LANDASAN TEOR
3.7. Model Antrian
Model antrian dikembangkan melalui kombinasi dari beberapa karakteristik seperti populasi masukan, disiplin antrian, mekanisme pelayanan dan lain-lain. Beberapa model antrian diklasifikasikan berdasarkan format umum (a/b/c):(d/e/f), dimana17
a : bentuk distribusi kedatangan :
b : bentuk distribusi waktu pelayanan
17
Taha, Hamdy. Operations Research an Introduction. New York: Macmillan Publishing Co, Inc. 1982. Hal - 608
c : jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem d : disiplin pelayanan
e : jumlah maksimum yang diperkenankan di dalam sistem f : besarnya populasi masukan
Untuk huruf a dan b digunakan kode-kode berikut ini sebagai pengganti: M = Distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan Eksponensial D = Antar kedatangan atau waktu pelayanan tetap
Ek = Distribusi Erlang atau Gamma yang ekivalen dengan jumlah distribusi Eksponensial independent
G = Distribusi umum (generik) waktu kedatangan atau waktu pelayanan.
Untuk huruf c digunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan paralel. Untuk huruf d digunakan kode-kode pengganti: 18
1. FIFO atau FCFS untuk menyatakan disiplin pelayanan first in first out atau first come first served
2. LIFO atau LCLS untuk menyatakan disiplin pelayanan last in first out atau last come last served
3. SIRO untuk menyatakan disiplin pelayanan service in random order. 4. GD untuk menyatakan disiplin pelayanan general service discipline.
Untuk huruf e dan f digunakan kode N untuk menyatakan jumlah terbatas dan (∼) untuk tak terhingga dalam sistem antrian pada populasi masukan.
18
Dalam teori antrian, terminologi dan notasi yang umum digunakan adalah: 1. Status sistem : Jumlah pelanggan dalam sistem antrian
2. Panjang antrian : Jumlah unit yang sedang menunggu pelayanan, yaitu jumlah unit yang berada dalam sistem dikurangi dengan jumlah unit yang sedang dilayani
3. Nt : Jumlah satuan pelanggan dalam antrian waktu t
4. λ : Kecepatan rata-rata kedatangan unit ke dalam sistem yaitu jumlah unit rata-rata masuk ke dalam sistem per satuan waktu
5. μ : Kecepatan rata-rata pelayanan unit yang dapat dilayani per satuan waktu 6. ρ : Tingkat kesibukan system.
Adapun empat model antrian yang paling sering digunakan dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1. Model Antrian
Model Nama (nama Teknis) Contoh Jumlah Jalur Pola Jumlah tahapan Pola tingkat kedatangan Waktu pelayanan Ukuran antrian Aturan A Sistem sederhana (M/M/1) Meja informasi di Mall
Tunggal Tunggal Poisson Eksponensial
Tidak terbatas FIFO B Jalur Berganda (M/M/S) Loket tiket penerbanga n
Ganda Tunggal Poisson Eksponensial
Tidak
terbatas
Tabel 3.1. Model Antrian (Lanjutan) Model Nama (nama Teknis) Contoh Jumlah Jalur Pola Jumlah tahapan Pola tingkat kedatangan Waktu pelayanan Ukuran antrian Aturan C Pelayanan Konstan (M/D/1) Tempat pencucian mobil otomatis
Tunggal Tunggal Poisson Konstan
Tidak terbatas FIFO D Populasi Terbatas Bengkel yang hanya memiliki selusin mesin yang dapat rusak
Tunggal Tunggal Poisson eksponensial Terbatas FIFO
Sumber : Heizer & Render. 2006.Operations Management
Keempat model antrian pada tabel diatas menggunakan asumsi sebagai berikut: 1. Kedatangan berdistribusi poisson
2. Penggunaan aturan FIFO 3. Pelayanan satu atap
Keempat model diatas dijabarkan antara lain:
1. Model A : M/M/1 (single channel quinery atau jalur tunggal) 19
Pada model ini kedatangan bestribusi poisson dan waktu pelayanan eksponensial. Dalam situasi ini, kedatangan membentuk satu jalur tunggal untuk dilayani oleh stasiun tunggal.
19
Hillier, Frederick and Liebermen Gerald. Operations Research. San Fransisco: Holden Day Inc. 2005. Hal - 212.
Diasumsikan sistem berada dalam kondisi sebagai berikut :
a. Kedatangan dilayani atas first-in, first-out (FIFO), dan setiap kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjang antrian.
b. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang rata-rata tidak berubah menurut waktu.
c. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabilitas poisson dan datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).
d. Waktu pelayanan bervariasi dari satu pelanggan dengan pelanggan yang berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu pelayanan diketahui.
e. Waktu pelayanan sesuai dengan distribusi probabilitas eksponensial negatif. f. Tingkat pelayanan lebih cepat dari pada tingkat kedatangan.
Rumus antrian untuk model A adalah sebagai berikut :
1. Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem (yang sedang menunggu untuk dilayani) 20
Ls = λ
µ−λ
Keterangan:
Ls :Jumlah pelanggan rata-rata menunggu dalam sistem untuk dilayani λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
20
2. Jumlah pelanggan rata-rata yang dihabiskan dalam sistem (waktu menunggu ditambahi waktu pelayanan)
Ws = 1
µ−λ
Keterangan:
Ws:Jumlah pelanggan rata-rata menghabiskan waktu dalam sistem λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
3. Rata-rata jumlah pelanggan dalam barisan antrian Lq = λ2
µ(µ−λ)
Lq :Jumlah pelanggan rata-rata menghabiskan waktu dalam sistem λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
4. Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani
Wq = λ
µ(µ−λ)
Wq:Waktu pelanggan rata-rata menghabiskan waktu dalam antrian untuk dilayani
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
5. Faktor utilisasi sistem (populasi fasilitas pelayanan sibuk). p = λ
µ
p :Utilasi sistem
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
6. Probabilitas terdapat 0 unit dalam sistem (yaitu unit pelanggan kosong) Po = 1−λ
µ
Po :Peluang sistem sedang kosong
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
7. Probabilitas terdapat lebih dari sejumlah k unit dalam sistem
Pn >k = �
µ �+1
Pn :Probabilitas terdapat unit dalam sistem k : Jumlah unit dalam sistem
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
2. Model B : M/M/S (multiple channel quiuery system atau jalur berganda) 21 Pada model ini terdapat dua atau lebih jalur atau stasiun pelayanan yang tersedia untuk menangani pelanggan yang akan datang. Asumsi bahwa pelanggan yang menunggu pelayanan membentuk satu jalur dan akan dilayani pada stasiun pelayanan yang tersedia pertama kali pada saat itu. Model ini juga mengasumsikan bahwa pola kedatangan mengikuti distribusi eksponensial negatif. Pelayanan dilakukan secara FCFS, dan semua stasiun pelayanan diasumsikan memiliki tingkat pelayanan yang sama. Asumsi lain yang terdapat pada model A juga berlaku pada model B ini. Rumus antrian untuk model B ini
adalah sebagai berikut :
1. Probabilitas terdapat 0 orang dalam sistem (tidak adanya pelanggan dalam sistem) Po = 1 ∑ �n!1 �µλ�n�+ �λµ�c c!(1-p) c-1 n=0 Keterangan:
Po :Probabilitas sistem dalam keadaan kosong λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu c : Jumlah Server (pelayanan)
21
2. Untuk menghitung jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian: Lq= (�/µ)��
�! (1−�)2�� Keterangan:
Lq :Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu c : Jumlah Server (pelayanan)
3. Untuk menghitung jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam sistem: Ls= Lq+�
�
Keterangan:
Ls :Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam sistem Lq : Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
4. Untuk menghitung waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian: Ws=��
�
Keterangan:
Ws:Waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian Lq : Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
5. Untuk menghitung waktu rata-rata nasabah menunggu dalam sistem: Wq= Ws+ 1��
Keterangan:
Wq:Waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian Ws: Waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
3. Model C : M/D/1 (constraint service atau waktu pelayanan konstan) 1. Panjang Antrian
Lq = λ2
2µ(µ−λ) Keterangan:
Lq :Panjang antrian
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
2. Waktu menunggu dalam antrian Wq = λ
2µ(µ−λ) Keterangan:
Wq:Waktu menunggu dalam antrian
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
3. Jumlah pelanggan dalam sistem rata-rata Ls = ��+ λ
µ
Keterangan:
Ls :Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam sistem Lq : Jumlah rata-rata nasabah menunggu dalam antrian λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu μ : Jumlah orang yang dilayani per satuan waktu
4. Waktu tunggu rata-rata dalam sistem Ws = ��+ 1
µ
Keterangan:
Ws:Waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian Wq: Waktu menunggu dalam antrian
λ : Jumlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
4. Model D (limited population atau populasi terbatas) Rumus antrian untuk model D adalah sebagai berikut: 1. Faktor pelayanan
x = T+UT Keterangan:
X :Faktor pelayanan
T : Waktu pelayanan rata-rata
2. Jumlah antrian rata-rata
L =N (1-F) Keterangan:
L : Rata-rata jumlah unit yang menunggu untuk dilayani N : Jumlah pelanggan potensial
F : Faktor efisiensi
3. waktu tunggu rata-rata (W)
W = L(T+U)
N−L =
T(1−F)
��
Keterangan:
L : Rata-rata jumlah unit yang menunggu untuk dilayani N : Jumlah pelanggan potensial
F : Faktor efisiensi
T : Waktu pelayanan rata-rata
U : Waktu rata-rata antar unit yang membutuhkan pelayanan X :Faktor pelayanan
4. Jumlah pelayanan rata-rata
J= NF (1-X) Keterangan:
J : Rata-rata jumlah unit tidak berada dalam antrian N : Jumlah pelanggan potensial
F : Faktor efisiensi X :Faktor pelayanan
5. Jumlah dalam pelayanan rata-rata
H= FNX Keterangan:
H : Rata-rata jumlah unit yang sedang dilayani N : Jumlah pelanggan potensial
F : Faktor efisiensi X :Faktor pelayanan
6. Jumlah populasi
N= J + L + H Keterangan:
N : Jumlah pelanggan potensial
J : Rata-rata jumlah unit tidak berada dalam antrian L : Rata-rata jumlah unit yang menunggu untuk dilayani H :Rata-rata jumlah unit yang sedang dilayani
