7.1. RUANG – T1
Ruang topologi X adalah ruang T1 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T1]:
Untuk pasangan titik-titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, tiap-tiap titik tersebut termasuk di dalam set-set buka yang berbeda.
Dengan kata lain, ada set-set buka G & H sedemikian hingga: 𝒂 ∈ 𝑮, 𝒃 ∉ 𝑮 𝒅𝒂𝒏 𝒃 ∈ 𝑯, 𝒂 ∉ 𝑯 . Set-set buka G dan H tidak perlu saling lepas (disjoint)
Teorema:
Ruang topologi X adalah Ruang – T1 bila dan hanya bila setiap subset singleton {𝑝} dari X adalah tutup.
Karena gabungan terhingga dari set-set tutup adalah tutup maka yang berikut adalah teorema akibat (Corollary):
(𝑋, 𝜏) adalah ruang T1 bila dan hanya bila 𝜏 memuat topologi kofinit pada X. Contoh:
1. Topologi kofinit pada X adalah topologi terkecil pada X dengan (𝑋, 𝜏) adalah ruang T1, sehingga topologi kofinit disebut juga topologi T1. Jadi topologi kofinit disebut juga topologi [T1]
2. Setiap ruang metrik X adalah Ruang – T1 karena subset-subset terhingga dari X adalah tutup. 3. Perhatikan topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}} pada set 𝑋 = {𝑎, 𝑏} dan (𝑋, 𝜏) merupakan ruang topologi. Perhatikan bahwa X adalah set buka yang memuat a dan juga X adalah set buka yang memuat b. Jadi (𝑋, 𝜏) tidak memenuhi [T1] atau (𝑋, 𝜏) bukan ruang [T1]. Set singleton {𝑎} tidak tutup karena komplemen {𝑎} yaitu {𝑎}𝑐 = {𝑏} adalah tidak buka
7.2. RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T2]:
Setiap pasang titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas (disjoint)
Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga: 𝒂 ∈ 𝑮, 𝒃 ∈ 𝑯 𝒅𝒂𝒏 𝑮 ∩ 𝑯 = ∅ Teorema:
Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut: 1. Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik
(konversnya tidak benar)
2. Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
Contoh:
1. Setiap ruang metrik X adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 adalah titik-titik yang berbeda sehingga menurut [𝑀4]𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝜖 > 0. Perhatikan bola-bola
buka 𝐺 = 𝑆 (𝑎,1
3𝜖) 𝑑𝑎𝑛 𝐻 = 𝑆(𝑏,1
3𝜖) yang berturut-turut pusatnya a dan b. Diketahui bahwa G dan H adalah disjoint karena jika 𝑝 ∈ 𝐺 ∩ 𝐻 maka (𝑎, 𝑝) <1
3𝜖 𝑑𝑎𝑛 𝑑(𝑝, 𝑏) <1
3𝜖 . Dengan kesamaan segitiga yaitu: 𝑑(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑝) + 𝑑(𝑝, 𝑏) <1
3𝜖 +1
3𝜖 = 2
3𝜖 , tetapi hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝜖 , sehingga G dan H disjoint(lepas) yaitu a dan b berturut-turut termasuk ke dalam bola-bola buka G dan H sehingga X merupakan ruang hausdorff.
Catatan:
a. Ruang metrik 𝑎, 𝑏, 𝑐, ∈ 𝑋
b. [𝑀1]. 𝑑(𝑎, 𝑏) ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑑(𝑎, 𝑎) = 0 merupakan definit positif c. [𝑀2]. 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, 𝑎) merupakan simetri
d. [𝑀3]. 𝑑(𝑎, 𝑐) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑐) merupakan ketidaksamaan segitiga e. [𝑀4]. 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 ≠ 𝑏 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑(𝑎, 𝑏) > 0
f. Bilangan real d(a,b) disebut jarak dari A ke B
2. Misal 𝜏 adalah topologi pada garis real R yang terdiri dari interval-interval buka tutup (a,b]. (𝑅, 𝜏) adalah bukan ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah tak hingga karena G dan H set-set buka tidak kosong pada 𝜏. G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set tak hingga. Bila 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka G adalah set tak hingga, yang termasuk di dalam komplemen tak hingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada 𝜏 yang disjoint (lepas) sehingga ruang T1 tidak perlu ruang hausdroff.
3. Apabila 𝜏 adalah topologi kofinit yaitu topologi 𝜏 pada garis real R maka (𝑅, 𝜏) adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah set-set buka tidak kosong pada 𝜏 dimana G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set terhingga. Bila 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka G adalah set tak hingga yang termasuk di dalam komplemen terhingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada 𝜏 yang disjoint (lepas). Jadi Ruang – T1 tidak perlu Ruang hausdorff.
7.3. RUANG REGULER (RUANG – T3)
Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:
Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ 𝐻
Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:
1. Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan dengan dimisalkan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka {𝑎} adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏 ∉ {𝑎}. Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga {𝑎} ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐻 sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.
2. Topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐}} pada set = {𝑎, 𝑏, 𝑐} . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah 𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐} dan (𝑋, 𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1 karena ada set terhingg {𝑏} tidak tutup.
7.4. RUANG NORMAL (RUANG – T4)
Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut:
Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas sedemikian hingga 𝐹1 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 ⊂ 𝐻.
Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:
Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 ⊂ 𝐺̅ ⊂ 𝐻
Contoh:
1. Setiap ruang metrik adalah ruang normal berdasarkan teorema pemisah.
2. Topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}} pada set = {𝑎, 𝑏, 𝑐} . Perhatikan bahwa set-set tutupnya adalah 𝑋, ∅, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑐}, {𝑐}. Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset tutup dari (𝑋, 𝜏) maka salah satu dari F1 atau F2, misalnya F1 haruslah set kosong ∅ sehingga ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝑋 adalah lepas dan merupakan set-set buka dengan 𝐹1 ⊂ ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 ⊂ 𝑋 .
Dengan kata lain (𝑋, 𝜏) adalah ruang normal tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1 karena set singleton {𝑎} tidak tutup dan selanjutnya (𝑋, 𝜏) bukan ruang regular karena superset buka dari set tutup {c} adalah X yang memuat a.
3. Bila X adalah ruang T4 maka X adalah ruang T1 reguler maka dapat ditunjukkan dengan dimisalkan F adalah subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota dari F. Menurut [T1] maka {𝑝} adalah tutup, dan karena F dan {𝑝} saling lepas maka menurut [N] ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ {𝑝} ⊂ 𝐻 .
Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T1 yaitu Ruang T4.
Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma pemisah:
7.5. LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
Teorema Lemma Urysohn’s:
Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 → [0,1] sedemikian hingga 𝑓[𝐹1] = {0} 𝑑𝑎𝑛 𝑓[𝐹2] = {1}.
Teorema Metrisasi Urysohn:
Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.
7.6. FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
Misal 𝒜 = {𝑓𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas 𝒜 dari fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 ada fungsi f dalam 𝒜 sedemikian hingga 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) dengan proposisi: Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X,
maka X adalah Ruang Hausdroff.
Contoh:
1. Kelas dari fungsi-fungsi bernilai real adalah:
𝒜 = {𝑓1(𝑥) = sin 𝑥, 𝑓2(𝑥) = sin 2𝑥, 𝑓3(𝑥) = sin 3𝑥} didefinisikan pada R. Perhatikan bahwa untuk setiap fungsi 𝑓𝑛 ∈ 𝒜, 𝑓𝑛(0) = 𝑓𝑛(𝜋) = 0.
Jadi kelas 𝒜 bukan titik-titik terpisah.
RUANG TOPOLOGI RUANG – T1
RUANG – T2 (RUANG HAUSDORFF) RUANG – T3 (RUANG T1 – REGULER)
RUANG – T4 (RUANG T1 – NORMAL) RUANG METRIK
2. Misal C(X,R) adalah kelas dari semua fungsi bernilai real pada ruang topologi maka dapat ditunjukkan bahwa bila C(X,R) titik-titik terpisah maka X adalah ruang hausdorff dengan dimisalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 adalah titik-titik yang berbeda. Menurut hipotesis ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 → 𝑅 sedemikian hingga 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) tetapi R adalah ruang hausdorff sehingga ada subset-subset buka G dan H yang lepas dari R yang berturut-turut memuat f(a) dan f(b). Jadi invers 𝑓−1[𝐺] 𝑑𝑎𝑛 𝑓−1[𝐻] adalah lepas, buka dan berturut-turut memuat a dan b. Dengan kata lain, X adalah ruang hausdorff.
7.7. RUANG REGULER LENGKAP
Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma:
Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 → [0,1] sedemikian hingga 𝑓(𝑝) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓[𝐹] = 1.
Proporsisi:
Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler
Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T4 adalah Ruang Tychonoff dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang Tychonoff yaitu Ruang – T1
Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T3 ½.
Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:
(X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T1 – Reguler Lengkap X adalah titik-titik pisah.
BAB VIII
KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)
8.1. SET-SET TERPISAH
Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila: a. A dan B saling lepas (disjoint) dan
b. Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya.
Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila 𝐴 ∩ 𝐵̅ = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴̅ ∩ 𝐵 = ∅.
Contoh:
1. Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1) , B=(1,2) dan C=[2,3) A dan B terpisah karena 𝐴̅ = [0,1] 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = [1,2] 𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝐴 ∩ 𝐵̅ = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴̅ ∩ 𝐵 = ∅
Tetapi B dan C tidak terpisah karena 2 ∈ 𝐶 adalah titik kumpul dari B sehingga 𝐵̅ ∩ 𝐶 = [1,2] ∩ [2,3) = {2} ≠ ∅ .
2. Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut: 𝐴 = {(0, 𝑦):1
2≤ 𝑦 ≤ 1} 𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛1
𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 1}
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.
8.2. SET TERHUBUNG
Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G dan H dari X sedemikian hingga 𝐴 ∩ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐻 merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, 𝐺 ∪ 𝐻 disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung.
Perhatikan bahwa: 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐺) ∪ (𝐴 ∩ 𝐻) 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻 ∅ = (𝐴 ∩ 𝐺) ∩ (𝐴 ∩ 𝐻) 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
Oleh karena itu 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung bila dan hanya bila:
𝐴 ∩ 𝐺 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐻 = ∅, 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐 Catatan: Set kosong ∅ dan set singleton {𝑝} selalu terhubung.
Contoh:
Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑, 𝑒}, {𝑐}}
Set 𝐴 = {𝑎, 𝑑, 𝑒} adalah tak terhubung karena untuk 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝐻 = {𝑐, 𝑑, 𝑒} maka 𝐴 ∩ 𝐺 = {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐻 = {𝑑, 𝑒} merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A (G dan H tidak lepas).
Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema;
1. Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set terpisah yang tidak kosong.
8.3. RUANG TERHUBUNG
Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:
1. Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A terhubung terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi relative 𝜏𝐴 pada A.
2. Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:
a. X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas; atau
b. Hanya 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka dan tutup. 3. Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung
Contoh:
1. Bila X ruang topologi yang tidak terhubung dan 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung dari X maka
𝑋 = (𝑋 ∩ 𝐺) ∪ (𝑋 ∩ 𝐻) 𝑑𝑎𝑛 (𝑋 ∩ 𝐺) ∩ (𝑋 ∩ 𝐻) = ∅ tetapi 𝑋 ∩ 𝐺 = 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑋 ∩ 𝐻 = 𝐻, sehingga X tidak terhubung bila dan hanya bila ada set-set buka tidak kosong G dan H sedemikian hingga 𝑋 = 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ .
2. Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐. 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
X adalah tak terhubung karena untuk {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} yang saling komplemen dan keduanya buka dan tutup, dengan kata lain 𝑋 = {𝑎} ∪ {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} adalah tak terhubung dari X. 3. Perhatikan ruang topologi pada no.2 bahwa topologi relatif dari subset 𝐴 = {𝑏, 𝑑, 𝑒} adalah {𝐴, ∅, {𝑑}}, sesuai dengan hal tersebut maka A adalah terhubung karena hanya 𝐴 𝑑𝑎𝑛 ∅ yang merupakan subset dari A yang keduanya tuup dan buka dalam topologi relatif tersebut. 4. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terhubung karena hanya 𝑅 𝑑𝑎𝑛 ∅ yang
merupakan subset-subset buka tutup dari R.
5. Misal f adalah fungsi kontinu dari ruang terhubung X ke dalam ruang topologi Y sehingga 𝑓: 𝑋 → 𝑓[𝑋] adalah kontinu (dengan f[X] mempunyai topologi relatif).
f[X] adalah terhubung dapat ditunjukkan dengan dimisalkan f[X] tak terhubung, katakan G dan H tak terhubung dari f[X] maka:
𝑓[𝑋] = 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅
𝑋 = 𝑓−1[𝐺] ∪ 𝑓−1[𝐻] 𝑑𝑎𝑛 𝑓−1[𝐺] ∩ 𝑓−1[𝐻] = ∅
Karena f kontinu maka f-1[G] dan f-1[H] adalah subset-subset dari X dan karenanya tak terhubung dari X dan hal ini tak mungkin sehingga bila X terhubung maka f[X] terhubung. 6. Misal X adalah ruang tak terhubung dan misal G dan H adalah tak terhubung dari X maka
fungsi:
0, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝐺 𝑓(𝑥) =
1, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝐻
adalah fungsi kontinu dari X kepada ruang diskrit 𝑌 = {0,1}
Sebaliknya, bayangan kontinu dari ruang terhubung X tidak dapat tak terhubung dengan ruang diskrit 𝑌 = {0,1}. Dengan kata lain dapat dinyatakan oleh lemma berikut:
Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila fungsi kontinu dari X ke dalam 𝑌 = {0,1} hanyalah fungsi-fungsi konstan f(x) = 0 atau f(x) = 1.
8.4. KOMPONEN
Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong. Teorema:
1. Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen.
2. Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung.
Contoh:
1. Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri. 2. Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
dengan 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} Komponen dari X adalah {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
Subset terhubung dari X , seperti {𝑏, 𝑑, 𝑒} adalah satu subset dari komponen-komponen.
8.5. RUANG TERHUBUNG LOKAL
Ruang topologi X disebut terhubung lokal di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila setiap set buka yang memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X.
Contoh:
1. Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila 𝑝 ∈ 𝑋 𝑚𝑎𝑘𝑎 {𝑝} adalah set terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p. Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.
2. Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut
𝐴 = {(0, 𝑦):1
2≤ 𝑦 ≤ 1}
𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛1
𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 1}
BAB IX
KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)
9.1. SAMPUL (COVER)
Misalkan 𝒜 = {𝐺𝑖} adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 untuk sebarang 𝐴 ⊂ 𝑋. Ingat kembali bahwa 𝒜 disebut sampul (cover) dari A dan 𝒜 disebut sampul buka bila tiap 𝐺𝑖 adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari 𝒜 merupakan sampul juga dari A yaitu ada 𝐺𝑖1, … , 𝐺𝑖𝑚 ∈ 𝒜 sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1∪ 𝐺𝑖2∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚, maka 𝒜 disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga.
Teorema Heine-Borel:
Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah tereduksi ke sampul terhingga. Contoh:
Misal kelas 𝒜 = {𝐷𝑝: 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵}, B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R2
dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐵 maka 𝒜 adalah sampul dari R2 yaitu setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari 𝒜 tetapi kelas dari daerah-daerah buka 𝔹 = {𝐷𝑝∗: 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵}, dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R2. Diambil contoh, titik (1
2,1
2) ∈ 𝑅2 tidak termasuk ke suatu anggota dari 𝔹.
9.2. SET KOMPAK
Definisi:
Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap sampul (cover) buka dari A tereduksi ke sampul terhingga.
Dengan kata lain, bila A kompak dan 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 dengan Gi set-set buka maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka misalkan 𝐺𝑖1, … , 𝐺𝑖𝑚, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚.
Teorema:
1. Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak adalah kompak.
2. Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A adalah kompak terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif 𝜏𝐴 pada A.
Contoh:
1. Dengan teorema Heine-Borel, setiap interval tutup terhingga [a,b] pada garis real R adalah kompak.
2. Misal A subset terhingga dari ruang topologi X dengan 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … . , 𝑎𝑚} maka A adalah kompak karena hal ini dapat ditunjukkan bahwa bila 𝒢 = {𝐺𝑖} sampul buka dari A maka tiap-tiap titik dalam A termasuk ke dalam salah satu anggota dari 𝒢, yaitu 𝑎1 ∈ 𝐺𝑖1, … , 𝑎𝑚 ∈ 𝐺𝑖𝑚 sehingga 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1∪ 𝐺𝑖2∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚.
3. Peta (bayangan) kontinu dari set kompak adalah kompak, yaitu bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu dan A subset kompak dari X maka f[A] adalah subset kompak dari Y, dapat ditujukkan dengan dimisalkan 𝒢 = {𝐺𝑖} adalah sampul buka dari f[A], yaitu 𝑓[𝐴] ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 maka:
Jika ℋ = {𝑓−1[𝐺𝑖]} adalah sampul dari A karena f kontinu dan tap-tiap Gi adalah set buka juga tiap-tiap f-1[Gi] adalah buka. Dengan kata lain, ℋ adalah sampul buka dari A tetapi A adalah kompak dan ℋ tereduksi ke sampul terhingga yaiu 𝐴 ⊂ 𝑓−1[𝐺𝑖1] ∪ … ∪ 𝑓−1[𝐺𝑖𝑚] dan ini bersesuaian dengan 𝑓[𝐴] ⊂ 𝑓−1[𝐺𝑖1] ∪ … ∪ 𝑓−1[𝐺𝑖𝑚] ⊂ 𝐺𝑖1∪ 𝐺𝑖2∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚 sehingga f[A] adalah kompak.
9.3. SUBSET DARI RUANG KOMPAK
Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak, misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka (0,1) subset dari [0,1] tidak kompak.
Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakX maka F juga kompak
9.4. KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF
Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff dengan teorema: 1. Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum misalkan untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup).
2. Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐻.
3. Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y maka X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak berlaku umum). Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subset-subset tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2 adalah subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary:
Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.
Ruang metrik dan ruang Hausdorff kompak, keduanya termasuk ke dalam kelas dari ruang T4
yaitu ruang T1-normal, dengan diagram sebagai berikut:
9.5. KONTABILITAS SET KOMPAK
Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset tak hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A.
Ruang T4 (Ruang T4 – Normal) Ruang Hausdorff kompak Ruang Metrik
Teorema Bolzano – Weierstrass :
Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real mempunyai titik kumpul. Contoh:
1. Setiap interval tutup yang terbatas 𝐴 = [𝑎, 𝑏] adalah kontabel kompak, dengan ditunjukkan apabila B subset tak hingga dari A maka B juga terbatas, menurut teorema Bolzano – Weierstrass maka B mempunyai titik kumpul p dan selanjutnya karena A tutup dan titik kumpul p dari B termasuk di dalam A sehingga A kontabel kompak.
2. Interval buka 𝐴 = (0,1) bukan kontabel kompak dengan memperhatikan subset tak hingga 𝐵 = {1
2,1
3,1
4, … } dari 𝐴 = (0,1). B mempunyai satu titik kumpul yaitu 0 dan 0 tidak termasuk dalam A sehingga A bukan kontabel kompak.
Hubungan antara kompak, barisan kompak dan kontabel kompak ditunjukkan dengan diagram:
Kompak Kontabel Kompak Barisan Kompak
Teorema;
Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel kompak.
Contoh:
Misal 𝜏 adalah topologi pada 𝑁 = {1,2,3, … } yang terdiri dari set-set {1,2}, {3,4}, {5,6}, … Misal A adalah subset tak kosong dari N dan 𝑛0 ∈ 𝐴 dan bila 𝑛0 ganjil maka 𝑛0 + 1 adalah titik kumpul dari A dan bila bila 𝑛0 genap maka 𝑛0− 1 adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal ini, A mempunyai titik kumpul sehingga (𝑁, 𝜏) adalah kontabel kompak.
Tetapi (𝑁, 𝜏) tidak kompak karena 𝒜 = {set {1,2}, {3,4}, {5,6}, … } adalah sampul buka dari N yang bukan sampul bagian terhingga dan selanjutnya (𝑁, 𝜏) bukan barisan kompak karena barisan {1,2,3, … } tidak memuat barisan bagian yang konvergen.
9.6. RUANG KOMPAK LOKAL
Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X mempunyai lingkungan kompak.
Contoh:
Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik 𝑝 ∈ 𝑅 merupakan titik interior dari interval tutup [𝑝 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿] dan interval tutup tersebut kompak menurut teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan ruang kompak karena untuk kelas 𝒜 = {… , (−3, −1), (−2,0), (−1,1), (0,2), (1,3), … } adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga.
Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut:
Setiap ruang kompak adalah kompak lokal.
Soal-soal:
1. Tunjukkan bahwa bila A dan B set-set terpisah yang tidak kosong maka 𝐴 ∪ 𝐵 tak terhubung! 2. Tunjukkan teorema berikut: bila A dan B set-set tehubung yang tak terpisah maka 𝐴 ∪ 𝐵