iv) Jika , yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke , sehingga . Jadi setiap unsur mempunya invers terhadap komposisi.
Dari i) sampai iv) dapat disimpulkan bahwa dengan komposisi fungsi adalah suatu grup.
2.14 Automorfisme Suatu Graf dengan Pendekatan Teori Grup Definisi 2.14.1
Sebuah automorfisme dari sebuah graf merupakan isomorfisme graf tersebut kepada dirinya sendiri (Morris, 2000).
Ketika semua hasil automorfisme graf tersebut dikumpulkan, akan terbentuk sebuah grup:
Definisi 2.14.2
Himpunan dari seluruh automorfisme sebuah graf membentuk sebuah grup, yang disimbolkan atau dibaca grup automorfisme (Morris, 2000).
Dengan kata lain automorfisme graf merupakan suatu permutasi dari himpunan titik-titik Setiap grup merupakan grup automorfisme dari beberapa graf. Lebih lanjut, jika grup tersebut memiliki banyak anggota yang terhingga, maka graf yang dimaksud adalah graf yang terhingga juga (Tabar, 2007).
Contoh 2.14.1:
Misal diberikan graf berikut ini:
Gambar 2.14.1 Graf G
Graf memiliki 2 simpul berderajat 2 yaitu simpul 1 dan 4 serta 2 simpul berderajat 3 yaitu simpul 2 dan 3. Dengan merujuk pada automorfisme simpul yang mengharuskan agar pemetaan terjadi pada simpul yang berderajat sama, maka kedua pasang simpul tersebut dapat saling memetakan. Dalam pengertian permutasi, simpul 1 dan 4 dapat saling bertukar. Begitu pula halnya dengan simpul 2 dan 3.
Dengan demikian automorfisme yang mungkin dari graf di atas adalah :
1. identitas
2.
3.
4.
Himpunan adalah himpunan yang di dalamnya berlaku operasi biner (dilambangkan ) merupakan suatu grup jika memenuhi aksioma sebagai berikut.
i. Operasi bersifat tertutup ii. Operasi bersifat asosiatif iii. memuat elemen identitas
iv. Setiap unsur mempunyai invers di dalam pula.
1 2
Berikut ini pembuktian dari keempat aksioma tersebut. Bukti:
i. Berdasarkan definisi permutasi, misalkan masing-masing anggota adalah pemetaan yang bijektif, maka sesuai dengan sifat 2.8.6 bagian 1 dan 2, komposisi masing-masing anggota tersebut juga merupakan pemetaan yang bijektif. Ini berarti komposisi tertutup. ii. Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat asosiatif, maka
dengan komposisi juga memenuhi sifat asosiatif. iii. Unsur identitas dari adalah pemetaan identitas
iv. Jika , yaitu suatu pemetaan bijektif dari ke , maka juga merupakan pemetaan bijektif dari ke , sehingga . Jadi setiap unsur mempunyai invers terhadap komposisi.
Graf dan dikatakan isomorfis jika terdapat pemetaan yang mengawetkan himpunan simpul kepada dan himpunan jalur kepada sedemikian sehingga :
dan
di mana dan serta dan (Diestel, 2005).
Dalam hal ini dan .
Jika isomorfisme tersebut berlaku pada ke dirinya sendiri, disebut automorfisme (Damayanti, 2011).
Dengan demikian, dapat disusun defenisi lain untuk automorfisme graf yaitu sebagai berikut.
Defenisi 2.14.3
Diberikan . Diberikan sebagai pemetaan yang bijektif dan homomorfik. dikatakan automorfisme jika untuk setiap (Diestel, 2005).
Diberikan dan Fungsi yang merupakan automorfisme yang menyebabkan
Misalkan terdapat dan . Menurut definisi 2.14.3, dalam suatu automorfisme graf berlaku kesamaan Kesamaan ini ditunjukkan dengan pembuktian kontradiksi yaitu sebagai berikut.
Misalkan diberikan pernyataan , sebagai berikut. : dan
Selanjutnya negasi dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut. : dan
Akan dibuktikan
Dalam pembuktian kontradiksi, untuk membuktikan benar, harus dibuktikan bahwa salah.
Pembuktian:
merupakan fungsi yang tertutup. Oleh sebab itu, hasil dari merupakan anggota himpunan . Dengan kata lain, . Hal ini mengakibatkan kontradiksi, sebab kesamaan pada persamaan mustahil terjadi. Dengan demikian terbukti bahwa salah.
Diberikan sebuah himpunan dari semua automorfisme graf . Dengan jelas identitas permutasi merupakan automorfisme dari graf yang disimbolkan dengan . Jika adalah automorfisme dari , maka berlaku pula sebagai inversnya dan jika adalah automorfisme kedua dari , maka perkalian adalah automorfisme (Jajcay, 2000).
Selanjutnya himpunan semua automorfisme membentuk sebuah grup, yang disebut grup automorfisme dan dinotasikan dengan . Grup simetris
adalah grup dari semua permutasi himpunan dan automorfisme grup
adalah subrup dari (Bondy dan Murty, 2008).
Bayangan simpul dari sebuah di bawah operasi permutasi
dinotasikan dengan . Jika dan adalah subgraf dari ,
maka dapat didefinisikan adalah graf dengan:
Dan
Sepintas terlihat bahwa isomorfis dengan dan juga merupakan subgraf dari (Godsil dan Royle, 2001).
Derajat dari simpul adalah jumlah simpul yang bertetangga dengan , dan nilai maksimum dan nilai minimum dari graf adalah nilai maksimum dan nilai minimum sembarang simpul di .
Lemma 14.1.1
Jika adalah simpul dari graf dan adalah sebuah automorfisme dari , maka simpul memiliki derajat yang sama dengan (Godsil dan Royle, 2001). Bukti:
Diberikan yang menotasikan subgraf dari graf . Terdapat simpul di yang berderajat tertentu. Maka
Dengan demikian dan adalah subgraf yang saling isomorfis. Sebagai akibatnya, keduanya memiliki jumlah simpul yang sama. Dengan demikian dan memiliki derajat yang sama.
Ini menunjukkan bahwa automorfisme grup dari sebuah graf mempermutasikan nilai yang setara di antara anggota grup tersebut. Sebuah graf yang setiap simpulnya memiliki nilai yang sama disebut dengan nilai standar atau -regular.
Jarak di antara 2 simpul dan dalam graf adalah panjang dari lintasan terpendek dari ke . Jika graf terdefinisi, digunakan notasi
. Untuk menjelaskan hubungan antara dan terhadap dan
berdasarkan lemma 14.1.1 dapat disusun sebuah pernyataan dalam lemma 14.1.2 berikut ini.
Lemma 14.1.2
Jika dan adalah simpul dari dan , maka Lemma ini benar karena merupakan pernyataan yang diturunkan dari lemma 1.3.1 yang sudah terbukti benar (Godsil dan Royle, 2001)
Lemma 14.1.3
Grup automorfisme dari sebuah graf setara dengan grup automorfisme dari komplemen graf tersebut.
Bukti :
Komplemen graf (disimbolkan ) memiliki himpunan simpul yang sama dengan . Namun dalam hal ini simpul dan bertetangga di jika dan hanya jika keduanya tidak bertetangga di (Godsil dan Royle, 2001). Hal ini menyebabkan grup automorfisme graf setara dengan grup automorfisme graf . Kesetaraan keduanya bukan berarti memiliki anggota yang sama, melainkan anggota yang saling berkomplemen dengan jumlah yang sama.
2.15 Graf Simetris sebagai Syarat untuk Membuat Automorfisme Grup