Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku ij= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
6 Ini berarti 6j= G , berlaku j= F: .
7 Ini berarti j= G , berlaku j= F:
Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator
Temporal
Bukti (:G F: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= :G , 6j= G
2 Kita memiliki j= G , untuk setiap i 1 berlaku i j= .
3 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga tidak berlaku ij= .
4 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga berlaku i6j= .
5 Ini berarti 6j= G , terdapat i 1 sehingga ij= : .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (:X X: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 1! sembarang lintasan pada M.
1 j= :X , 6j= X .
2 Kita memiliki j= X , berlaku 2j= .
3 Ini berarti 6j= X , berlaku 26j= .
4 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= : .
5 Ini berarti 6j= X , berlaku 2j= X: .
Bukti (: ( U ) : R: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= : ( U ) , 6j= U .
2 Kita memiliki j= U , berlaku 9i
ij=
^8j (1 j i 1) ! jj= .
3 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
6j=
_9j (1 j i 1) ^ j6j= .
4 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
j= :
_9j (1 j i 1) ^ jj= : .
5 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i6j= :
Bukti (: ( U ) : R: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= : ( U ) , 6j= U .
2 Kita memiliki j= U , berlaku 9i
ij=
^8j (1 j i 1) ! jj= .
3 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
6j=
_9j (1 j i 1) ^ j6j= .
4 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
j= :
_9j (1 j i 1) ^ jj= : .
5 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i6j= :
Bukti (: ( U ) : R: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= : ( U ) , 6j= U .
2 Kita memiliki j= U , berlaku 9i
ij=
^8j (1 j i 1) ! jj= .
3 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
6j=
_9j (1 j i 1) ^ j6j= .
4 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
j= :
_9j (1 j i 1) ^ jj= : .
5 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i6j= :
Bukti (: ( U ) : R: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= : ( U ) , 6j= U .
2 Kita memiliki j= U , berlaku 9i
ij=
^8j (1 j i 1) ! jj= .
3 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
6j=
_9j (1 j i 1) ^ j6j= .
4 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij= :
_9j (1 j i 1) ^ jj= : .
5 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i6j= :
Bukti (: ( U ) : R: )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M.
1 j= : ( U ) , 6j= U .
2 Kita memiliki j= U , berlaku 9i
ij=
^8j (1 j i 1) ! jj= .
3 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i
6j=
_9j (1 j i 1) ^ j6j= .
4 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij= :
_9j (1 j i 1) ^ jj= : .
5 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
i6j= :
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i i
j= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
i j= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan j= : R: .
4 Jadi i 6j= U , j= : R: atau j= : ( U ) setara dengan dengan j= : R: .
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
i j=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i i
j= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
i j= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan j= : R: .
4 Jadi i 6j= U , j= : R: atau j= : ( U ) setara dengan dengan j= : R: .
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
i j=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i ij= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
i j= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan j= : R: .
4 Jadi i 6j= U , j= : R: atau j= : ( U ) setara dengan dengan j= : R: .
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
i j=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i ij= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
i j= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan j= : R: .
4 Jadi i 6j= U , j= : R: atau j= : ( U ) setara dengan dengan j= : R: .
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
i j=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i ij= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
ij= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan
4 Jadi i 6j= U , j= : R: atau j= : ( U ) setara dengan dengan j= : R: .
1 Ini berarti 6j= U , berlaku 8i
ij=
! 9j (1 j i 1) ^ j j= : .
2 Formula logika predikat 8i
i j=
! 9j (1 j i 1) ^ jj= : bernilai benar bila:
I i
j= selalu salah, ini artinya i
j= : untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi 8i ij= :
I i
j= dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1sehingga j
j= : . Pada kondisi ini kita juga harus memiliki jj= : dan secara umum kj= : bila 1 k i 1(argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh 9j jj= : ^ 8k ((1 k j) ! j= : ) .
3 Kondisi di atas dapat ditulis ulang sebagai: 9i
ij= :
^8j ((1 j i) ! j= : ) _ 8i
ij= : , yang setara dengan j= : R: .
Bukti (F ( _ ) F _ F )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M. j= F ( _ ) , 9i ij= _ ij= (de…nisi operator F) , 9i i j= _ 9i ij= (ekuivalensi 9x ( _ ) 9x _ 9x ) , j= F _ F . (de…nisi operator F)
Bukti (F ( _ ) F _ F )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M. j= F ( _ ) , 9i ij= _ ij= (de…nisi operator F) , 9i i j= _ 9i ij= (ekuivalensi 9x ( _ ) 9x _ 9x ) , j= F _ F . (de…nisi operator F)
Bukti (F ( _ ) F _ F )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M. j= F ( _ ) , 9i ij= _ ij= (de…nisi operator F) , 9i i j= _ 9i ij= (ekuivalensi 9x ( _ ) 9x _ 9x ) , j= F _ F . (de…nisi operator F)
Bukti (F ( _ ) F _ F )
Misalkan M adalah sembarang model dan = 1! 2! sembarang lintasan pada M. j= F ( _ ) , 9i ij= _ ij= (de…nisi operator F) , 9i i j= _ 9i ij= (ekuivalensi 9x ( _ ) 9x _ 9x ) , j= F _ F . (de…nisi operator F)