Bilangan Prima dan Faktorisasi

Diingat kembali de…nisi suatu bilangan prima, yaitu suatu bilangan bulat positif lebih besar dari 1 yang hanya mempunyai pembagi positif 1 dan dirinya sendiri. Jelas bahwa

hanya 2 yang merupakan bilangan prima genap, dan juga hanya 2 dan 3 yang meru-pakan bilangan-bilangan prima yang berturutan. Suatu bilangan, selain 1, yang tidak prima dinamakan bilangan composite. Jelas bahwa jika n > 1 adalah composite maka n dapat dituliskan sebagai n = ab, dimana 1 < a b < n dan a; b 2 N.

Contoh 5.13 Tentukan semua bilangan bulat positif n untuk yang mana 3n 4, 4n 5, dan 5n 3 adalah bilangan-bilangan prima.

Penyelesaian. Jumlah dari ketiga bilangan tersebut adalah 12n 12, yang jelas merupakan suatu bilangan genap, maka paling sedikit satu diantaranya adalah bilangan genap. Dipunyai bahwa bilangan prima genap hanyalah 2. Diamati bahwa 4n 5 tidak mungkin menjadi bilangan genap karena 4n selalu genap untuk setiap n, sehingga jika dikurangi suatu bilangan ganjil maka hasilnya ganjil. Tetapi 3n 4 dan 5n 3 adalah mungkin untuk menjadi bilangan genap. Karena itu diselesaikan persamaan 3n 4 = 2 dan 5n 3 = 2 yang secara berturutan menghasilkan n = 2 dan n = 1. Secara mudah bisa diperiksa bahwa n = 2 akan membuat ketiga bilangan tersebut adalah prima.

Contoh 5.14 (AHSME 1976) Jika p dan q adalah prima, dan x2 px + q = 0 mempunyai dua akar bulat positif berbeda, tentukan p dan q.

Penyelesaian. Diambil x1dan x2, dengan x1 < x2, sebagai dua akar bulat positif yang berbeda. Karena itu bisa dituliskan x² px+q = (x x₁) (x x₂), yang mengakibatkan p = x1 + x2 dan q = x1x2. Karena q adalah prima, maka x1 = 1. Jadi, q = x2 dan p = x2 + 1, yang berarti p dan q adalah dua bilangan prima yang berurutan, yaitu q = 2 dan p = 3.

Teorema 5.15 Jika n > 1, maka n dapat dibagi oleh paling sedikit satu bilangan prima. Bukti. Karena n > 1, maka dipunyai paling sedikit satu pembagi > 1. Berdasarkan Prinsip Terurut Baik, n pasti mempunyai paling sedikit satu pembagi positif yang lebih besar dari 1, misalnya q. Diklaim bahwa q adalah prima. Jika q bukan prima maka dapat dituliskan q = ab, 1 < a b < q. Ini berarti bahwa a adalah suatu pembagi dari n yang lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari q. Timbul kontradiksi dengan kenyataan bahwa q adalah minimal.

Teorema 5.16 (Euclid) Terdapat tak hingga banyak bilangan prima.

Bukti. Diandaikan terdapat berhingga banyak bilangan prima, misalnya p1, p2, ..., p_n. Diambil

N = p₁p₂ p_n+ 1

Bilangan bulat N adalah lebih besar dari 1, sehingga berdasarkan teorema sebelum-nya diperoleh bahwa N pasti mempusebelum-nyai suatu pembagi prima p. Bilangan prima p haruslah salah satu dari bilangan-bilangan p₁, p₂, ..., p_n. Tetapi, diamati bahwa p pasti berbeda dari sembarang p₁, p₂, ..., p_n karena N mempunyai sisa 1 ketika dibagi oleh sembarang pi. Jadi timbul kontradiksi.

Teorema 5.17 Jika bilangan bulat positif n adalah composite, maka n pasti mempun-yai suatu faktor prima p dengan p p_n.

Bukti. Diandaikan bahwa n = ab, dimana 1 < a b < n. Jika a; b > p

n, maka n = ab >p

np

n = n, yang adalah kontradiksi. Jadi n mempunyai suatu faktor 6= 1 dan p_{n. Karena itu, faktor prima dari n adalah} p_n.

Contoh 5.18 Berapa banyak bilangan prima 100? Penyelesaian. Diamati bahwa p

100 = 10. Berdasarkan teorema sebelumnya, semua bilangan composite dalam range 10 n 100 mempunyai suatu faktor prima diantara 2, 3, 5, atau 7. Dimisalkan A_m adalah himpunan bilangan-bilangan bulat positif yang merupakan kelipatan dari m dan 100. Diperoleh jA2j = 50, jA3j = 33, jA5j = 20, jA7j = 14, jA6j = 16, jA10j = 10, jA14j = 7, jA15j = 6, jA21j = 4, jA35j = 2, jA30j = 3, jA42j = 2, jA70j = 1, jA105j = 0, jA210j = 0. Jadi, banyaknya bilangan prima 100 adalah

= 100 (banyak bilangan composite 100) 1 = 100 + 4 (kelipatan dari 2; 3; 5; atau 7 100) 1 = 100 + 4 (50 + 33 + 20 + 14) + (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2)

(3 + 2 + 1 + 0) 0 1 = 25

dengan mengingat bahwa 1 bukanlah prima atau composite.

Sekarang diperhatikan bilangan bulat 1332. Jelas bahwa bilangan tersebut dapat dibagi oleh 2, sehingga diperoleh 1332 = 2 666. Selanjutnya, 666 dapat dibagi oleh 6, sehingga 1332 = 2 2 3 111. Terakhir, 111 dapat dibagi oleh 3, sehingga diperoleh 1332 = 2 2 3 3 37. Karena 2, 3, 37 adalah bilangan-bilangan prima maka proses faktorisasi dari 1332 berhenti. Selanjutnya faktorisasi dari 1332 dapat dituliskan seperti 2²3²37. Faktorisasi demikian dinamakan faktorisasi kanonis (canonical factorisation).

Teorema 5.19 (Teorema Fundamental Aritmatika) Setiap bilangan asli n 1 mempunyai suatu faktorisasi tunggal dalam bentuk

n = p^a1

1 p^a2

2 p^as

s

dimana pi adalah prima berbeda dan ai adalah bilangan bulat positif. Bukti. Diasumsikan bahwa

n = p^a1 1 p^a2 2 p^as s = q^b1 1 q^b2 2 q^bt t

merupakan dua faktorisasi kanonis dari n. Berdasarkan Lemma Euclid, disimpulkan bahwa setiap p pasti membagi suatu q dan setiap q membagi suatu p. Akibatnya s = t. Selanjutnya, dari p₁ < p₂ < < p_s dan q₁< q₂< < q_tdisimpulkan bahwa p_i= q_i,

1 i s.

Jika ai> bi untuk suatu i, atas pembagian oleh p^ai

i , diperoleh p^a1 1 p^a2 2 p^ai bi i p^as s = p^b1 1 p^b2 2 p^bi 1 i 1p^bi+1 i+1 p^bs s ;

yang adalah tidak mungkin, karena ruas kiri dapat dibagi oleh p_i dan ruas kanan tidak dapat dibagi oleh pi. Serupa dengan itu, diperoleh hasil yang sama untuk ai< bi. Jadi haruslah ai = bi untuk semua i.

Contoh 5.20 Diambil p adalah suatu bilangan prima. Buktikan bahwa pp bukan suatu bilangan rasional.

Bukti. Diasumsikan bahwa pp adalah rasional, artinya pp = ^a

b ^{dimana a dan b} bilangan-bilangan asli yang prima relatif sebab faktor-faktor persekutuannya dapat dihapus. Karena itu bisa dituliskan pb²= a². Jadi p j a² dan juga p j a. Dituliskan a = a₁p untuk suatu bilangan bulat a₁, maka dipunyai pb² = a₁²p², sehingga b² = a²₁p yang berarti p j b. Jadi, p adalah faktor persekutuan dari a dan b, sehingga ini kontradiksi dengan asumsi. Jadi, pp bukan suatu bilangan rasional.

Contoh 5.21 Buktikan bahwa terdapat tepat satu bilangan asli n dimana 2⁸+ 2¹¹+ 2ⁿ adalah pangkat dua sempurna.

Bukti. Jika k2= 28+211+2n= 2304+2n= 482+2n, maka k2 482 = (k 48) (k + 48) = 2ⁿ. Berdasarkan faktorisasi tunggal diperoleh k 48 = 2^s, k + 48 = 2^t, s + t = n. Dari sini diperoleh 2^t 2^s= 96 = 3 2⁵ atau 2^s 2^{t s} 1 = 3 2⁵. Berdasarkan faktorisasi tunggal, dari kesamaan terakhir diperoleh s = 5, t s = 2. Jadi, s = 5 dan t = 7, sehingga n = s + t = 12.

Untuk suatu bilangan prima p, p^k dikatakan membagi penuh (fully divide) n dan dit-uliskan pkk n jika k adalah bilangan bulat positif terbesar sedemikian sehingga pkj n. Contoh 5.22 (ARML 2003) Tentukan pembagi terbesar dari 1001001001 yang tidak melebihi 1000.

Penyelesaian. Dipunyai

1001001001 = 1001 10⁶+ 1001 = 1001 10⁶+ 1 = 7 11 13 10⁶+ 1 :

Berdasarkan rumus x⁶+ 1 = x^{2 3}+ 1 = x²+ 1 x⁴ x²+ 1 , dituliskan 10⁶+ 1 = 101 9901. Karena itu dapat dituliskan 1001001001 = 7 11 13 101 9901. Dari sini tidaklah sulit untuk memeriksa bahwa tidak ada kombinasi dari 7, 11, 13, dan 101 yang dapat menghasilkan suatu hasil kali yang lebih besar dari 9901 tetapi kurang dari 1000. Jadi jawabannya adalah 9901.

Contoh 5.23 Diambil n adalah suatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa 32ⁿ+ 1 dapat dibagi oleh 2, tetapi tidak dapat dibagi oleh 4.

Bukti. Jelas bahwa 3²ⁿ adalah ganjil dan 3²ⁿ + 1 adalah genap. Dicatat bahwa 3²ⁿ = 3^{2 2}

n 1

= 9^{2n 1} = (8 + 1)^{2n 1}. Dipunyai rumus binomial

(x + y)^m = x^m+ ^m 1 ^x m 1y + ^m 2 ^x m 2y²+ + ^m m 1 ^xy m 1+ y^m:

Diambil x = 8, y = 1, dan m = 2^{n 1} dalam persamaan di atas, maka pada ruas kanan dapat dilihat bahwa setiap bagian jumlahan merupakan kelipatan dari 8 kecuali yang terakhir (yaitu y^m = 1). Karena itu sisa dari 3²ⁿ ketika dibagi oleh 4 adalah sama dengan 1, dan sisa dari 3²ⁿ+ 1 ketika dibagi oleh 4 adalah sama dengan 2.

Penyelesaian. Dicatat bahwa 2¹⁰= 1024 dan x² y²= (x + y) (x y). Karena itu

3²¹⁰ 1 = 3^{29 2} 1²

= 3²⁹+ 1 3²⁹ 1 = 3²⁹+ 1 3²⁸+ 1 3²⁸ 1

= = 3²⁹+ 1 3²⁸+ 1 3²⁷+ 1 3²¹ + 1 3²⁰ + 1 (3 1) :

Berdasarkan contoh sebelumnya, 2 j 3^2k+ 1 untuk bilangan bulat positif k. Karena itu, dari persamaan terakhir dapat dilihat bahwa setiap faktor dapat dibagi oleh 2. Karena banyaknya faktor adalah 11 dan juga 3²¹⁰ 1 dapat dibagi oleh 2⁰, maka n = 11 + 1 = 12.