HASIL DAN PEMBAHASAN
3.3 Analisis Metode Branch and Bound
Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan batas atas (BA) dan batas bawah (BB). Hasil yang diperoleh sebelumnya yaitu 𝑥1 = 36666,67, 𝑥2 = 19494,95, 𝑥3 = 44444,45 dan 𝑥4 = 32727,27 dengan keuntungan sebesar Rp. 34.431.620 belum menjadi solusi yang valid karena 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑥4 bukan bilangan integer. Namun nilai keuntungannya yang menjadi batas atas (BA). Dengan metode pembulatan ke bawah, diperoleh : 𝑥1 = 36666 , 𝑥2 = 19494 , 𝑥3 = 44444, 𝑥4 = 32727 dengan keuntungan
24
Rp.34.431.035,00 Nilai keuntungan dengan pembulatan ke bawah dijadikan sebagai batas bawah (BB).
Setelah batas atas dan batas bawah ditentukan, maka selanjutnya memilih variabel keputusan untuk melakukan pencabangan (branching). Dipilih salah satu variabel yang belum bulat. Dipilih 𝑥2 yaitu sebesar 19494,95, maka 𝑥2 dicabangkan menjadi sub-masalah 1 dan sub-masalah 2 dengan tambahan kendala untuk sub-masalah 1 𝑥2 ≥ 19495 dan untuk sub-masalah 2 𝑥2 ≤ 19494.
Sehingga diperoleh :
Iterasi 1 :
1. Sub-masalah 1
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495 Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 1 : 𝑥1 = 36666,67, 𝑥2 = 19495, 𝑥3 = 44444,39 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.620
2. Sub-masalah 2
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≤19494 Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 2 : 𝑥1 = 36666,67 , 𝑥2 = 19494 , 𝑥3 = 44444,45, 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.400
Selanjutnya adalah meneliti nilai solusi (Z) dari masing-masing sub-masalah apakah kurang dari nilai batas bawah dan lebih dari nilai batas atas. Jika nilai solusi yang diperoleh lebih besar dari batas atas, maka solusi tersebut tidak layak karena jika disubstitusikan ke dalam salah satu kendala, akan diperoleh kendala melebihi persediaan yang ada. Sedangkan jika nilai solusi yang diperoleh lebih kecil dari batas bawah, maka solusi tersebut tidak optimal.
25
Karena nilai solusi dari sub-masalah 1 dan 2 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 1 dan 2 masih ada yang tidak integer, maka masalah1 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 3 dan 4 sedangkan sub sub-masalah 2 dapat dicabangkan menjadi 5 dan 6.
Iterasi 2 :
1. Sub-masalah 3
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1≥ 36667 Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 3 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 4
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 4 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19495,62 , 𝑥3 = 44444,45 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.600
Iterasi 3 :
1. Sub-masalah 5
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≤19494+ kendala 𝑥1 ≥ 36667 Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 5 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 6
Maksimalkan : Persamaan 3.1
26
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 6 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19494, 𝑥3 = 44444,45 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.220
Karena nilai solusi dari sub-masalah 4 dan 6 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 4 dan 6 masih ada yang tidak integer, maka sub-masalah 4 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 7 dan 8 sedangkan sub masalah 6 dapat dicabangkan menjadi 9 dan 10.
Iterasi 4 :
1. Sub-masalah 7
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah7 : 𝑥1 = 36667, 𝑥2 = 19496 , 𝑥3 = 44444,06 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.580
2. Sub-masalah 8
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≤ 19495
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 8 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19495, 𝑥3 = 44444,45 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.450
27
Iterasi 5 :
1. Sub-masalah 9
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≤19494 + kendala 𝑥1≤ 36666 + kendala 𝑥3 ≥ 44445
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 9 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 10
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≤19494 + kendala 𝑥1≤ 36666 + kendala 𝑥3 ≤ 44444
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 10 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19494 , 𝑥3 = 44444, 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.110
Karena nilai solusi dari sub-masalah 7, 8 dan 10 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 7, 8 dan 10 masih ada yang tidak integer, maka sub-sub-masalah 7 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 11 dan 12 dan sub-masalah 8 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 13 dan 14 sedangkan sub masalah 10 dapat dicabangkan menjadi 15 dan 16.
Iterasi 6 :
1. Sub-masalah 11
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≥ 32728
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 11 : Tidak ada solusi fisibel
28
2. Sub-masalah 12
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 12 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19496 , 𝑥3 = 44444,33 , 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.580
Iterasi 7 :
1. Sub-masalah 13
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≤ 19495+ kendala 𝑥3 ≥ 44445
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 13 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 14
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≤ 19495+ kendala 𝑥3 ≤ 44444
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 14 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19495 , 𝑥3 = 44444 , 𝑥4 = 32727,27 Z = Rp. 34.431.340
Iterasi 8 :
1. Sub-masalah 15
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≤19494 + kendala 𝑥1≤ 36666 + kendala 𝑥3 ≥ 44445 + kendala 𝑥4≥ 32728
29
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 15 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 16
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≤19494 + kendala 𝑥1≤ 36666 + kendala 𝑥3 ≤ 44444 + kendala 𝑥4 ≤ 32727
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 16 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19494 , 𝑥3 = 44444 , 𝑥4 = 32727, Z = Rp. 34.431.040
Karena nilai solusi dari sub-masalah 12 dan 14 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 12 dan 14 masih ada yang tidak integer, maka sub-sub-masalah 12 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 17 dan 18 sedangkan sub-masalah 14 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 19 dan 20.
Iterasi 9 :
1. Sub-masalah 17
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3 ≥ 44445
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 17 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 18
Maksimalkan : Persamaan 3.1
30
+ kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 18 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19496,33 , 𝑥3 = 44444, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.570
Iterasi 10 :
1. Sub-masalah 19
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≤ 19495+ kendala 𝑥3 ≤ 44444 + kendala 𝑥4 ≥ 32728
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 19 : Tidak ada solusi fisibel
2. Sub-masalah 20
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≤ 19495+ kendala 𝑥3 ≤ 44444 + kendala 𝑥4 ≤ 32727
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 20 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19495 , 𝑥3 = 44444,45 , 𝑥4 = 32727, Z = Rp. 34.431.380 (Tidak Layak)
Karena nilai solusi dari sub-masalah 18 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 18 masih ada yang tidak integer, maka masalah 18 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 21 dan 22 dan sub sub-masalah 17 dan 19tidak dapat dicabangkan lagi karena tidak memili solusi layak serta sub masalah 20 tidak perlu dicabangkan lagi karena nilai Z sub masalah 20 lebih besar dari batas atas.
31
Iterasi 11 :
1. Sub-masalah 21
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 21 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19497 , 𝑥3 = 44443,33, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.560
2. Sub-masalah 22
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≤ 19496
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 22 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19496, 𝑥3 = 44444, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.500 (Sub-Optimal)
Karena nilai solusi dari sub-masalah 21 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 21 masih ada yang tidak integer, maka masalah 21 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 23 dan 24 sedangkan sub sub-masalah 22 sudah memiliki solusi optimal.
Iterasi 12 :
1. Sub-masalah 23
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≥ 44444
32
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 23 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19496,33 , 𝑥3 = 44444 , 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.570(Tidak Layak)
2. Sub-masalah 24
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 24 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19497,33, 𝑥3 = 44443, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.540
Karena nilai solusi dari sub-masalah 24 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 24 masih ada yang tidak integer, maka masalah 24 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 25 dan 26 sedangkan sub sub-masalah 23 tidak perlu dicabangkan lagi karena nilai solusi sub masalah 23 lebih besar dari batas atas.
Iterasi 13 :
1. Sub-masalah 25
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 25 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19498, 𝑥3 = 44442,33 , 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.530
33
2. Sub-masalah 26
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≤ 19497
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 26 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19497, 𝑥3 = 44443, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.470 (Sub-Optimal)
Karena nilai solusi dari sub-masalah 25 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 25 masih ada yang tidak integer, maka masalah 25 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 27 dan 28 sedangkan sub sub-masalah 26 tidak dapat dicabangkan lagi karena semua variabel keputusan sudah bernilai integer.
Iterasi 14 :
1. Sub-masalah 27
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≥ 44443
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 27 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19498, 𝑥3 = 44443 , 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.540( Tidak Layak )
2. Sub-masalah 28
Maksimalkan : Persamaan 3.1
34
+ kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≤ 44442
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 28 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19498,33 , 𝑥3 = 44442, 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.520
Karena nilai solusi dari sub-masalah 28 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 28 masih ada yang tidak integer, maka masalah 28 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 29 dan 30 sedangkan sub sub-masalah 27 tidak perlu dicabangkan lagi karena nilai solusi sub masalah 27 lebih besar dari batas atas.
Iterasi 15 :
1. Sub-masalah 29
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≤ 44442 + kendala 𝑥2 ≥ 19499
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 29 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19499, 𝑥3 = 44441,33 , 𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.500
2. Sub-masalah 30
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤
35
44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≤ 44442 + kendala 𝑥2 ≤ 19498
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh :
Solusi sub-masalah 30 : 𝑥1 = 36666, 𝑥2 = 19498, 𝑥3 = 44442,
𝑥4 = 32727 Z = Rp. 34.431.440 ( Sub-Optimal )
Karena nilai solusi dari sub-masalah 29 tidak lebih besar dari nilai batas atas dan tidak lebih kecil dari nilai batas bawah, serta nilai variabel keputusan sub-masalah 29 masih ada yang tidak integer, maka masalah 29 dapat dicabangkan menjadi sub-masalah 31 dan 32 sedangkan sub sub-masalah 30 tidak dapat dicabangkan lagi karena semua variabel keputusan sudah bernilai integer.
Iterasi 16 :
1. Sub-masalah 31
Maksimalkan :Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≤ 44442 + kendala 𝑥2 ≥ 19499 + kendala 𝑥3 ≥ 44442
Dengan menggunakan metode simpleks, diperoleh : Solusi sub-masalah 31 : Tidak ada Solusi Fisibel
2. Sub-masalah 32
Maksimalkan : Persamaan 3.1
Kendala : Persamaan 3.2 + kendala 𝑥2 ≥ 19495+ kendala 𝑥1 ≤ 36666 + kendala 𝑥2 ≥ 19496 + kendala 𝑥4 ≤ 32727 + kendala 𝑥3≤44444 + kendala 𝑥2 ≥ 19497 + kendala 𝑥3 ≤ 44443 + kendala 𝑥2 ≥ 19498 + kendala 𝑥3 ≤ 44442 + kendala 𝑥2 ≥ 19499 + kendala 𝑥3 ≤ 44441