peroleh definisi irisan himpunan sebagai berikut.
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota semesta yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B.
Dilambangkan A ∩ B = {x|x A dan x ∈ B}
Pada diagram Venn di bawah ini, A ∩ B merupakan daerah yang diarsir:
Gambar 1.12. Diagram Venn A ∩ B
Kerjakanlah beberapa soal berikut!
1) Jika A adalah himpunan semua siswa kelas VII SMP dan B adalah himpunan semua siswa kelas VIII SMP, apakah ada irisan himpunan A dan B? Mengapa? 2) Diberikan A = {x│x < 5, x bilangan asli} dan B = {x│x > 5, x bilangan asli},
apakah (A ∩ B) = Ø?
Perhatikan contoh berikut.
Diberikan himpunan X = {a, b} dan Y = {c, d, e}. Carilah irisan himpunan X dan himpunan Y!
Kedua himpunan itu adalah: X = {a, b} dan Y = {c, d, e}
Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif penyelesaian Masalah-1.12, sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari X yaitu a. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
2. Ambil elemen kedua dari X yaitu b. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
3. Karena elemen X telah habis maka tidak ada elemen himpunan X ada di elemen himpunan Y.
h Karena tidak ada elemen X ada di elemen Y, maka kita sebut irisan himpunan X dan himpunan Y adalah himpunan kosong, di lambangkan dengan X ∩ Y = Ø.
h Jika X ∩ Y = Ø dan Y ∩ X = Ø disebut bahwa himpunan X saling lepas dengan himpunan Y. Perhatikan kembali contoh berikut.
Perhatikan diagram enn di bawah ini. Selidikilah apakah A ∩ B = B ∩ A = Ø!
Kedua himpunan itu adalah: A = {1, 3, 5}
B = {2,4, 6, 8}
Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif pemecahan
Contoh 1.10
Masalah-1.12, sebagai berikut. Menyelidiki apakah A ∩ B = Ø
(1) Ambil elemen pertama dari A, yakni 1. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(2) Ambil elemen kedua dari A, yakni 3. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(3) Ambil elemen ketiga dari A, yakni 5. Apakah ada pasangan yang sama di B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(4) Karena elemen A telah habis maka tidak ada elemen himpunan A yang sama dengan elemen himpunan B.
Menyelidiki apakah B ∩ A = Ø
(1) Ambil elemen pertama dari B, yakni 2. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(2) Ambil elemen kedua dari B, yakni 4. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(3) Ambil elemen ketiga dari B, yakni 6. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(4) Ambil elemen keempat dari B, yakni 8. Apakah ada pasangan yang sama di A? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!
(5) Karena elemen B telah habis maka tidak ada elemen himpunan B ada di elemen himpunan A.
h Karena tidak ada elemen himpuna A yang ada di himpunan B, maka kita sebut irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan kosong, di lambangkan dengan A ∩ B = Ø.
h Karena tidak ada elemen himpunan B yang ada di himpunan A, maka kita sebut irisan himpunan B dan himpunan A adalah himpunan kosong, dilambangkan dengan B ∩ A = Ø.
h Jika A ∩ B = Ø dan B ∩ A = Ø disebut bahwa himpunan A saling lepas dengan himpunan B. Dari kedua contoh ini, kita temukan definisi berikut.
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing, jika tidak ada anggota A yang merupakan anggota B dan tidak ada anggota B yang merupakan anggota A. Dilambangkan dengan A // B
Sebagai latihanmu, selesaikanlah:
a. Jika A = himpunan semua pria, dan B = himpunan semua wanita, apa yang bisa kamu temukan?
b. Jika P = (1,2,3,4,5) dan Q = {6,7,8,9,10) temukanlah P ∩ Q dan Q ∩ P? Gambarlah diagram Vennnya.
Masalah-1.13
Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran Matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran Fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.
a) Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b) Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika? c) Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika? d) Berapa banyak siswa dalam kelas itu?
Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan. Perlu kamu ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.
Misalkan A adalah himpunan siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30. Misalkan B adalah himpunan siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25. Misalkan M adalah himpunan siswa yang hanya senang belajar matematika. Misalkan F adalah himpunan siswa yang hanya senang belajar fisika. Misalkan S adalah himpunan siswa dalam satu kelas.
A ∩ B adalah siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = 10 a. Diagram Venn
A B
Gambar 1.14. Diagram Venn A ∩ B = ∅
b. Siswa yang hanya senang pelajaran matematika
Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(A) = n(M) + n(A ∩ B) 30 = n(M) + 10 n(M) = 30 – 10
= 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.
c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A ∩ B) 25 = n(F) + 10 n(F) = 25 – 10
= 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.
a. Untuk 2 himpunan A dan B yang tidak memiliki irisan, apakah kedua himpunan itu pasti saling lepas? Tunjukkanlah dengan memberikan contoh! b. Untuk 2 himpunan A dan
B yang memiliki irisan, apakah kedua himpunan itu pasti saling lepas?
d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A ∩ B) = 20 + 15 + 10
= 45
Jadi banyak siswa satu kelas itu adalah 45 orang.
Diketahui himpunan A = {1,3,5,7) dan B = {1,2,3,4,5,6,7}. Selidiki apakah: A ⊂ B, bagaimana hubungan (A ∩ B) dengan himpunan A?
Kedua himpunan itu adalah: A = {1,3,5,7)
B = {1,2,3,4,5,6,7}
Untuk menyelidiki apakah A ⊂ B, kita lakukan langkah berikut.
Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu: 1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈B. Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A ⊂ B.
Hubungan A ∩ B dengan himpunan A:
Karena: 1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B Maka (A ∩ B) = {1,3,5,7}.
Ternyata (A ∩ B) = A.
Berdasarkan beberapa contoh di atas, kita peroleh sifat:
Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A⊂B, maka A∩B = A
Sifat-1.3
Mencari irisan dua himpunan juga dapat dilakukan dengan cara merancang algoritma yang sesuai untuk ini. Perhatikan bagaimana cara mencari irisan himpunan A dengan himpunan B sebagaimana telah dijelaskan di atas. Bila dirinci, cara tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari A. Cocokkan dengan elemen-elemen B. Bila tidak ada yang cocok, buang elemen ini. Bila cocok biarkan sebagai anggota A dan buang elemen yang sama di B.
2. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan. 3. Himpunan A yang tersisa merupakan irisan himpunan A dan himpunan B.
Sebagai contoh mari kita coba algoritma tersebut pada himpunan A = { 1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9} untuk mencari irisan keduanya.
1. Ambil elemen pertama A yaitu: 1. Cocok dengan elemen di B? Ya. Biarkan 1 tetap di A dan buang 1 dari B, sehingga: A ={1,2,3,4,5}, B = {3,5,7,9}.
2. Ambil elemen A berikutnya yaitu: 2. Cocok dengan elemen di B? Tidak. Buang dari A, sehingga: A = {1,3,4,5}, B = {3,5,7,9}.
3. Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 3. Cocok dengan elemen di B? Ya. Biarkan 3 tetap di A dan buang 3 dari B, sehingga: A = {1,3,4,5}, B = {5,7,9}.
4. Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 4. Cocok dengan elemen di B? Tidak. Buang dari A, sehingga: A={1,3,5}, B = {5,7,9}.
5. Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 5. Cocok dengn elemen di B? Ya. Biarkan 5 tetap di A dan buang 5 dari B, sehingga: A={1,3,5}, B={7,9}.
6. Karena elemen A sudah habis, maka prosesnya selesai. Himpunan A yang tersisa adalah irisan yang dicari yaitu A ∩ B = {1,3,5}.
Berapa langkah yang diperlukan untuk mencari irisan dua himpunan? Coba simpulkan! Apakah kesimpulanmu sama dengan banyaknya langkah mencari kesamaan dua himpunan? Berapa pencocokan yang harus dilakukan disini? Secara umum, diperlukan berapa kali pencocokan untuk mencari irisan dua himpunan sembarang?
b. Gabungan (union)
Masalah-1.14
Di Desa Sabulan yang terletak di pulau Samosir terdapat 100 rumah tangga. Dari jumlah tersebut 60 rumah tangga memelihara ternak ayam, 35 rumah tangga memelihara ternak kambing, 45 rumah tangga memelihara ternak sapi, 15 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak kambing, 5 rumah tangga memelihara ternak kambing dan ternak sapi, 20 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak sapi. Jika 5 rumah tangga memelihara ketiga ternak itu, selesaikanlah permasalahan berikut!
a) Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan di atas! b) Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam? c) Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing? d) Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi?
a) Diagram Venn berikut ini menunjukkan ternak penduduk desa Sabulan.