Bab 11 Turunan
1. Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi
2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Turun
Mari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun dengan memperhatikan dan mengamati permasalahan berikut.
Masalah-11.4
Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan.
Permasalahan
Dari ilustrasi ini, dapatkah kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Ingat pengertian periode pada pelajaran trigonometri di kelas X. Dapatkah kamu tentukan pada interval waktu berapakah lumba-lumba tersebut bergerak naik atau turun? Dapatkah kamu temukan konsep fungsi naik/turun?
Alternatif Penyelesaian
Gambar 11.7 Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentu
Gambar 11.8 Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam pengamatan tertentu
Secara geometri pada sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interval 0 < t < 7,5 atau 16,5 < t < 25,5 atau 34,5 < t < 36 dan disebut bergerak naik di interval 7,5 <
t < 16,5 atau 25,5 < t < 34,5.
• Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun.
Gambar 11.9 Garis singgung di interval fungsi naik/turun
Selanjutnya, mari kita bahas hubungan persamaan garis singgung dengan fungsi naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu x positif sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik singgungnya. Pada gambar di atas, misalkan besar masing-masing sudut adalah 00 < α1 < 900, 00 < α2 < 900, 00 < α3 < 900, 00 < α4 < 900 sehingga nilai gradien atau tangen sudut setiap garis singgung ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 11.1 Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turun
PGS Sudut Nilai tangen Menyinggung di
PGS 1 α1 m = tan (α1) = f '(x) > 0 Fungsi Naik PGS 2 3600 - α2 m = tan(3600 – α2) = f '(x) < 0 Fungsi Turun PGS 3 α3 m = tan (α3) = f '(x) > 0 Fungsi Naik PGS 4 3600 - α4 m = tan(3600 – α4) = f '(x) < 0 Fungsi Turun
Coba kamu amati Gambar 11.9 dan Tabel 11.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi naik/turun. Coba kamu perhatikan kesimpulan berikut:
• Jika garis singgung menyinggung di graik fungsi naik maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0.
• Jika garis singgung menyinggung di graik fungsi turun maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0.
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa fungsi f(x) yang dapat diturunkan pada interval I, akan mempunyai kondisi sebagai berikut:
Tabel 11.2 Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turun
No. Nilai turunan pertama Keterangan
1 f ' (x) > 0 Fungsi selalu naik 2 f ' (x) < 0 Fungsi selalu turun 3 f ' (x) ≥ 0 Fungsi tidak pernah turun 4 f ' (x) ≤ 0 Fungsi tidak pernah naik
Sifat 11.2
Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈I maka 1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I. 3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I. 4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
Konsep di atas dapat digunakan jika kita sudah memiliki fungsi yang akan dianalisis. Tetapi banyak kasus sehari-hari harus dimodelkan terlebih dahulu sebelum dianalisis. Perhatikan kembali permasalahan berikut!
Masalah-11.5
Tiga orang anak sedang berlomba melempar buah mangga di ketinggian 10 meter. Mereka berbaris menghadap pohon mangga sejauh 5 meter. Anak pertama akan melempar buah mangga tersebut kemudian akan dilanjutkan dengan anak kedua bila tidak mengenai sasaran. Lintasan lemparan setiap anak membentuk kurva parabola. Lemparan anak pertama mencapai ketinggian 9 meter dan batu jatuh 12 meter dari mereka. Lemparan anak kedua melintas di atas sasaran setinggi 5 meter. Anak ketiga berhasil mengenai sasaran. Tentu saja pemenangnya anak ketiga, bukan?
Permasalahan.
Dapatkah kamu mensketsa lintasan lemparan ketiga anak tersebut? Dapatkah kamu membuat model matematika lintasan lemparan? Dapatkah kamu menentukan interval jarak agar masing-masing lemparan naik atau turun berdasarkan konsep turunan?
Alternatif Penyelesaian
a. Sketsa Lintasan Lemparan
Permasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius, sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut.
Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3
b. Model Lintasan Lemparan
Kamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat kembali konsep fungsi kuadrat di kelas X Fungsi kuadrat yang melalui titik puncak P(xp, yp) dan titik sembarang P(x,
y) adalah y – yp = a(x – xp)2 sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1, x2
dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(x – x1)(x – x2), dengan xp= x1+x2
2 dan a ≠ 0, a bilangan real. Jadi, model lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah:
Lintasan lemparan anak pertama
Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1(6,9).
y = a(x – 0)(x – 12) ó 9 = a(6 – 0)(6 – 12) óa = –0,25
Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = –0,25x2 + 3x. Lintasan lemparan anak kedua
Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P2(5,15).
y – 15 = a(x – 5)2 ó 0 – 15 = a(0 – 5)2 óa = –0,6
Fungsi lintasan lemparan anak kedua adalah y = –0,6x2 + 6x. Lintasan lemparan anak ketiga
Lintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P3(5,10).
y – 0 = a(x – 5)2 ó 0 – 10 = a(0 – 5)2 óa = –0,4
Fungsi lintasan lemparan anak ketiga adalah y = –0,4x2 + 4x. C. Interval Fungsi Naik/Turun Fungsi Lintasan
Coba kamu amati kembali Gambar 11.11! Secara geometri, jelas kita lihat interval fungsi naik/turun pada masing-masing lintasan, seperti pada tabel berikut:
Tabel 11.3 Fungsi dan interval naik/turun fungsi lemparan anak 1, 2, dan 3 Lintasan
ke Fungsi Interval NaikSecara GeometriInterval Turun
1 y = –0,25x2 + 3x 0 < x < 6 6 < x < 12 2 y = –0,6x2 + 6x 0 < x < 5 5 < x < 10 3 y = –0,4x2 + 4x 0 < x < 5 5 < x < 10
Mari kita tunjukkan kembali interval fungsi naik/turun dengan menggunakan konsep turunan yang telah kita pelajari sebelumnya.
Fungsi naik/turun pada lintasan lemparan anak 1
Fungsi yang telah diperoleh adalah y = –0,25x2 + 3x sehingga y = –0,5x2 + 3x. Jadi, fungsi akan naik: y = –0,5x2 + 3x⇔x < 6
Menurut ilustrasi, batu dilempar dari posisi awal O(0,0) dan jatuh pada posisi akhir Q(12,0) sehingga lintasan lemparan akan naik pada 0 < x < 6 dan turun pada 6 < x < 12.
• Bagaimana menunjukkan interval fungsi naik/turun dengan konsep turunan pada fungsi lintasan lemparan anak 2 dan anak 3 diserahkan kepadamu.
Contoh 11.13
Tentukanlah interval fungsi naik/turun fungsi f(x) = x4 – 2x2
Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:
f '(x) = 4x3 – 4x > 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) > 0 ⇔x = 0 atau x = 1 atau x = –1
Dengan menggunakan interval.
- + - +
1
1
− 0
Interval Turun Interval Turun
Interval Naik Interval Naik
Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval 1 –1 < x < 0 atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 – 2x2 tersebut.
Contoh 11.14
Tentukanlah interval fungsi naik f x( )= x2−x
Alternatif Penyelesaian
Masih ingatkah kamu syarat numerus P x( )adalah P(x) ≥ 0. Jadi, syarat numerus
f x( )= x2−xadalah x2 – x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan.
x2 – x ≥ 0 ⇔x(x – 1) ≥ 0 ⇔x = 0atau x = 1 Dengan menggunakan interval.
+ -
+
1 0
Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x≤ 0 atau x≥ 1 Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jikaf '(x) > 0 sehingga:
f x x x x '( )= − − > 2 1 2 0 2 ⇔ 2x – 1 > 0 karena x2 x 0 − > dan x ≠ 0, x ≠ 1 ⇔ x>1 2 Dengan menggunakan interval.
1 0
2 1
naik
Perhatikanlah graik fungsi f x( )= x2−x
berikut!
Gambar 11.13 Fungsi naik/turun f x( )= x2−x
• Coba kamu lakukan dengan cara yang sama untuk mencari interval fungsi turun! Jika kamu benar mengerjakannya maka fungsi turun pada interval x < 0.
