BAB II LANDASAN TEORI
D. Bilangan Bulat dan Pecahan
Materi bilangan bulat dan pecahan diambil dari buku karangan Sukino dan Wilson S tahun 2006 yang berjudul Matematika Untuk SMP Kelas VII. Dengan berdasarkan Standar Kompetensi, Kompetensi Dasar dan Indikator yang telah ditentukan seperti pada dibawah ini:
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaanya dalam pemecahan masalah 1.1.Melakukan operasi hitung bilangan bulat
1.1.1. Memberikan contoh bilangan bulat
1.1.2. Menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan 1.1.3. Melakukan operasi
penjumlahan bilangan bulat 1.1.4. Melakukan operasi
pengurangan bilangan bulat 1.1.5. Melakukan operasi perkalian
bilangan bulat
1.1.6. Melakukan operasi pembagian bilangan bulat 1.1.7. Melakukan operasi campur
bilangan bulat
1.1.8. Menghitung pangkat kuadrat bilangan bulat
1.1.9. Menghitung pangkat tiga bilangan bulat
1.1.10.Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan biasa
1.1.11.Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan
1.2.Menggunak an sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat dan pecahan dalam pemecahan masalah pecahan campuran
1.1.12.Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan desimal
1.1.13.Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan persen
1.1.14.Mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan desimal 1.1.15.Mengurutkan bilangan
bentuk pecahan
1.1.16.Menyelesaikan operasi hitung penjumlahan bilangan pecahan
1.1.17.Menyelesaikan operasi hitung pengurangan bilangan pecahan
1.1.18.Menyelesaikan operasi hitung perkalian bilangan pecahan
1.1.19.Menyelesaikan operasi hitung pembagian bilangan pecahan
1.1.20.Menyelesaikan operasi hitung campuran bilangan pecahan
1.1.21.Menggunakan sifat-sifat operasi pembagian pada operasi campuran bilangan bulat
1.1.22.Menggunakan sifat-sifat operasi pangkat dan akar pada operasi campuran bilangan bulat
1.2.1. Menemukan sifat-sifat operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat 1.2.2. Menggunakan sifat-sifat
operasi penjumlahan pada operasi campuran bilangan bulat
1.2.3. Menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan pada operasi campuran bilangan bulat
1. Bilangan Bulat
a. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.
Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat
dan dinotasikan dengan B = .
operasi perkalian pada operasi campuran bilangan bulat
1.2.5. Menggunakan sifat-sifat operasi bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari 1.2.6. Menggunakan sifat-sifat
operasi hitung penjumlahan dengan melibatkan pecahan serta mengkaitkannya dalam kejadian sehari-hari
1.2.7. Menggunakan sifat-sifat operasi hitung pengurangan dengan melibatkan pecahan serta mengkaitkannya dalam kejadian sehari-hari
1.2.8. Menggunakan sifat-sifat operasi hitung perkalian dengan melibatkan pecahan serta mengkaitkannya dalam kejadian sehari-hari
1.2.9. Menggunakan sifat-sifat operasi hitung pembagian dengan melibatkan pecahan serta mengkaitkannya dalam kejadian sehari-hari
Bilangan bulat negatif Bilangan bulat positif
-1 -2 -3
Pada garis bilangan diatas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan -1, -2, -3, -4, -5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terdapat di sebelah kiri nol.
Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilanga makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku, jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q dan jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.
b. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat 1.) Penjumlahan pada Bilangan Bulat
Sifat-sifat Penjumlahan Bilangan Bulat a. Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku: a + b = c dengan c juga bilangan bulat b. Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku: a + b = b + a
c. Mempunyai unsur identitas
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku: a + 0 = 0 + a = a
d. Sifat asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
e. Mempunyai invers
Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a 2.) Pengurangan pada Bilangan Bulat
Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangannya. Dapat juga di tulis a – b = a + (-b). Hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
3.) Perkalian pada Bilangan Bulat
Jika p dan q adalah bilangan bulat maka,
Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat : a. Sifat tertutup
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku dengan r juga bilangan bulat.
b. Sifat komutatif
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku .
c. Sifat asosiatif
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
d. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
e. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
f. Memiliki elemen identitas
Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku
Elemen identitas pada perkalian adalah 1. 4.) Pembagian pada Bilangan Bulat
a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian
Jika p, q dan r bilangan bulat, dengan q faktor p dan q ≠ 0
maka berlaku p : q = r ↔ p = q x r.
b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Untuk setiap p, q r bilangan bulat, q≠ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku:
(i) Jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif; (ii) Jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif. c. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.
Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi. d. Sifat pembagian pada bilangan bulat
(i) Perhatikan apakah nilai 4 : 3 merupakan bilangan bulat ? Karena tidak ada bilang bulat yang memenuhi , maka hal ini sudah cukup menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
(ii) Perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8 ? karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
(iii)Perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi 12 : (6 : 2) = 4. Dari contoh diatas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.
c. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut: 1.) Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.
a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan.
b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.
Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan angka ratusan teredekat, ribuan terdekat, pulu ribuan terdekat, dan seterusnya.
d. Kelipatan dan Faktor
1.) Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q. Faktor bilangan yang sama dan nilainya paling besar di kali dengan sisa faktor lainnya.
2.) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Bilangan yang dapat dibagi bersama yang paling kecil.
3.) Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan
Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari 36 dan 40 dengan cara memfaktorkan.
Penyelesaian: 36 =
40 =
KPK dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan pokok yang sama, seperti dan , pilih pangkat yang tertinggi. Jadi, KPK dari 36 dan 40 = 5 = 360.
FPB dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilangan pokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPB dari 36 dan 40 = = 4
e. Perpangkatan Bilangan Bulat
1.) Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku
sebanyak n faktor
dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka = 1 dan = p.
2.) Kuadrat dan akar kuadrat
Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
f. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung sebagai berikut:
1.) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. 2.) Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi
yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
3.) Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) lebih kuat dari pada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-), artinya operasi perkalian (x) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu dari pada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-).
2. Pecahan
a. Pecahan dan Lambangnya
Pecahan adalah satu bagian utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian yang sama besar. Setiap bentuk bilangan yang ditulis sebagai pembagian disebut pecahan. Pecahan , a disebut pembilang dan b
disebut penyebut, b ≠ 0.
Contoh :
Berapa bagiankah 1 menit dari satu jam ? Jawab :
1 jam = 60 menit, maka 1 menit = jam. Jadi, 1 menit adalah bagian dari satu jam. b. Pecahan Senilai
Pecahan yang senilai dengan pecahan dengan b ≠ 0 dapat dicari dengan aturan berikut ini:
, dengan m sembarang bilangan asli Contoh :
Carilah tiga pecahan yang senilai dengan pecahan-pecahan berikut ini.
Jawab :
Untuk menjawab soal tersebut, pembilang dan penyebut dari masing-masing pecahan dikalikan secara berurutan dengan 2, 3, dan 4.
= = = = = =
Jadi, pecahan yang senilai dengan adalah , , dan , ditulis sebagai: = = = .
c. Menyederhanakan Pecahan
Menyederhanakan pecahan dapat dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan itu dengan faktor persekutuan terbesar (FPB)nya.
Contoh :
Sederhanakan masing-masing pecahan berikut ini !
FPB dari 36 dan 72 adalah 36, sehingga = = . d. Membandingkan Pecahan
Pada pecahan senama dan dengan c ≠ 0 dan c > 0 selalu berlaku:
(i) < , apabila a < b. (ii) > , apabila a > b. Contoh: Bandingkanlah: dan Jawab: < , karena 3 < 4
e. Pecahan di Antara Dua Pecahan
Menentukan pecahan diantara dua pecahan dapat dilakukan dengan mengubah kedua pecahan itu menjadi pecahan senama.
Contoh:
Sisipkan tepat dua pecahan diantara dua pecahan berikut ini !
dan
Pecahan senama dari dan adalah dan atau dan .
Perubahan penyebut:
= =
= =
Ternyata di antara pembilang 24 dan 27 dapat disisipkan tepat dua angka, yaitu 25 dan 26.
Jadi, di antara pecahan dan dapat disisipkan tepat dua angka pecahan yaitu dan .
f. Perbandingan
Perbandingan a terhadap keseluruhan s adalah a : s = . Contoh:
Seorang siswa hanya mampu menyelesaikan 15 soal matematika dengan benar dari 50 soal yang diujikan. Berapakah perlindungan antara soal yang dijawab dengan benar terhadap seluruh soal ? Jawab:
Misalkan kemampuan siswa adalah a = 15 dan jumlah soal adalah s = 50. Perbandingan kemampuan siswa terhadap jumlah soal ujian adalah = = .
Jadi, perbandingan kemampuan siswa terhadap soal ujian adalah 3 : 10.
Perbandingan dua bilangan a dengan b ditulis sebagai a : b atau
dengan b ≠ 0.
Contoh:
Di dalam kotak merah terdapat 25 kelereng merah dan 15 kelereng putih. Tentukan perbandingan kelereng merah terhdap putih. Jawab:
Misalkan, banyak kelereng merah adalah a = 25 dan banyak kelereng putih adalah b = 15.
Perbanding kelereng merah adalah terhadap putih ditulis a : b atau = = .
Jadi, perbandingan kelereng merah terhadap putih adalah 5 : 3. g. Menuliskan Bilangan Bulat sebagai Bilangan Pecahan Campuran
1.) Mengubah bilangan bulat menjadi pecahan, yaitu dengan cara sebagai berikut:
Tulis bilangan bulat dengan penyebut 1
Kalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama (bukan 0)
2.) Mengubah bilangan campuran menjadi pecahan, yaitu dengan cara sebagai berikut:
Misalkan
Kalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat (bukan pecahan) 2 4 = 8
Kemudian jumlahkan hasilnya dengan pembilang
=
h. Menuliskan Pecahan sebagai Bilangan Bulat dan sebagai Bilangan Campuran
1.) Mengubah pecahan menjadi bilangan bulat.
Untuk mengubah sebuah pecahan menjadi bilangan bulat, bagilah pembilang dengan penyebut.
Misal: 8 : 4 = 2
2.) Mengubah pecahan menjadi bilangan campuran.
Untuk mengubah sebuah pecahan menjadi bilangan campuran, bagilah pembilang dengan penyebut.
Misal:
2 x 4 + 3
pembilang penyebut
11 : 4 = 2 (4 2 = 8) maka sisa 3
i. Menuliskan Bilangan Campuran dalam Bentuk Paling Sederhana 1.) Menuliskan pecahan campuran dalam bentuk paling sederhana
Bentuk sederhana dari
Jadi, adalah bentuk pecahan campuran paling sederhana dari .
2.) Menuliskan pecahan yang nilainya lebih dari 1 dalam bentuk paling sederhana
Bentuk paling sederhana dari
Jadi, . Pecahan tidak dapat disederhanakan lagi
j. Menuliskan Pecahan dan Bilangan Campuran sebagai Bilangan Desimal
Untuk mengubah sebuah pecahan menjadi bilangan desimal, bagilah pembilang dengan penyebut. Misalkan:
Jadi, merupakan bilangan desimal dengan dua angka di belakang koma. Pembilang nga Hasil bagi bilangan bulat Sisa pembilang bilangan campuran penyebut
Sebaliknya, pecahan desimal dapat diubah bentuknya menjadi pecahan biasa. Sebagai contoh akan diubah 0,225 menjadi pecahan dalam bentuk pecahan biasa.
Penyelesaian:
tulislah dalam bentuk pecahan biasa
sederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB-nya. FPB dari 225 dan 1.000 adalah 25.
Jadi
k. Menuliskan Bilangan Desimal Sebagai Pecahan atau Bilangan Campuran
Sebuah bilangan desimal tidak semuanya dapat ditulis sebagai bilangan pecahan atau bilangan campuran.
1.) Mengubah bilangan desimal (kurang dari 1) menjadi pecahan sederhana. Misalkan: 0,75 = ... Baca bilangan desimal 0,75 Tulislah sebagai pecahan biasa
Tulis dalam bentuk paling sederhana
2.) Mengubah bilangan desimal (yang lebih dari 1) menjadi pecahan campuran dalam bentuk paling sederhana.
Misalkan: 2,6= .... Baca bilangan desimal 2,6
Tulis sebagai pecahan campuran
Tulis dalam bentuk paling sederhana
l. Menuliskan Pecahan sebagai Bentuk Persen dan Permil
Bentuk persen adalah bentuk pecahan yang penyebutnya 100 dan bentuk permil merupakan bentuk yang penyebutnya 1.000. persen
dilambangkan dengan % dan permil dilambangkan dengan ‰.
Pecahan dengan b ≠0, dapat diubah menjadi bentuk persen dan
permil dengan cara sebagai berikut: bentuk persen
bentuk permil
m. Menuliskan Persen dan Permil sebagai Pecahan
Persen a% dan permil b‰, bila diubah ke dalam pecahan adalah sebagai berikut:
persen ke pecahan permil ke pecahan
n. Operasi pada Pecahan 1.) Penjumlahan
Operasi penjumlahan pada pecahan dapat dilakukan asalkan penyebut dari pecahan yang akan dijumlahkan bernilai sama. Tetapi jika penyebut tidak bernilai sama maka perlu dicari terlebih dahulu KPK dari penyebut tersebut.
Misalkan: Tentukan KPK penyebut
Ubah kedua pecahan agar senama (bernilai penyebut sama)
Jumlahkan dan tulis dalam bentuk paling sederhana
KPK = 8
Untuk menjumlahkan bilangan pecahan campuran, sebagai berikut: Misalkan: Tuliskan pecahan senamanya dan jumlahkan
Jumlahkan pecahan tersebut, simpan 1 bila pecahan lebih dari 1
Jumlahkan bilangan bulat dan pecahannya
bilangan bulatnya
4 + 3 = 7
2.) Pengurangan
Operasi pengurangan pada pecahan dapat dilakukan asalkan penyebut dari pecahan yang akan dikurangkan bernilai sama. Tetapi jika penyebut tidak bernilai sama maka perlu dicari terlebih dahulu KPK dari penyebut tersebut
Misalkan: Carilah KPK penyebut pecahan-pecahan itu
Ubah pecahan itu agar menjadi pecahan senama Kurangkan pembilangnya KPK = 24
Untuk mengurangkan bilangan campuran tanpa peminjaman, sebagai berikut:
Misalkan:
Tulislah dalam bentuk pecahan senama
Kurangkan masing-masing bagian pecahan dan bagian bilangan bulat
3.) Perkalian
Untuk mengalikan dua buah pecahan, sebagai berikut: Misalkan:
Kalikan masing-masing pembilang dan penyebut
Tuis hasil perkalian dalam bentuk sederhana
Untuk sembarang pecahan dan dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0,
berlaku =
Perkalian antar pecahan campuran dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan campuran menjadi bilangan pecahan biasa terlebih dahulu. Misalkan: Ubahlah menjadi pecahan biasa Kalikan masing-masing pembilang Sederhanakan 68 – 4 = 64
dan penyebut
4.) Pemangkatan
Suatu bilangan pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat n, hasilnya sama dengan perkalian berulng pecahan tersebut sebanyak n kali.
5.) Pembagian
invers (kebalikan) perkalian dari , karena = 1 dan sebaliknya.
6.) Menyelesaikan soal bilangan bulat a) Aturan pembulatan bilangan desimal:
Apabila angka berikutnya lebih atau sama dengan 5 maka angka di depannya bertambah 1 dan yang di belakang dihilangkan
Apabila angka berikutnya kurang dari 5, maka angka di depannya tetap dan yang di belakang dihilangkan. b) Menjumlahkan atau mengurangkan pecahan desimal dapat
dilakukan dengan cara menyusun ke bawah dengan urutan sebagai berikut:
Satuan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, persepuluhan dengan persepuluhan dan seterusnya.
c) Perkalian bilangan bulat desimal dengan kelipatan 10, hasilnya diperoleh dengan menggeser tanda koma ke kanan sebanyak tempat yang bersesuaian dengan banyaknya nol pada kelipatan 10.
d) Hasil pembagian pecahan desimal oleh 10 dan kelipatannya diperoleh dengan menggeser tanda koma ke kiri sebanyak tempat yang bersesuaian dengan banyaknya nol pada 10 dan kelipatannya.
o. Perluasan Pecahan
Setiap bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan disebut bilangan rasional. Hal ini berarti, perluasan pecahan merupakan bilangan rasional.
Berikut ini merupakan bilangan rasional:
pecahan
pecahan campuran 0,1; 0,2; 0,3;... bilangan desimal
0,1111 ..., 0,2323 ..., 0,345345, ... bilangan desimal berulang
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan disebut bilangan irasional, seperti:
, , ...
p. Bentuk Baku
Bentuk baku bilangan besar dinyatakan dengan dengan dan n bilangan asli. Hal ini berarti bilangan berpangkat yang digunakan adalah bilangan pangkat dengan bilangan pokok 10 atau bilangan 10 berpangkat positif.
Sedangkan bentuk baku bilangan kecil dinyatakan dengan
dengan dan n bilangan asli. Hal ini berarti bilangan berpangkat yang digunakan adalah bilangan pangkat dengan bilangan pokok atau bilangan 10 berpangkat negatif.
