3. ALGORITMA PERHITUNGAN
3.3 Algoritma DMFT
Mengacu pada Hamiltonian model yang telah dirumuskan sebelumnya, secara umum hamiltonian tersebut dapat juga dituliskan sebagai :
(3.7) Dimana adalah Hamiltonian untuk sistem tanpa gangguan, yang berasal dari suku tight binding murni. adalah semua suku interaksi yang dialami oleh elektron dari sekitarnya, termasuk dalam hal ini adalah interaksi double exchange. Bentuk matrik fungsi Green dari hamiltonian model pada persamaan (3.6) setelah diinverskan adalah : (3.8)
Dengan memasukkan nilai tebakan awal untuk self energy, maka akan diperoleh fungsi Green . Dan selanjutnya dilakukan perata-rataan terhadap nilai ke seluruh brillouin zones yang bertujuan untuk menghilangkan ketergantungan terhadap momentum agar fungsi Green ini bersifat lokal dan tidak lagi tergantung terhadap posisi sehingga diperoleh fungsi Green yang hanya sebagai fungsi z saja tanpa mengandung . Untuk melakukan sumasi terhadap titik dalam brillouin zones digunakan pendekatan , yaitu sumasi terhadap ditransformasi menjadi integral terhadap variabel energi, proses ini mengacu pada :
Atau
(3.10) Dalam hal ini :
= integrand yang merupakan fungsi dari (spektrum energi kinetik).
= bare density of states (DOS) atau rapat keadaan dasar dari spektrum energi kinetik.
Di dalam model tight-binding, untuk kristal yang berbentuk simple cubic nilai bare DOS dari spektrum energi kinetiknya dihitung dengan rumus :
(3.11) Dengan mengacu pada persamaan 3.10 Perata-rataan fungsi Green ini akan menghasilkan bar Green function, yang dapat ditulis sebagai berikut:
(3.12) Atau dapat juga ditulis :
(3.13) Mengingat tujuan studi ini difokuskan pada hasil secara kualitatif, maka dalam pelaksanaannya dapat kita hitung dengan pendekatan analitik dengan tujuan untuk menyederhanakan dan mempercepat proses perhitungan komputasi, dengan syarat tidak mengubah batas-batas atau lebar dari bare DOS itu sendiri. Maka bentuk bare DOS melalui pendekatan diasumsikan berbentuk setengah lingkaran. Bare DOS untuk simple cubic menurut model tight-binding dapat dilihat pada Gambar 3.2. berikut :
Gambar 3.2. Ilustrasi bare-dos untuk simple cubic [26].
Bentuk bare DOS simple cubic seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, akan sedikit menimbulkan kesulitan dalam perhitungan. Sedangkan Bare DOS yang berbentuk setengah lingkaran, akan memiliki deskripsi analitik, sehingga akan memudahkan perhitungan. Bare DOS setengah lingkaran di peroleh dari kisi Bethe. Kisi Bethe merupakan kisi fiktif, yang diciptakan semata-mata untuk menghasilkan DOS yang memiliki deskripsi analitik. Ilustrasi bare DOS dari kisi Bethe dapat dilihat pada Gambar 3.3.
Gambar 3.3. Ilustrasi gambar bare dos untuk kisi Bethe melalui pendekatan analitik [26].
Secara matematis bare DOS yang kita peroleh dari pendekatan dapat ditulis sebagai :
Dengan menggunakan nilai di atas, maka dapat diperoleh.
Langkah selanjutnya adalah mencari fungsi Green mean field, dimana dalam langkah ini self energy diekstrak dari bar Green function, sehingga fungsi Green mean field tidak lagi mengandung suku self energy. Secara matematis fungsi Green mean field dituliskan sebagai :
(3.15) Langkah ini dilakukan dengan terlebih dahulu menginverskan bar Green function, baru selanjutnya mengekstrak self energy.
Tahapan selanjutnya adalah mencari self energy lokal, yang membawa informasi suku interaksi yang dialami oleh elektron dalam satu site, self energy lokal ini akan dipakai untuk menghitung fungsi Green lokal. Di dalam penelitian ini ada dua interaksi yang diperhitungkan yaitu interaksi double exchange dan interaksi pertukaran anisotropik. Karena interaksi pertukaran anisotropik di dalam sistem merupakan interaksi pertukaran yang dialami antar ion-ion Mn yang tidak melibat elektron, maka interaksi pertukaran anisotropik tidak dimasukkan ke dalam self energy lokal. Sehingga self energy lokal hanya mengandung interaksi yang dialami oleh elektron karena adanya mekanisme double exchange saja. Self energy lokal ini dapat ditulis sebagai berikut :
(3.16) Hamiltonian dari model double exchange pada persamaan 2.6 pada bab 2 dapat dituliskan kembali sebagai :
(3.17) merupakan interaksi antar ion dan elektron di site i. Karena dalam penelitian ini diasumsikan satu unit sel simple cubic yang terdiri dari dua unit sel primitif yang dipandang sebagai unit sel A dan unit sel B, maka interaksi yang dialami oleh elektron ditinjau untuk site A dan site B. Sebelumnya dihitung terlebih dahulu dot product untuk masing-masing site, yaitu interaksi elektron di site A dan interaksi elektron di site B.
Untuk site A, dapat ditulis : (3.18) (3.19) (3.20) cos 00−cos (3.21) (3.22) Atau : (3.23) Untuk site B dapat ditulis :
(3.24) (3.25) (3.26) cos 00−cos (3.27) (3.28) atau
(3.29) Sedangkan untuk :
(3.30) Persamaan (3.30) menjelaskan bahwa tidak ada interaksi antara ion di site A dengan elektron di site B. begitu juga dengan ion di site B tidak berinteraksi dengan elektron di site A.
Dengan demikian bentuk matrik dari self energy lokal yang lengkap, dapat dituliskan sebagai : (3.31)
Self energy lokal ini digunakan untuk menghitung fungsi Green lokal. Fungsi Green lokal ini merepresentasikan fungsi Green untuk satu site dalam sistem yang dapat ditulis sebagai berikut :
(3.32) Tahapan dalam menghitung fungsi Green lokal ini dilakukan dengan terlebih dahulu menginverskan fungsi Green mean field dan selanjutnya memasukkan self energy lokal dan setelah itu diinverskan.
Seperti yang telah disebutkan di atas, bahwa fungsi Green lokal ini belum merepresentasikan fungsi Green untuk sistem secara keseluruhan. Sehingga untuk memperoleh fungsi Green yang merepresentasikan sistem secara keseluruhan, perlu dilakukan perata-rataan secara termodinamika, yang bertujuan untuk mencari probabilitas dari setiap spin untuk berada di setiap state. Perata-rataan ini memerlukan pemberat termodinamika yang dalam hal ini menggunakan pemberat Bolztman yang dirumuskan dengan :
Sef adalah aksi efektif, di dalam aksi efektif ini kita memasukkan suku koreksi interaksi pertukaran anisotropik yang dapat ditulis sebagai berikut :
2 + + + + (3.34)
Suku kedua pada aksi efektif di atas berasal dari interaksi pertukaran anisotropik antar ion Mn di site A dan ion Mn di site B, yang sudah diturunkan sebelumnya di bab 2 pada persamaan (2.12). Jp adalah exchange coupling antar ion Mn di arah planar dan Ja adalah exchange coupling antar ion Mn di arah axial. Dan suku ketiga adalah pengaruh medan magnet eksternal (H).
Sedangkan Z adalah fungsi partisi yang diperoleh menurut persamaan :
(3.35) Dengan menggunakan pemberat Boltzman dilakukan perata-rataan fungsi Green lokal yang menghasilkan fungsi Green average, secara matematis ditulis :
(3.36) Fungsi Green average ini sudah merepresentasikan fungsi Green sistem, sehingga bila diekstrak nilai self energy-nya akan diperoleh self energy yang merepresentasikan nilai self energy untuk sistem tersebut. Secara matematis pengekstrakan ini dapat ditulis :
(3.37) Self energy baru yang diperoleh ini selanjutnya digunakan untuk menghitung fungsi Green dalam iterasi selanjutnya, demikian seterusnya dilakukan iterasi mengikuti langkah yang sama hingga diperoleh perhitungan yang konvergen dan diperoleh nilai self energy yang konsisten. Untuk algoritma DMFT yang lebih skematif dapat dilihat pada Gambar 3.3.
Gambar 3.4. Algoritma DMFT
Mulai dengan memberi harga tebakan
Perhitungan yang konvergen akan menghasilkan fungsi Green, pemberat Boltzman dan besaran-besaran lainnya yang dapat digunakan untuk menghitung besaran-besaran fisis dari sistem La0,7Ca0,3MnO3. Beberapa besaran fisis yang penting untuk diketahui dari sistem La0,7Ca0,3MnO3 ini adalah density of state murni (bare DOS) untuk sistem tanpa koreksi yang hanya terdiri dari suku tight-binding, DOS untuk sistem dengan pengaruh double exchange, DOS untuk sistem dengan pengaruh interaksi pertukaran anisotropik, potensial kimia dan magnetisasinya.
Besarnya DOS dapat dihitung dengan rumus :
(3.38) Setelah DOS diperoleh, dan jika besar , T, dan b juga diketahui, maka selanjutnya dapat dihitung besarnya potensial kimia untuk sistem yang di dop dengan menggunakan persamaan berikut :
(3.39)