Analisis Multidimensional Scaling

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

E. Analisis Multidimensional Scaling

1. Definisi Analisis Multidimensional Scaling

Ada beberapa definisi penskalaan dimensi ganda (multidimensional

scaling) yang diungkapkan oleh beberapa ahli antara lain, penskalaan

multidimensional (PMD) atau multidimensional scaling (MDS) merupakan

suatu teknik yang bisa membantu peneliti untuk mengenali

(mengidentifikasi) dimensi kunci yang mendasari evaluasi objek dari

responden atau pelanggan.¹⁶ Analisis multidimensional scaling (MDS)

merupakan salah satu teknik peubah ganda yang dapat digunakan untuk

menentukan posisi suatu objek lainnya berdasarkan penilaian kemiripannya.

MDS berhubungan dengan pembuatan map untuk menggambarkan posisi

sebuah objek dengan objek lainnya berdasarkan kemiripan objek-objek

tersebut.¹⁷

Dari definisi tersebut, kegunaan multidimensional scaling adalah

untuk menyajikan objek-objek secara visual berdasarkan kemiripan yang

dimiliki. Selain itu kegunaan lain dari teknik ini adalah mengelompokkan

16J.supranto. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi (Jakarta : PT rineka cipta, 2004),h.173

17Gloria A Walundungo,dkk. Penggunaan Analisis Multidimensional Scaling untuk Mengetahui Kemiripan Rumah Makan di Manado Town Square Berdasarkan Kerakteristik Pelanggan, jurnal JdC, Vol . 3, No. 1, (2014):h.30

objek-objek yang memiliki kemiripan dilihat dari beberapa peubah atau

atribut yang dianggap mampu menggelompokkan objek-objek tersebut.18

Sehingga dapat disimpulkan bahwa, multidimensional scaling adalah:

a. Kumpulan teknik-teknik statistika untuk menganalisis kemiripan dan

ketakmiripan antar objek.

b. Memberikan hasil yang berupa plot titik-titik sehingga jarak antar

titik menggambarkan tingkat kemiripan atau ketakmiripan.

c. Memberikan petunjuk untuk mengidentifikasi atribut tak diketahui atau

faktor yang mempengaruhi munculnya kemiripan atau ketakmiripan.¹⁹

Statistik dan beberapa istilah (terminologi) yang penting dalam

analisis MDS, antara lain sebagai berikut:

a. Analisis agregat (aggregate analysis), sebuah pendekatan dalam MDS,

dimana perceptual map dibuat untuk evaluasi sekelompok responden

terhadap objek-objek. Perceptual map dapat dibuat dengan komputer

maupun peneliti sendiri.

b. Penilaian kesamaan (similarity judgement), merupakan perangkat seluruh

pasangan merek yang mungkin atau stimuli lain berdasarkan kesamaan

yang dinyatakan melalui skala pengukuran (measurement scale) berskala

nonmetrik atau semacamnya.

18 Triana J. Masuku, dkk. Persepsi Konsumen Terhadap Produk Sepatu Olahraga di Sport Station Megamall dengan Menggunakan Analisis Multidimensional Scaling, Jurnal Ilmiah Sains Vol. 14 No. 2 (2014): h.69

c. Peringkat preferensi (preference rankings), adalah ranking berupa urutan

merek-merek mulai dari yang paling diinginkan sampai paling tidak

diinginkan konsumen atau responden.

d. Stress, adalah skor yang menyatakan ketidaktepatan pengukuran (lack offit

measurement). Semakin tinggi stress , semakin tinggi ketidaktepatan.

e. R kuadrat (R square), adalah indeks korelasi pangkat dua yang

menyatakan proporsi varians data asli yang dapat dijelaskan MDS.

f. Peta spasial (disebut juga perceptual map) , adalah suatu peta geometris

yang menyatakan hubungan atau perbandingan antarmerek atau stimuli

lain berdasarkan dimensi-dimensi yang diukur.

g. Koordinat (coordinates), menyatakan posisi suatu merak atau stimulus

lain dalam peta spasial.

h. Unfolding, representasi merek dan responden sebagai pola dalam ruang

yang sama.20

Konsep dasar dari multidimensional scaling adalah jarak yang

dihasilkan dalam ruang harus sesuai dengan proximities yang sebenarnya.

Sehingga yang dilakukan oleh multidimensional scaling adalah mencari

posisi dalam ruang dan koordinat untuk setiap stimuli. Diharapkan jarak yang

dihasilkan akan mendekati nilai proximities. Proximity dibagi atas dua yaitu

pertama similarity (kemiripan) yaitu jika semakin kecil nilai jaraknya,

20 Bilson, Simamora. Analisis Multivariat Pemasaran.(Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama, 2005), h. 237

menunjukkan bahwa objeknya lebih mirip. Kedua, dissimilarity

(ketakmiripan) yaitu jika semakin besar nilai jaraknya, menunjukkan

bahwa objeknya semakin tak mirip. Keberhasilan dari proses ini ditentukan

oleh seberapa baik jarak yang dihasilkan (𝑑̂𝑖𝑗) dalam ruang sesuai dengan

proximities yang sebenarnya (𝛿𝑖𝑗).²¹

2. Jenis-jenis Multidimensional scaling (MDS)

Tipe data berdasarkan skala pengukuran dibagi menjadi 4 tipe, yaitu

skala nominal, ordinal, interval dan rasio. Berdasarkan tipe data tersebut,

multidimensional scaling dibagi menjadi 2 jenis, yaitu penskalaan berdimensi

ganda metrik dan penskalaan berdimensi ganda non-metrik.

a. Multidimensional scaling (MDS) metrik

Data jarak yang digunakan dalam multidimensional scaling

metrik adalah data rasio atau interval. MDS metrik (classical scaling)

digunakan untuk menemukan himpunan titik dalam ruang dimensi n

dimana masing-masing titik mewakili satu objek. Dalam classical

scaling, dissimilarities (𝛿_𝑖𝑗) diperlakukan sama dengan jarak (𝑑_𝑖𝑗), yaitu 𝛿𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗.

Tujuan dari multidimensional scaling adalah untuk mencari

koordinat titik-titik dalam ruang euclid dari matriks jarak yang tersedia.

Misalkan koordinat n titik dalam ruang euclid dimensi p adalah 𝒙_𝒊 (i =

21Skripsi Analisis Posisi Produk Operator Seluler Berdasarkan Persepsi dan Preferensi Mahasiswa UNDIP dengan Metode Multidimensional Scaling

1,2, … , n) dengan 𝒙𝒊 = (𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑘 ) dan 𝒙𝒋 = (𝑥𝑗1, 𝑥𝑗2, … , 𝑥𝑗𝑘 ). Jarak euclid antara titik ke- i dan ke- j adalah:²²

𝑑_𝑖𝑗2 = ∑𝑝 (𝑥_𝑖𝑘 − 𝑥_𝑗𝑘 )2

𝑘=1 ………... (1) Langkah berikutnya adalah menentukan matriks hasil kali dalam

B, dengan cara mendekomposisikan matriks D melalui proses double centering. Matriks B memiliki elemen-elemen:

𝑏_𝑖𝑗 = −¹₂(𝑑_𝑖𝑗2 − 𝑑_𝑖.2− 𝑑_.𝑗2− 𝑑_..2)……… (2) Dengan, 𝑑_𝑖.2 = _𝑛¹∑^𝑛 𝑑_𝑖𝑗2 𝑗=1 𝑑_.𝑗2 = _𝑛¹∑^𝑛 𝑑_𝑖𝑗2 𝑖=1 𝑑..2 = _𝑛¹∑^𝑛 𝑑_𝑖𝑗² 𝑖,𝑗=1

Bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi

𝑩 = − ¹₂(𝑰 −¹_𝑛𝑽) 𝑫𝟐(𝑰 −¹_𝑛𝑽)……… (3)

Dimana

𝑰 : matriks identitas dengan ukuran nxn

𝑽 : matriks berukuran nxn dengan entri𝑽_𝑖𝑗 = 1 untuk semua i,j

𝑫𝟐 _{: matriks kuadrat jarak berukuran nxn dengan elemen} 𝑑_𝑖𝑗²23

22

Ahmad Ansori Mattjik dan I Made Sumertajaya, Sidik Peubah Ganda dengan Menggunakan SAS(Bogor: IPB Press, 2011), h. 378

Matriks hasil kali dalam B dapat juga diekspresikan sebagai B= XXT dimana X= [x1, …, xn]Tadalah matriks koordinat yang berukuran

(n x p). Rank dari matriks B,r(B) adalah

r(B) = r(XX^T) = r(X) = p. …………..…………(4) Sekarang B adalah matriks yang simetrik, semi definit positif dan berpangkat (rank) p, sehingga memiliki p eigen values non-negatif dan

n – p eigen values sama dengan 0.

Matriks B kemudian ditulis dalam bentuk dekomposisi spektral:

B = VΛVT ……….………...(5) Dimana Λ=diag(λ1,λ2, … , λn), yaitu matriks diagonal dari eigen values

{λi} matriks B, dan V = [𝛾1, … , _𝛾n], yaitu matriks dengan eigen vectors

yang dinormalkan. Sehingga koordinat matriks X berisi titik konfigurasi dalam Rpyang diberikan oleh:

𝐗 = 𝐕𝚲¹𝟐 ………….………....(6) Permasalahan berikutnya adalah menentukan jumlah dimensi yang

diperlukan untuk menampilkan koefisien ketakmiripan (𝛿_𝑖𝑗). Jika B

adalah matriks semi definit positif maka jumlah akar ciri yang tak nol

menujukkan jumlah dimensi yang diperlukan. Jika B bukan matriks semi definit positif maka jumlah akar ciri yang positif menunjukkan

jumlah dimensi yang tepat. Jumlah dimensi tersebut merupakan

23 Yuda Esdie Sutanto. Skala Multidimensi.Skripsi (Jurusan Matematika Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta, 2007), h.50

jumlah dimensi maksimal yang diperlukan, sedangkan untuk lebih

praktisnya lebih baik memilih dimensi yang lebih kecil.

Secara singkat algoritma classical scaling sebagai berikut :²⁴

1) Menentukan koefisien ketakmiripan (_rt)

2) Mencari matriks A =  2^ 2 1 ij  3) Mencari matriks B =



a_ij a_ia_j a



4) Mencari eigenvalues λ1 , … , λn-1 dan eigenvector v1, … ,vn-1 yangkemudian dinormalkan sehingga v_i^Tv_i _iλi . Jika B tidak semidefinit positif ( beberapa eigen values bernilai negative), maka

terdapat 2 pilihan, pilihan 1 adalah membuang eigen values yang

bernilai negatif dan melanjutkan proses. Pilihan ke 2 adalah

menambahkan suatu konstanta c pada koefisien ketakmiripan sebagai

berikut _ij _ij c(1^ij)dan kembali ke langkah 2. 5) Memilih jumlah dimensi yang tepat. Dapat menggunakan





 ) ( 1 positif s eigenvalue p i i 

6) Menentukan koordinat n titik pada ruang euclid dimensi p dengan



i n j p



v

x_ij  _ij 1,, ; 1,, .

24Ahmad Ansori Mattjik dan I Made Sumertajaya.Sidik Peubah Ganda dengan Menggunakan SAS (Bogor: IPB Press, 2011), h. 382

b. Multidimensional scaling(MDS) nonmetrik

Multidimesional scaling nonmetrik mengasumsikan bahwa

datanya adalah kualitatif (nominal dan ordinal). Program MDS nonmetrik

menggunakan transformasi monoton (sama) ke data yang sebenarnya

sehingga dapat dilakukan operasi aritmatika terhadap nilai

ketidaksamaannya, untuk menyesuaikan jarak dengan nilai urutan

ketidaksamaanya. Hasil perubahan ini disebut disparities. Disparities ini

digunakan untuk mengukur tingkat ketidaktepatan konfigurasi objek-objek

dalam peta berdimensi tertentu dengan input data ketidaksamaannya.

Pendekatan yang sering digunakan saat ini untuk mencapai hasil yang

optimal dari skala non metrik digunakan Kruskal’s Least-Square Monotomic Transformation dimana disparities merupakan nilai rata-rata

dari jarak-jarak yang tidak sesuai dengan urutan ketidaksamaanya.

Informasi ordinal kemudian dapat diolah dengan MDS nonmetrik

sehingga menghasilkan konfigurasi dari objek-objek yang yang terdapat

pada dimensi tertentu dan kemudian agar jarak antara objek sedekat

mungkin dengan input nilai ketidaksamaan atau kesamaannya. Koordinat

awal dari setiap subjek dapat diperoleh melalui cara yang sama seperti

informasi yang sebenarnya tapi nilai urutan tersebut dipandang sebagai

variabel interval.25

3. Asumsi Dalam Multidimensional Scaling

Multidimensional Scaling tidak memiliki asumsi yang baku dalam

metodologinya, tipe data atau hubungan antar variabel-variabelnya. Dalam

MDS hanya mensyaratkan bahwa peneliti menerima beberapa prinsip

mengenai persepsi yang meliputi :

a. Pembatasan multidimensionalscaling

Diasumsikan bahwa kemiripan stimulus A dan B sama dengan

stimulus B ke A. Akan tetapi ada beberapa kasus yang asumsi ini tidak

berlaku.

b. Variasi dimensi

Tiap-tiap responden tidak akan menilai suatu stimulus di

dalam dimensi yang sama. Misalnya, seseorang mungkin akan menilai

sebuah mobil dari tenaga dan modelnya, sedangkan yang lain tidak

memperhatikan faktor ini melainkan sebuah mobil dari harga dan

kenyamanannya.

c. Variasi kepentingan

Responden tidak menilai kepentingan dimensi pada tingkat

yang sama, walaupun serluruh responden menilai dimensi tersebut.

25Aldila Sakinah Putri,dkk. Multidimensional Scaling. Makalah (Malang : Universitas Malang Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, 2011)

Misalnya, dua orang responden menilai suatu minuman ringan dari

tingkat karbonasinya. Seorang responden mungkin akan menilai bahwa

faktor ini tidaklah penting, sedangkan yang lainnya menilai bahwa

faktor ini penting.

d. Variasi waktu

Pernyataan yang didapat dari stimulus-stimulus tidak bisa

digunakan dalam jangka waktu yang lama. Dengan kata lain, peneliti

tidak dapat mengharapkan persepsi yang stabil dari waktu ke waktu.²⁶

4. Validitasi model MDS

Untuk mendapatkan model MDS yang cocok, terdapat beberapa

kriteria atau pedoman agar hasil yang didapatkan layak dan dapat

digunakan untuk interpretasi sesungguhnya yaitu :

a. Nilai Stress (Standardized Residual Sum of Square)

Stress ialah ukuran ketidakcocokan (a lack of fit measure),

makin tinggi nilai stres semakin tidak cocok, sehingga dapat

disimpulkan kalau data tidak cocok digunakan untuk proses anilisis

multidimensional scaling. Untuk menemukan tingkat ketidakcocokan

tersebut makan kita dapat mencari dengan menggunakan rumus

Stress. Stress dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

26 Juniarti, Sinaga. Metode Multidimensional Scaling Pada Tingkat Kemiripan Produk (Studi Kasus: Persepsi Mahasiswa Terhadap Tingkat Kemiripan Smartphone Dengan Peta Spasial), Skripsi (Makassar : Fakultas Sains Dan Teknologi UIN alauddin, 2010)

𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 = √∑ (𝑑𝑖𝑗𝑛 − 𝑑̂𝑖𝑗)2 𝑖,𝑗

∑ (𝑑𝑖𝑗𝑛 − 𝑑̅)2 𝑖,𝑗

dimana,

𝑑_𝑖𝑗 = jarak kemiripan sesungguhnya

𝑑̂_𝑖𝑗= jarak yang dihasilkan dari kemiripan data

𝑑̅ = jarak rata-rata pada peta (∑ 𝑑^𝑛_{𝑖,𝑗 𝑖𝑗} 𝑛 )

Untuk Kruskal stress formula terdapat pedoman untuk

mengidentifikasi model yang baik bila dilihat dari nilai stress dengan

menggunakan standar kriteria sebagai berikut:27

Tabel 2.1 Kriteria nilai Stress

27

Raditya, Panca Wardhana. Analisis Posisi Produk Kartu Gsm Dengan Metode Multidimensional Scalling (Mds) Pada Mahasiswa Fmipa Universitas Negeri Surabaya . (Surabaya, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya), h.3

Stress (%) Kriteria Model Multidimensional Scaling

>20 % Jelek

20-10 % Cukup

10-5 % Baik

5-2,5 % Sangat baik

b. Nilai R²

R2 = R kuadrat (R square) ialah kuadrat dari koefisien korelasi

yang menunjukkan proporsi varian dari skala optimal data, yang

disumbangkan oleh prosedur penskalaan multidimensional ukuran

kecocokan/ketepatan (goodness of fit measure).²⁸Yang diinginkan ialah

nilai R² yang tinggi (R²=1 atau 100% model mewakili dengan sempurna),

akan tetapi, 𝑅2≥ 0.60 (60% atau lebih) sudah bisa diterima, artinya bisa mewakili data input dengan cukup baik. 𝑅2 _{dapat dicari dengan}

menggunakan rumus sebagai berikut:29

𝑅2 = 1 −∑ (𝑑𝑛 _𝑖𝑗− 𝑑̂_𝑖𝑗)2 𝑖,𝑗

∑ (𝑑𝑖𝑗𝑛 − 𝑑̅)2 𝑖,𝑗