Bersisian (Incident)

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1.4 Bersisian (Incident)

V1 e1 V2

Gambar 2.1. graf sederhana Definisi 2.1.3. Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul pada graf dikatakan bertetangga bila kedua simpul tersebut terhubung langsung. Atau dapat kita sebut, v_j bertetangga dengan v_k pada graf Gjika (v_j,v_k) adalah sisi pada sebuah graf G.

Definisi 2.1.4. Bersisian (Incident)

Untuk sembarang sisi e = ( v_j, v_k ) dikatakan e bersisian dengan simpul v_j, atau e bersisian dengan simpul vk.

Definisi 2.1.5. Simpul Terpencil (Isolated Vertex )

Simpul yang tidak memiliki sisi yang bersisian dengannya atau tidak bertetangga dengan simpul lainnya disebut dengan simpul terpencil.

Definisi 2.1.6. Graf Kosong (Null Graf)

Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (N_n) disebut graf kosong, dimana n adalah jumlah simpul.

1 2

3

4

Gambar 2.2 graf kosong

Definisi 2.1.7 Derajat (Degree)

Derajat dari sebuah vertex vi dalam graf G adalah jumlah edge yang bersisian dengan vi, dengan loop dihitung dua kali. Bila jumlah edge yang bersisian dengan jumlah vertex vi adalah n maka degree dari vi adalah n sehingga d(vi) = n.

Definisi 2.1.8 Subgraf

G‘(V‘, E‘) adalah Subgraf dari G (V, E) bila : V‘ ⊂ V dan E‘ ⊂ E

Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)

2.2 Jenis jenis graph atau jaringan

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf sederhana (Simple Graf)

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. 2. Graf tak-sederhana (Unsimple-Graf)

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graf).

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graf berhingga (Limited Graf)

Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya n berhingga. 2. Graf tak-berhingga (Unlimited Graf)

Graf yang jumlah simpulnya n tidak berhingga banyaknya disebut graf tak berhingga.

Berdasarkan orientasi arah dan bobotnya, maka secara umum graf dibedakan atas 4 jenis: 1. graf berarah dan berbobot

Graf yang tiap busurnya mempunyai arah atau anak panah dan berbobot.

Gambar 2.3 Graf berarah dan berbobot

Gambar 2.3 menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik menujukkan arah ke titik B dan titik C, titik B menunjukkan arah ke titik D dan titik C, dan seterusnya. Bobot antar titik A dan titik B pun telah di ketahui.

2. Graf tidak berarah dan berbobot

Graf tidak berarah dan berbobot : tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot.

Gambar 2.4 Graf tak berarah dan berbobot

Gambar 2.4 menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf terdiri dari tujuh titik yaitu titik A,B,C,D,E,F,G. Titik A tidakmenunjukkan arah ke titik B atau C, namun bobot antara titik A dan titik B telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain.

3. Graf berarah dan tidak berbobot

Graf berarah dan tidak berbobot adalah graf yang pada setiap busurnya mempunyai arah dan tidak mempunyai bobot.

Gambar 2.5 Graf berarah dan tidak berbobot 4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot

Graf tidak berarah dan tidak berbobot adalah graf yang pada setiap busurnya tidak mempunyai arah dan tidak mempunyai bobot.

Gambar 2.6 Graf tidak berarah dan tidak berbobot

Di dalam situasi yang dinamis, seperti pada komputer digital ataupun pada sistem aliran (flow system), konsep graf berarah lebih sering digunakan dibandingkan dengan konsep graf tak berarah.

Suatu graf berarah (Directed Graph, yang dikenal sebagai Digraf) D terdiri dari 2 himpunan : (1). Himp. V, yang elemennya disebut simpul

→ Vertex / point / titik / node

(2). Himp. A, yang merupakan pasangan terurut dari simpul-simpul, disebut ruas berarah

→ Arc / arkus

Sehingga sebuah digraf dinotasikan sebagai D ( V, A )

Contoh :

Sebuah graf berarah D(V,A), dengan : 1. V = { 1, 2, 3, 4 } 2. A = { (1,4), (2,1), (2,1), (4,2), (4,3), (2,3), (2,2) } 4 3 2 1

Arc (2,2) disebut gelung (self-loop), sedangkan arc (2,2) muncul 2 kali, disebut arc sejajar atau arc berganda.

Apabila arc suatu graf berarah mempunyai suatu bobot, graf berarah tersebut dinamakan suatu jaringan atau network.

Beberapa Pengertian dalam graf berarah :

• Derajat ke luar (out degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang mulai / keluar dari simpul tersebut.

• Derajat ke dalam (in degree) suatu simpul adalah banyaknya arc yang berakhir / masuk ke simpul tersebut.

• Simpul berderajat ke dalam = 0 disebut sumber (source), sedangkan simpul berderajat ke luar = 0 disebut muara (sink).

• Pengertian Walk, Trail, Path (Jalur) dan Sirkuit (Cycle) berlaku pula pada graf berarah, dimana harus sesuai dengan arah arc. Kalau tidak sesuai dengan arah arc-nya, maka disebut sebagai semi walk, semi path atau semi trail.

Pada graf berarah terdapat 3 pengertian keterhubungan, yakni :

• Terhubung lemah, jika terdapat suatu semi path antara setiap 2 simpul dari D.

• Terhubung unilateral, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v atau dari v ke u.

• Terhubung kuat, jika antara setiap 2 simpul u dan v dari D, terdapat jalur dari u ke v dan dari v ke u.

(a) (b) (c)

Gambar 2.7 (a)Terhubung lemah,(b)terhubung unilateral (c) Terhubung kuat.

A _B C A _B C A _B C

2.2.1 lintasan dan sirkuit

Definisi 1

Suatu lintasan dari simpul i ke j adalah sebarisan busur-busur dan simpul-simpul yang dinyatakan dengan {I,(i,p), p, (p,q), q, (q,)…..(z,j),j} atau dengan i p – q – r - …. – z – j.

Contoh :

Gambar 2.8. Contoh Lintasan

Lintasan pada gambar 2.8. dari simpul 1 ke simpul 8 adalah : 1, (1,3), 3 (3,6), 6, (6,8), 8 atau 1 – 3 – 6 – 8

1, (1,5), 5, (5,4), 4, (4,8), 8 atau 1 – 5 – 4 – 8

Definisi 2

Suatu putaran adalah sebarisan busur-busur dan simpul-simpul dimana simpul awal dan simpul akhir setiap busur berimpit, dinyatakan dengan

i, (i,p), p, (p,q), q, (q,r)..,(z,i),i atau dengan I – p – q – r - ….- z- I

Contoh :

Dari gambar 2.6. yang merupakan putaran dari simpul 4 adalah : 4, (4,5), 5, (5,6), 6, (6,4), 4 atau 4 – 5 – 6 – 4

4, (4,5), 5, (5,3), 3, (3,6), 6, (6,4) atau 4 – 5 – 3 – 6 – 4

Defenisi 3

Suatu sirkuit merupakan sebarisan simpul dari i ke j yang simpul dan busurnya berhubungan tanpa memperhatikan arahnya tetapi simpul i dan j berimpit (simpul kembali ke i). Contoh :

Gambar 2.9. contoh sirkuit

Pada gambar 2.9. merupakan sirkuit dari simpul 3 adalah : 3, (3,5), 5, (5,6), 6 (3,6), 3 atau 3 – 5 – 6 – 3

3, (3,6), 6, (6,8), 8 (3,8), 3 atau 3 – 6 – 8 – 3

2.2.2 Jaringan Terhubung dan Jaringan Tak terhubung Definisi 1 Definisi

Drs. Suatu jaringan disebut terhubung jika untuk sembarang simpul i dan simpul j yang berbeda terdapat paling sedikit satu lintasan tertutup yang menghubungkan kedua simpul

tersebut, sedangkan jika tidak terdapat lintasan tertutup yang menghubungkan kedua simpul maka jaringan itu disebut jaringan tak terhubung.

Gambar 2.10 jaringan tak terhubung

Jaringan pada gambar 2.10 merupakan jaringan tak terhubung. Jaringan tersebut mempunyai 2 buah komponen (2 buah jaringan) yang masing-masing merupakan jaringan terhubung.

2.2.3 Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Suatu alur Hamilton adalah suatu alur yang mengunjungi simpul masing masing persisnya sekali, oleh karena itu sirkuit Hamilton merupakan suatu siklus graph yang mengunjungi simpul masing masing tepat sekali (kecuali simpul yang merupakan tujuan awal dan akhir dikunjungi dua kali).

Dalam suatu graph G = (V,E) terdapat suatu pengertian yang oleh Sir William Hamilton yang berkaitan dengan sirkuit. Apabila G suatu graph berarah dan merupakan suatu sirkuit yang melewati setiap simpul-simpul yang ada dan hanya tepat satu kali, maka sirkuit tersebut

1 2 3 4 5 6 7 8

dinamakan sirkuit Hamilton. Jadi berdasarkan hal di atas maka Travelling salesman problem hampir bersamaan dengan sirkuit Hamilton.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

A B C Gambar 2.11

(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

TEOREMA 1.

Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n (≥ 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) ≥ n/2 untuk setiap simpul v di G).

TEOREMA 2.

Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA 3.

Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

1 ₂ 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4

TEOREMA 4.

Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n ≥ 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n ≥ 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

2.3 Representasi matriks dari suatu jaringan

Ada 3 buah representasi matriks dari suatu jaringan, yaitu : a. Matriks Adjasensi

b. Matriks insidensi c. Matriks biaya

2.3.1 Matriks Adjasensi (Adjacency matriks)

Defenisi 1:

Matriks adjasensi X dari suatu jaringan G = {S,B} merupakan matriks {aij,] dimana :

1 jika busur (i,j) mempunyai arah X = [aij] = dari S ke simpul S

0 dalam hal lain

Bila G merupakan jaringan tak berarah, maka setiap busur (i,j) B dapat dinyatkan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks adjasensi X merupakan matriks yang simetris.

Contoh :

Gambar 2.12. Jaringan berarah

Matriks adjasensi dari jaringan berarah dari gambar 2.12. adalah :

1 2 3 4 5 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 X= 3 0 0 1 0 0 4 0 1 1 0 1 5 0 0 0 0 0

Matriks adjasensi X tidak simetris.

2.3.2. Matriks Insidensi Definisi 2 :

+1 jika simpul I ε S merupakan

Simpul awal busur Bjε B

Z = [Z_ij] = -1 jika simpul I ε S merupakan

Simpul akhir busur B_jε B

0 dalam hal lain

Contoh :

Matriks insidensi Z dari gambar 2.5. adalah :

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 1 +1 +1 0 0 0 0 0 Z = [Zij] 2 -1 0 -1 +1 0 0 0 3 0 0 0 -1 -1 0 +1 4 0 -1 +1 0 +1 +1 0 5 0 0 0 0 0 -1 -1

2.3.3. Matriks Biaya (cost)

Defenisi 3 :

Suatu jaringan G =(S,B) adalah suatu bobot yang merupakan pemetaan

W : B R

Atau

(i,j) W (i,j)

Untuk setiap busur (i,j) €R yang selanjutnya sebagai bobot dari busur (I,j) dimana: B adalah himpunan busur

Dalam masalah sebenarnya bobot dari suatu busur dapat berupa biaya (cost), waktu ataupun jarak.

Bila bobot yang diberikan merupakan pernyataan biaya dari setiap busur (i,j) yang berupa biaya pengangkutan barang atau panjang waktu, maka biaya atau panjang waktu minimum dapat dihitung dengan penentuan matriksnya.

Defenisi 4 :

Suatu jaringan G = (S,B), [S] = n, matriks biaya C dari suatu jaringan G ersebut merupakan matriks (Cij) dimana C_ij merupakan biaya (pengangkutan satu satuan barang) pada busur (i,j) atau waktu yang diperlukan dalam menempuh busur (i,j)

i,j € S i = 1,2,3…,n j = 1,2,3,..,n

Pada representasi di atas Cij merupakan bobot W (I,j) matriks biaya C merupakan matriks busursangkar n x n.

Contoh :

Jaringan berarah pada gambar berikut, angka disamping busur (I,j) merupakan biaya (bobot busur) pada Cij.

Maka matriks biayanya adalah : 1 2 3 4 1 - 8 10 - C = [C_ij] 2 - - 4 5 3 - 7 - 2 4 - - - -

Pada jaringan berarah matriks biayanya tidak simetris

2.4 Model Jaringan dari Permasalahan

Travelling salesman problem dapat dinyatakan dengan model jaringan (graph dalam arti khusus). Tempat-tempat yang akan dikunjungi merupakan simpul-simpul, sedangkan jalan-jalan yang dilalui merupakan busur-busur dari jaringan tersebut yang mempunyai bobot dengan satuan panjang (jarak yang ditempuh oleh salesman). Jadi masalah utama terletak pada jalan-jalan yang dilaluinya, yaitu bagaimana agar jarak yang ditempuh oleh wiraniaga tersebut seminimal mungkin. Dari permasalahan di atas dapat disimpulkan bahwa perjalanan itu adalah suatu graph yang berarah dan mempunyai bobot.

BAB 3

PEMECAHAN MASALAH

Pandang G suatu graph dengan himpunan simpul V dan himpunan ruas E. suatu sirkuit Hamilton dari G adalah suatu sirkuit dengan sifat dari suatu simpul sebarang titik awal, dimana semua simpul G dapat dikunjungi tepat satu kali lalu kembali ke tempat semula (simpul awal). Syarat cukup suatu graph mengandung sirkuti Hamilton adalah sebuah graph dengan setiap 2 simpul dari graph tersebut selalu dihubungkan oleh sebuah ruas.

Graph pada gambar berikut merupakan salah satu sirkuit Hamilton

( a ) (b)

Traveling salesman problem adalah suatu problema bahwa seorang sales mengadakan tour dari suatu kota ke kota lain yang masing-masing hanya dilalui satu kali, lalu kembali ke kota asal. Jadi problema utama pada perjalanan keliling ini adalah untuk mencari sirkuit Hamilton dengan panjang yang paling minimal.

Dalam masalah ini penulis mencoba menggunakan algoritma tetangga terdekat, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan kota pertama sebagai kota awal keberangkatan (simpul awal)

2. Ambil kota lain sebagai tujuan perjalanan dengan syarat biaya/jarak dari kota asal yang paling minimal.

3. Ambil kota lain sebagai tujuan perjalanan selanjutnya dengan syarat biaya/jarak paling minimal dari kota kedua dengan syarat belum pernah dikunjungi.

4. Ulangi langkah kedua dan ketiga sampai semua kota (simpul) sudah dilalui. Contoh :

Tabel berikut adalah table jarak antar kota pada graph G (dalam satuan panjang) Ke/Dari 1 2 3 4 5 1 - 3 4 7 6 2 3 - 6 4 5 3 4 6 - 5 2 4 7 4 5 - 2 5 6 5 2 3 -

Table 3.1 Jarak kota pada graf G

Dengan algoritma tetangga terdekat diperoleh :

Langkah 1 : Ambil kota 1 sebagai kota awal (simpul awal). Jarak terpendek minimal adalah kota 2 (yaitu 3 satuan panjang). Maka perjalanan dimulai dari kota 1 ke kota 2. Langkah 2 : Kemudian ambil kota (simpul) yang jaraknya paling dekat, yaitu kota 4 dengan

jarak 4 satuan panjang.

Hasil yang diperoleh menurut langkah di atas diperlihatkan pada gambar berikut:

Gambar 3.3. Jalan yang dilalui

Dengan demikian selengkapnya diperoleh jarak sama dengan 16 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 2 – 4 – 5 – 2 – 1.

Akan tetapi daam mencari hasil yang jaraknya paling minimal harus dilakukan dengan merotasi kota asal (simpul awal), karena setiap pengambilan simpul awal yang berbeda maka hasilnyapun berbeda.

Dalam kenyataan sehari-hari, biaya/jarak antar dua kota yang ditempuh secara langsung ada kemungkinannya lebih besar daripada ditempuh melalui kota lain.

Contoh :

Gambar 3.4. Graph G (3,3)

Pada gambar 3.4. jarak dari kota 1 ke kota 4 sama dengan 8 satuan panjang, sedangkan bila ditempuh melalui kota 2 jaraknya sama dengan 7 satuan panjang.

Dalam hal diatas muncul suatu syarat yang disebut syarat Phytagoras. Keadaan di atas (Gambar 3.4) tidak memenuhi syarat Phytagoras yaitu, bila d (I,j) adalah jarak kota i dan j, maka d (I,j) ≤ d (i,k) + d (k,j). Kalau suat graph tidak memenuhi syarat di atas maka untuk

mendapatkan suatu jarak paling minimal, syarat yang menyatakan satu tempat hanya dikunjungi satu kali harus dihilangkan.

Contoh :

Perhatikan gambar berikut, graph yang tidak memenuhi syarat Phytagoras.

Dengan algoritma tetangga terdekat diperoleh jarak minimal = 15 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 3 – 4 – 2 – 1. Tetapi dengan cara mencoba-coba diperoleh cara lebih minimal = 14 satuan panjang dengan urutan perjalanan 1 – 3 – 2 – 4 – 1.

Atas dasar hal diatas maka hasil algoritma tetangga terdekat merupakan suatu pendekatan dari hasil minimal yang sebenarnya. Kalau jumlah kota n, kita harus mengulangi algoritma tetangga terdekat sampai ke n kali. Dalam hal ini akan terjadi kemungkinan kesalahan dengan algoritma tetangga terdekat seperti yang dijumpai pada hal diatas.

Untuk itu ada suatu teorema untuk membuktikan batas kesalahan algoritma tetangga terdekat jika dibandingan dengan hasil yang sebenarya.

Teorema

Pandang G suatu graph dengan n buah simpul serta memenuhi syarat Phytagoras, dimana :

d = jumlah jarak yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat m = jarak minimal yang sebenarnya.

Maka diperoleh :

[ ]

₂1 log 2 1 ₂ + ≤ n m d Bukti

Misalkan D suatu sirkuit Hamilton yang diperoleh dengan algoritma tetangga terdekat : I1 = ruas terpanjang di D

I2 = ruas terpanjang berikutnya dan sebarang.

Hal ini berarti :

Dan d=

∑

n₌ k

k

I

1

andaikan telah dibuktikan hubungan-hubungan berikut : m ≥ 2 I1 m ≥ 2 I2 m ≥ 2 (I3 + I₄) m ≥ 2 (I5+I₆+I₇+I₈) m ≥ 2 (I9 + I₁₀+……I₁₄) Maka di dapat : 5 m ≥ 2

∑

¹⁴₌ = 1 2 k k d I Atau 5 m ≥ 2

_∑

⁵

[ ]

+ 2 2 2 1 14 log 2 1

Sekarang akan dibuktikan bahwa

5 m ≥ 2 I1……… (1) 5 m ≥ 2

∑

₌ⁱ₊ ≤ ≤_^ _^ i k k n i l I 2 1 ^, 2 ^{……….. (2)} m ≥ 2

∑

ⁿ = + I_k n k I₁, [ /2] 1……….. (3)

karena n bilangan genap maka persamaan (2) mencakup persamaan (3)

Misalkan ruas terpanjang di D adalah I1 yang menghubungkan simpul x dan y, karena terpenuhi syarat Phytagoras maka setiap path lain antara x dan y selalu lebih panjang dari I1. Karena D dapat dipecah menjadi 2 path antara x dan y. Karena itu persamaan (1) jelas benar. Misalkan akan simpul dimana ruas terpanjang ke-k dihubungkan pada algoritma tetangga terdekat, untuk I yang tetap, 1 ≤ i ≤ [n/2].

Misalkan pula H subgraph lengkap dari G yang mengandung vertex a_k, 1 ≤ k ≤2i.

Hamilton minimum dari G. Misalkan lagi t panjang dari T, karena diperoleh pertidaksamaan segitiga maka m ≥ t.

Misalkan lagi (a_i, a_j) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul a_i ditambahkan sebelum simpul a_j diperoleh :

d (a_i,a_j) adalah ruas di T jika dalam algoritma tetangga terdekat simpul a ditambahkan sebelum simpul a_j diperoleh :

d (a_i, a_j) ≥ Ij, jika sebaliknya a_j ditambahka sebelum a_i diperoleh d (a_i,a_j) = I_i. maka

S(a_i,a_j) ≥ (Ii, I_j)………. (4)

Jumlahkan persamaan (4) untuk semua ruas di T maka diperoleh t ≥ Σ min (Ii, Ij)……… (5)

Dapat dicatat bahwa harga terkecil yang mungkin dari jumlah min (Ii,Ij) adalah I2k, harga terkecil yang mungkin kemudian I2k-1 dan seterusnya. Selanjutnya untuk sebarang 1 ≤ k ≤ 2i, Ik

dapat muncul pada perjumlahan sebanyak dua kali. Karena ruas 2i ada di ruas T, penjumlahan (4) akan lebih besar atau sama dengan dua kali penjumlahan panjang dari I ruas terpendek. Karenannya :

t ≥ min (Ii,Ij)

≥ 2 (I2i + I2i-1+….Ii+1) = 2

∑

₌i₊ i k k I 2 1 ……… (6)

Karenanya m ≥ t (2) terbukti. Hubungan (3) dapat dibuktikan dengan cara yang sama.

Misalkan D₀ sirkuit Hamilton yang minimum dengan argument yang sama seperti waktu menurunkan persamaan (6) diperoleh :

m ≥ min (Ii, I_j)

dan dengan argument yang sama diperoleh : m ≥ Σ min (Ii, I_j)

m ≥ 2 (In^+In-1 + …..+ I(n/2) + 1 = 2ⁿ untuk I = n/2 + 1

Sekarang untuk k = 1,2¹,2^2+,….2^{2 log n-2} menghasilkan ²log n-1 Pertidaksamaan :

m ≥ 2 I2 m ≥ (I3+I₄)

m ≥ 2 (I5+I₆+I₇+I₈)

m ≥ 2

[

I₂logn

]

−2+1+I₂(²logn)−2+2+....+I₂(²logn)−1] Kalau pertidaksamaan di atas dijumlahkan :

[ ]

_∑

− = ≥ − ^{(log )1} 2 2 2 2 ] 1 log ( n i i I m n Karena : , 1 1 ) log ( 2 1 2 2 + − ≤ +    n _n untuk n > 1 Menghasilkan : m ≥ 2

_∑

[ ]

=ⁿ − + i n I 2 2 1 log 1 1 serta :

[ ]

( ) _∑

= = ≥ + ⁿ i i d I n n 1 2 2 2 1 1 log Atau :

[ ]

₂1 log 2 1 ₂ + ≤ n m b

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan yaitu : 1. Dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat persoalan Travelling salesman

problem untuk mencari nilai optimum dapat diselesaikan yaitu dengan mencari jarak atau biaya paling minimum dari suatu persoalan Travelling salesman problem yang telah dimodelkan kedalam graf atau jaringan.

2. Kemungkinan terjadi kesalahan dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat jika jumlah kota atau simpul sangat besar (n), sehingga algoritma tetangga terdekat harus diulangi sebanyak n kali.

3. Hasil yang diperoleh dari penyelesaian travelling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat merupakan pendekatan dari hasil minimal.

4.2. SARAN

Berdasarkan hasil yang diperoleh dalam menyelesaikan persoalan travelling salesman problem dengan menggunakan algoritma tetangga terdekat pada penelitian ini, penulis melihat adanya kesalahan yang ditemukan jika jumlah simpul atau kota yang sangat besar dalam kategori ini sebesar n, maka algoritma tetangga terdekat dilakukan sebanyak n kali tergantung jumlah n simpul atau kota pada permasalahan travelling salesman problem. Oleh karena itu untuk menyelesaikan lebih dari 10 simpul atau kota dari suatu persoalan travelling salesman problem disarankan menggunakan algoritma atau metode yang lain yang lebih efektif seperti algoritma genetika .

DAFTAR PUSTAKA

Boffey, T.B. 1982. Graph Theory in Operations Research. London: The Macmillan Press, Ltd London.

C.L., Liu. 1995. Dasar-dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Hiller Federick S., Lieberman and Gerald J. 1990. Introduction to Operations Research. First Edition. Mc Growhill, Inc.

Seymor S., Lipson, and Mare L. 2001. Matematika Diskrit. Jakarta: Salemba Teknika.

Supranto, Johannes. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Universitas Indonesia.

Theresia. M.H. 1995. Graf. Jakarta: Erlangga

Thie, Paul R. 1979. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. New York: Jhon Wiley&Son, Inc.