Dalam menyelesaikan persoalan-persoalan ekonomi transportasi, model analisis jaringan (network analisis) sering digunakan. Model-model analisis jaringan digunakan untuk memecahkan kasus-kasus nyata itu. Kesederhanaan konsep yang dimiliki oleh model analisis jaringan menjadikannya mudah untuk dipahami dan diterapkan. Analisis jaringan bukanlah suatu teori terintegrasi yang rumit. Analisis jaringan bukanlah suatu teori terintegrasi yang rumit. Analisis jaringan hanya merupakan pengembangan ide-ide yang bervariasi, yang bertujuan memecahkan masalah nyata itu. Dalam memecahkan kasus nyata tadi, analisis jaringan mampu memberikan solusi dari berbagai pendekatan. Sebagai contoh adalah kasus pengiriman produk, cara pemecahan bagi masalah ini dapat didekati dari berbagai tujuan, misalnya dari tujuan ingin memaksimumkan jumlah produk yang diangkut, meminimumkan waktu angkut yang diperlukan, meminimumkan ongkos angkutnya, atau yang lainnya. Analisis jaringan dapat memberikan solusi-solusi itu sesuai yang diharapkan dari pembuatan penyelesaian masalah.
2.6.1 Gambaran Umum dan Notasi Jaringan
Sebuah jaringan biasanya dimodelkan dalam batasan grafis. Dalam grafik itu jaringan merupakan kumpulan dari simpul (node) dan busur (arc). Simpul merupakan pertemuan busur-busur. Contoh nyata yang dapat merepresentasikan simpul adalah terminal, pusat pembagian aliran listrik, atau kantor pos pengolah surat. Busur menggambarkan aliran yang terjadi antar simpul, ada hubungan ketergantungan yang spesifik antara simpul-simpul itu. Contoh bagi busur ini adalah rute pesawat, jalan raya, pipa air minum, dll. Jaringan digunakan untuk menggambarkan proses fisik (aliran) berupa pemindahan komoditi dari satu simpul ke simpul lainnya. Simpul yang menyediakan komoditi disebut simpul sumber, sedangkan simpul yang memerlukan komoditi itu disebut simpul tujuan.
Dalam batasan garfis, sebuah jaringan dapat dinyatakan dalam notasi G = (N,A). N merupakan kumpulan simpul N1, N2, N3, ..., Nn. A menyatakan kumpulan busur yang
menghubungkan simpul i dengan simpul j. Suatu busur dinyatakan dengan (i, j) untuk i tidak sama j. Busur (i, j) adalah busur yang menghubungkan simpul ke-i dengan simpul ke-j. Jumlah aliran yang melewati suatu busur seringkali dibatasi, dalam keadaan demikian busur tadi dinyatakan berkapasitas. Ongkos pengiriman pada suatu busur biasanya diberi simbol C . Ongkos di sini dapat mewakili ongkos pengiriman yang ij sebenarnya, waktu kirim, jarak tempuh, atau yang lainnya.
Bagi suatu busur yang menghubungkan dua buah simpul, biasanya busur itu digambarkan dengan arah tertentu. Busur dengan arah tertentu demikian disebut busur berarah. Sebaliknya, busur yang tidak memiliki arah tertentu dinamakan busur tidak berarah. Busur tidak berarah dapat dianggap sebagai dua buah busur berarah.
Dalam menentukan status suatu simpul, apakah simpul itu merupakan simpul sumber atau simpul tujuan atau yang lainnya maka perlu dilakukan perhitungan terhadap jumlah komoditi yang keluar masuk simpul itu. Bila B menyatakan selisis antara i jumlah komoditi yang meninggalkan simpul dengan jumlah komoditi yang memasuki simpul sama, maka suatu simpul dengan Bi >0 adalah suatu simpul sumber. Simpul dengan harga Bi >0 merupakan simpul tujuan, dan simpul dengan Bi =0 disebut sebagai simpul peralihan <transshipment>.
Dalam penerapannya untuk suatu algoritma diasumsikan bahwa jaringan mengandung satu simpul sumber dan satu simpul tujuan. Dengan demikian, jaringan dapat dibentuk dengan membuat simpul super sumber (super source node) dan simpul super tujuan (super sink node), dan kemudian menghubungkan simpul-simpul sumber itu ke super sumber serta menghubungkan simpul-simpul tujuan ke simpul super tujuan dengan busur-busur semu (lihat gambar 2.6)
Dalam analisis jaringan ada beberapa istilah yang biasa digunakan, yaitu (lihat gambar 2.6):
Gambar 2.6: Simpul Super Sumber dan Simpul Super Tujuan
Gambar 2.7: Ilustrasi Jaringan
1. Lintasan (path), dari simpul i ke simpul j adalah urutan-urutan busur dengan simpul awal suatu busur merupakan simpul akhir dari busur sebelumnya. Dalam lintasan ini semua busur mengarah ke simpul j. Contoh dalam gambar 2.7 bagi lintasan adalah busur (1, 2).
2. Rantai (chain), adalah lintasan yang sebagian busurnya tidak mengarah ke simpul j. Contoh dalam gambar 2.7 bagi rantai adalah urutan busur (1, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 5).
3. Sirkuit (circuit),adalah suatu lintasan dalam simpul i sama dengan simpul j atau merupakan lintasan tertutup. Contoh sirkuit dalam gambar 2.7 adalah urutan busur (1, 2), (2, 3), (3, 1).
4. Lingkaran (cycle), adalah rantai tertutup, lintasan yang berawal pada simpul yang sama dan berakhir juga pada simpul yang sama. Contoh lingkaran dalam gambar 2.7 adalah urutan busur (1, 2), (2, 4), (1, 3), (3, 4), (4, 5).
5. Pohon (tree), adalah suatu jaringan yang tidak memiliki siklus. Contoh pohon dalam gambar 2.7 adalah urutan busur (1, 2), (3, 2), (2, 4), (4, 5).
Bila setiap busur pada jaringan mempunyai arah tertentu maka jaringan tersebut dinamakan jaringan berarah. Bila sebaliknya, yaitu tidak mempunyai arah sama sekali
2 3 1 4 5 2 5 7 8 6 3 1
maka disebut jaringan tidak berubah. Busur berarah (i, j) berarti busur tersebut memiliki arah dari i ke j.
Jaringan berkapasitas (capitated network) memiliki batas bawah (lower bound) dan batas atas (upper bound) bagi aliran busurnya. Pembatasan kemampuan aliran busur-busur ini memang diperlukan untuk menggambarkan kapasitas busur yang sebenarnya.
2.6.2 Variabel dan Parameter Jaringan
Dalam analisis jaringan, karakteristik yang menjadi variabel adalah jumlah aliran (flow) dari tiap busur. Variabel ini merupakan variabel keputusan yang sangat mempengaruhi tercapainya hasil akhir (fungsi tujuan) bagi jaringan itu.
Parameter yang digunakan dalam analisis jaringan, untuk setiap busurnya adalah: 1. Ongkos, yang dapat berupa ongkos dalam arti sebenarnya, waktu, jarak atau
yang lainnya. Ongkos ini harus dikeluarkan untuk setiap unit komoditi yang melewati suatu busur. Bagi tiap busur, besarnya ongkos tiap unit ini dapat berbeda-beda.
2. Batas atas kapasitas, merupakan jumlah maksimum yang dapat dialirkan oleh suatu busur.
3. Batas bawah kapasitas, merupakan jumlah minimum yang harus dialirkan oleh suatu busur.
2.6.3 Aliran Fisibel Jaringan
Aliran X menggambarkan jumlah aliran pada busur yang menghubungkan ij simpul ke-i dan simpul ke-j. Jika busur dalam jaringan tersebut adalah busur-busur yang berkapasitas maka aliran pada busur-busur itu akan memiliki batas bawah (L ) dan ij batas atas
( )
Uij . Aliran fisibel bagi busur itu harus memenuhi:ij ij ij X U L ≤ ≤ , dan
∑
−∑
= j k i ki ij X B X (II – 46)0 >
i
B Jika simpul ke-i itu adalah simpul sumber Bi <0 jika simpul ke-i itu adalah simpul tujuan Bi =0 jika simpul ke-i itu adalah simpul perantara B adalah jumlah aliran yang keluar-masuk jaringan. i
Persamaan (II – 46) di atas dinamakan konservasi aliran atau Hukum Kirchoff.
Dalam menyelesaikan persoalan jaringan dengan ongkos minimum digunakan asumsi bahwa pada seluruh jaringan
∑
=i i
B 0 . Jika tak sama dengan nolmaka harus ditambahkan simpul-simpul semu dengan ongkos busurnya nol.