Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan dan DeretIV

B. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Besar simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut.

Bulan Ke-1 Bulan Ke-2 Bulan Ke-3 Bulan Ke-4 ...

20.000 20.500 21.000 21.500 ...

Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang

selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ... c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmetika. Mari kita tinjau satu per satu.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

b. 2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U_n – U_{n – 1}.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U₁) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁ = a U₂ = U₁ + b = a + b U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b M U_n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

U_n = a + (n – 1)b Keterangan: U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

Contoh 2:

Contoh 1:

_{Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....}

Jawab: –3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan

U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga 40 = –2 + (n – 1)3

‹ 40 = 3n – 5 ‹ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Problem

Solving

^{Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-}_{turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku}

ke-20 barisan tersebut. Jawab:

Diketahui U₁₀ = 7 dan U₁₄ = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika U_n = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu U₁₀ = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ... (1)

U₁₄ = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ... (2) Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a + 9b = 7 a + 13b = 15 –––––––––– – –4b = –6 ‹ b = 2 Dengan menyubstitusikan b = 2 ke persamaan (1), diperoleh a + 9(2) = 7 ‹ a = –11

Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah U_n = –11 + (n – 1)2. Jadi, suku ke-20 adalah U₂₀ = –11 + (20 – 1)2 = 27.

Soal Kompetensi 2

• Kerjakan di buku tugas

1. Pada barisan bilangan berikut, mana yang merupakan barisan aritmetika? Berikan alasan.

a. 2, 4, 6, 8, 10, ... b. –5, 10, –15, 20, ... c. –¹ 2^{, 3, – 12, 28, ...} d. ¹ 2 7 6 11 6 5 2 , , , ,... e. _{2 1,} + 2_,2 + 2_,3+ 2 ..._, f. a, ab, ab2, ab3, ... g. a2, a2 + k3, a2 + 2k3, a2 + 3k2, ... h. <¹, 0,¹ 3 2 3^{, ...} 3 ^,

2. Carilah suku-suku yang diminta pada barisan berikut ini. a. Suku ke-11 dari barisan –2, 3, 8, ...

b. Suku ke-29 dari barisan 20, 17, 14, 11, ... c. Suku ke-21 dari barisan ¹_,⁴

5 ¹ 2 5^{, 2,...} 5 ^,

d. Suku ke-n dari barisan 6, 15, 24, ...

3. Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada barisan aritmetika berikut. a. a = 8, b = 5; U₁₀₁ = ... b. a = 3, U₁₅ = 143; b = ... c. b =15, U₂₁ = 295; a = ... d. a = 12, b = ¹ 2 ^{, Un =} 3 16^{; n = ...} e. U₁₀ = 34, U₁₇ = 62; a = ... f. U₅ = 3, U₁₂ = –18, a = ...; b = ... g. U₄ = 4, U₈ – U₃ = 15, a = ...; b = ... h. 3x + 1, 5x – 3, 6x – 4, ...; x = ... i. 4x + 6, 2x + 7, x + 10, ...; x = ...

4. Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisan aritmetika.

a. Empat bilangan di antara 10 dan 25 b. Enam bilangan di antara –6 dan 29 c. Tiga bilangan di antara 67 dan 7 d. Lima bilangan di antara 2 dan 64

Jendela Informasi

Informasi lebih lanjut

5. Misalkan a₁, a₂, dan a₃ merupakan barisan aritmetika. Buktikan bahwa a₂ = ^a1 ^a3

2 +

.

6. Diketahui U_n = suku ke-n barisan aritmetika sehingga U_n–1 =

U_n – b. Nyatakan U_n–2, ..., U₃, U₂, U₁, dalam U_n, b, dan n. 7. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 dan

suku ke-9 adalah 43. Tentukan suku ke-35 dan suku ke-100. 8. Penomoran kursi paling pinggir di sebuah gedung bioskop

membentuk barisan aritmetika. Jika baris ke-4 bernomor 37 dan baris ke-10 bernomor 109, terletak di baris ke berapakah nomor 313?

9. Jika suku kelima dari barisan aritmetika adalah 24 3 dan suku kedua belas barisan aritmetika adalah 25 3 . Tentukan suku pertama, beda, dan suku kedua puluh satu barisan itu. 10. Diketahui suatu sistem persamaan linear berikut.

2 9 2 28 x y x y + = < < =< ¨ © ª

Misalkan x₀ dan y₀ merupakan penyelesaian dari persamaan linear tersebut. Nilai x₀ merupakan suku kedua dari barisan tersebut dan y₀ merupakan suku kelima barisan tersebut. Tentukan suku ke-7 dan ke-15 dari barisan itu.

Pola Kuadrat dari Bilangan 9

Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9 memiliki pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanya tersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas n digit angka 9 (n bilangan bulat kurang dari 10) maka kuadrat bilangan tersebut adalah bilangan yang tersusun dari angka 9 sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1, dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.

92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 999992 = 9999800001 9999992 = 999998000001

Setelah memerhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasil dari

a. 99999992

b. 999999992

2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah

n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari

suatu barisan bilangan dinotasikan S_n. Dengan demikian, S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S_n, perhatikan contoh berikut.

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret

aritmetika, dengan U_n = a + (n – 1)b.

Contoh 1:

_{Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan}

jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut. S₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 S₅ = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2S₅ = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2S₅ = 5 × 16 S₅ = 2 16 5× ‹ S₅ = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40. +

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk S_n sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U_n = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U₁ = a = a

U₂ = a + b = U_n – (a – 2)b U₃ = a + 2b = U_n – (n – 3)b

M M M

Dengan demikian, diperoleh

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U_n – (n – 2) b) + (U_n – (n – 3) b) + ... + U_n... (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U_n–1 = U_n – b

U_n–2 = U_n–1 – b = U_n – 2b

U_n–3 = U_n–2 – b = U_n – 3b

Demikian seterusnya sehingga S_n dapat dituliskan

S_n = a + (U_n – (n – 1)b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n ... (2) Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh

S_n = a + (U_n – (n – 2)b) + (U_n – (n – 3)b) + ... + U_n S_n = U_n + (U_n – b) + (U_n – 2b) + ... + a 2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + ... + (a + U_n)

n suku Dengan demikian, 2S_n = n(a + U_n)

‹ S_n = 2 1 n(a + U_n) ‹ S_n = 2 1 n(a + (a + (n – 1)b)) ‹ S_n = 2 1 n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah +

Contoh 2:

_{Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....}

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S₁₀₀ = 2 1 × 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100. S_n = 2 1 n(a + U_n) atau S_n = 2 1 n [2a + (n – 1)b] Keterangan:

S_n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U_n = suku ke-n

n = banyak suku

Kuis

• Kerjakan di buku tugas

Sebuah deret aritmetika mempunyai suku ketiga –11 dan jumlah dua puluh suku yang pertama 230. Jumlah sepuluh suku pertama deret itu adalah ....

a. –40 d. –25 b. –35 e. –20 c. –30