Pada tabel di atas (halaman 28) terdapat dua macam batas kelas, yaitu batas kelas bawah dan batas kelas atas. Untuk kelas 30–38, batas kelas bawah adalah 30 dan batas kelas atasnya 38.
c. Tepi Kelas
Tepi kelas juga terdapat dua macam, yaitu tepi kelas bawah dan tepi kelas atas. Adapun untuk memperolehnya digunakan aturan sebagai berikut.
Tepi kelas bawah = batas kelas bawah – 0,5 Tepi kelas atas = batas kelas atas + 0,5
d. Panjang Kelas
Panjang kelas masing-masing kelas pada suatu tabel distribusi frekuensi selalu sama.
Panjang kelas dapat diperoleh dengan cara berikut. Panjang kelas = tepi kelas atas – tepi kelas bawah
e. Titik Tengah (Nilai Tengah) Kelas
Nilai ini diasumsikan sebagai nilai yang mewakili kelas yang bersangkutan. Nilainya ditentukan dengan cara berikut.
Titik tengah = 2 1
(batas kelas bawah + batas kelas atas) Pada tabel di atas (halaman 28) nilai tengah untuk kelas 30–38 adalah
2 1
(30 + 38) = 34.
Di samping istilah-istilah di atas, untuk menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok, kalian perlu memahami rentang (jangkauan), aturan Sturgess, dan penentuan panjang kelas menurut Otman Sturgess.
Rentang atau jangkauan dirumuskan dengan JD = xmaks – xmin. Hal ini telah kita pelajari sebelumnya. Adapun aturan Sturgess berkaitan dengan penentuan banyak kelas, yaitu sebagai berikut. Jika banyak kelas k dan ukuran data n, menurut aturan Sturgess
Setelah nilai k diperoleh, panjang kelas dapat ditentukan dengan panjang kelas =
J
k
D
Seluruh data harus tercakup dalam tabel distribusi berkelompok yang akan dibuat. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Perhatikan kembali data nilai 18 siswa di atas. Dengan menggunakan aturan Sturgess, buatlah tabel distribusi berkelompoknya.
Jawab:
Dari data yang diberikan, diketahui n = 20, xmin = 30, dan xmaks = 80. Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut.
Jangkauan JD = xmaks – xmin = 80 – 30 = 50 k = 1 + 3,3 log 18 = 1 + 3,3 × 1,255 = 5,14 5 6 (Mengapa 5,14 tidak diarahkan ke nilai 5?) Kemudian, tentukan panjang kelasnya.
Panjang kelas = 8,33 9. 6 50 5 = = k JD Kelas Frekuensi 30–38 2 39–47 3 48–56 4 57–65 3 66–74 1 75–83 5 Jumlah 18
Dengan demikian, kita dapat membuat kelas pertama 30–38, kelas kedua 39–47, dan seterusnya.
Oleh karena itu, tabel distribusi frekuensi berkelompok yang dapat dibuat menurut aturan Sturgess adalah sebagai berikut.
Carilah data berat badan teman-temanmu kelas XI IPS. Kemudian, buatlah tabel distribusi frekuensinya dengan langkah-langkah tersebut.
Tugas:
Investigasi • Kerjakan di buku tugasMari
Berdiskusi
InkuiriMenurut kalian, apakah aturan Sturgess selalu dapat digunakan? Jika ya, berikan alasanmu. Namun, jika tidak selalu dapat digunakan, coba kalian tunjukkan satu kasus saja yang menunjukkan tidak berlakunya aturan Sturgess.
3.
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif
Setelah mempelajari tabel distribusi frekuensi berkelompok, kalian diajak untuk memahami distribusi frekuensi kumulatif. Tabel ini ada dua macam, yaitu
a. tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari; b. tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari merupakan tabel yang mencakup daftar jumlah frekuensi semua nilai yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada setiap kelas.
Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari merupakan tabel yang mencakup jumlah frekuensi semua nilai yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas. Perhatikan kembali tabel distribusi frekuensi berkelompok yang telah diuraikan di depan yang ditampilkan kembali dengan penambahan beberapa kolom seperti berikut.
Perhatikan kembali tabel di atas. Pada tabel di atas dapat diterangkan sebagai berikut.
Untuk kelas 30–38, frekuensi kumulatif kurang darinya adalah 2. Artinya, terdapat 2 nilai data yang bernilai kurang dari atau sama dengan tepi atas kelas ini, yaitu 38,5. Untuk kelas 39–47, frekuensi kumulatif kurang darinya adalah 5. Artinya, terdapat 5 nilai data yang bernilai kurang dari atau sama dengan tepi atas kelas ini, yaitu 47,5. Demikian seterusnya, sedangkan frekuensi kumulatif lebih dari untuk kelas 30–38 adalah 18. Artinya, terdapat 18 nilai data yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas ini, yaitu 29,5. Untuk kelas 39–47, frekuensi kumulatif lebih darinya adalah 15. Artinya, terdapat 15 nilai data yang bernilai lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas ini, yaitu 38,5. Demikian seterusnya.
Di samping frekuensi kumulatif seperti di atas, kadang- kadang kita perlu mendapatkan nilai frekuensi kumulatif relatif. Nilai ini dapat ditentukan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif relatif = 100%
data jumlah
kumulatif frekuensi
×
Kelas Frekuensi Fekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif
Kurang dari Lebih dari
30–38 2 2 18 39–47 3 2 + 3 = 5 18 – 3 = 15 48–56 4 5 + 4 = 9 15 – 4 = 11 57–65 3 9 + 3 =12 11 – 3 = 8 66–74 1 12 + 1 = 13 8 – 1 = 7 75–83 5 13 + 5 = 18 7 – 5 = 2
Contoh:
D. Menggambar Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif
Penyajian data dengan menggunakan histogram memudahkan kita untuk mengetahui distribusi frekuensi, pemusatan, dan penyebaran data itu. Histogram berupa susunan persegi panjang yang saling berimpit pada salah satu sisinya. Untuk data berkelompok, lebar persegi panjang merupakan panjang kelas dan tingginya adalah frekuensinya. Pada histogram, jika titik-titik tengah dari bagian sisi atas persegi panjang dihubungkan, diperoleh suatu garis (kurva) tertentu. Kurva ini dinamakan poligon frekuensi. Perhatikan gambar histogram dan poligon frekuensinya berikut.
Gambar di samping menyajikan histogram data nilai Matematika dari 33 siswa dengan rincian sebagai berikut:
8 siswa mendapat nilai 6; 15 siswa mendapat nilai 7; 7 siswa mendapat nilai 8; 3 siswa mendapat nilai 9.
Mari
Berdiskusi
InovasiBagaimanakah caranya menentukan nilai kuartil bawah, tengah, dan atas melalui frekuensi kumulatif relatif? Jelaskan.
Gambar 1.11
Garis yang menghubungkan frekuensi dari nilai-nilai Matematika itu dinamakan poligon frekuensi.
Setelah kalian memahami poligon frekuensi, kalian akan diajak untuk mengenali ogif (ogive). Jika poligon frekuensi merupakan garis atau kurva, yang menghubungkan frekuensi dari setiap titik atau kelompok titik (kelas), ogif menghubungkan titik- titik dari frekuensi kumulatifnya. Jadi, ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Ogif yang mempunyai kecenderungan gradien (kemiringan) garis singgung positif disebut ogif positif, sedangkan yang mempunyai gradien garis singgung negatif disebut ogif negatif. Untuk jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Gambarlah ogif positif dan ogif negatif dari data yang tersaji pada tabel di samping.
Nilai Ulangan Frekuensi
30–40 3 41–51 6 52–62 8 63–73 12 74–84 10 85–95 6
Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut. Ada 45 siswa yang nilainya lebih dari 29,5. Ada 42 siswa yang nilainya lebih dari 40,5. Ada 36 siswa yang nilainya lebih dari 51,5. Ada 28 siswa yang nilainya lebih dari 62,5. Ada 16 siswa yang nilainya lebih dari 73,5. Ada 6 siswa yang nilainya lebih dari 84,5.
Jika dinyatakan dalam tabel, hasilnya adalah sebagai berikut.
Nilai Ulangan Frekuensi Kumulatif
Kurang dari ) 40,5 3 ) 51,5 9 ) 62,5 17 ) 73,5 29 ) 84,5 39 ) 95,5 45 Jawab:
Untuk data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok, terlebih dahulu tentukan tepi bawah (untuk membuat ogif negatif) dan tepi atas (untuk menentukan ogif positif). Dari data di atas, jika dijelaskan dengan tepi kelas (tepi kelas atas atau bawah) adalah sebagai berikut.
Ada 3 siswa yang nilainya kurang dari 40,5. Ada 9 siswa yang nilainya kurang dari 51,5. Ada 17 siswa yang nilainya kurang dari 62,5. Ada 29 siswa yang nilainya kurang dari 73,5. Ada 39 siswa yang nilainya kurang dari 84,5. Ada 45 siswa yang nilainya kurang dari 95,5.
Jika dinyatakan dengan tabel, hasilnya adalah sebagai berikut.
Nilai Ulangan Frekuensi Kumulatif
Lebih dari * 29,5 45 * 40,5 42 * 51,5 36 * 62,5 28 * 73,5 16 * 84,5 6
Tabel yang berkaitan dengan frekuensi kumulatif kurang dari jika digambarkan dengan diagram garis, diperoleh ogif positif dan tabel yang berkaitan dengan frekuensi kumulatif lebih dari akan diperoleh ogif negatif. Gambar kedua ogif tersebut adalah sebagai berikut.
O 29,5 40,5 51,5 62,5 73,5 84,5 95,5 10 20 30 40 50 N i l a i U l a n g a n
Frekuensi Kumulatif Ogif
negatif Ogif positif
Gambar 1.12
Dari tugas yang telah kalian lakukan (pada halaman 24), buatlah tabel distribusi fre- kuensi kumulatif, frekuensi kumulatif relatif, histogram, poligon, dan ogifnya.