III. METODE PENELITIAN
3.2. Metode Analisis
3.2.3. Data Panel Dinamis
Relasi di antara variabel-variabel ekonomi pada kenyataannya banyak yang bersifat dinamis. Analisis data panel dapat digunakan pada model yang bersifat dinamis dalam kaitannya dengan analisis penyesuaian dinamis (dynamic of adjustment). Hubungan dinamis ini dicirikan oleh keberadaan lag variabel dependen di antara variabel-variabel regresor. Sebagai ilustrasi, model data panel dinamis adalah sebagai berikut:
𝑦�� = 𝛿𝑦�,���+ 𝑥��′ 𝛽 + 𝑢��; 𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, . . , 𝑇 ...(3.32)
dengan 𝛿 menyatakan suatu skalar, 𝑥��′ menyatakan matriks berukuran 1xK dan 𝛽 matriks berukuran Kx1. Dalam hal ini, 𝑢�� diasumsikan mengikuti model oneway error component sebagai berikut:
𝑢�� = 𝜇�+ 𝑣�� ...(3.33) dengan 𝜇�~ 𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎��) menyatakan pengaruh individu dan 𝑣��~ 𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎��) menyatakan gangguan yang saling bebas satu sama lain atau dalam beberapa literatur disebut sebagai transient error.
Dalam model data panel statis, dapat ditunjukkan adanya konsistensi dan efisiensi baik pada FEM maupun REM terkait perlakuan terhadap 𝜇�. Dalam model dinamis, situasi ini secara substansi sangat berbeda, karena 𝑦�� merupakan fungsi dari 𝜇� maka 𝑦�,��� juga merupakan fungsi dari 𝜇�. Karena 𝜇� adalah fungsi dari 𝑢�� maka akan terjadi korelasi antara variabel regresor 𝑦�,��� dengan 𝑢��. Hal ini akan menyebabkan penduga least square (sebagaimana digunakan pada model data panel statis) menjadi bias dan inkonsisten, bahkan bila 𝑣�� tidak berkorelasi serial sekalipun.
Untuk mengilustrasikan kasus tersebut, berikut diberikan model data panel autoregresif (AR(1)) tanpa menyertakan variabel eksogen:
𝑦�� = 𝛿𝑦�,���+ 𝑢��; |𝛿| < 1; 𝑡 = 1, . . , 𝑇 ...(3.34)
dengan 𝑢�� = 𝜇�+ 𝑣�� di mana 𝜇�~ 𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎��) dan 𝑣��~ 𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎��) saling bebas satu sama lain. Penduga fixed effect bagi 𝛿 diberikan oleh
𝛿��� =∑����∑����(�������)(��,�������,��)
dengan 𝑦�� = 1/𝑇 ∑� 𝑦��
��� dan 𝑦��,�� = 1/𝑇 ∑� 𝑦�,���
��� . Untuk menganalis sifat dari 𝛿���, dapat disubstitusi persamaan (3.44) ke (3.45) untuk memperoleh:
𝛿��� = 𝛿 +(��� ) ∑����∑����(�������)(��,�������,��)
(���) ∑����∑����(��,�������,��)� ...(3.36) Penduga ini bersifat bias dan inkonsisten untuk 𝑁 → ∞ dan T tetap, bentuk pembagian pada persamaan (3.46) tidak memiliki nilai harapan nol dan tidak konvergen menuju nol bila 𝑁 → ∞. Secara khusus, hal ini dapat ditunjukkan bahwa: 𝑝𝑙𝑖𝑚 𝑁 → ∞ � � ��� ∑ ∑ (𝑣� ��− 𝑣̅�)�𝑦�,���− 𝑦��,��� ��� � ��� = −��� ��(���)������ (���)� ≠ 0 ....(3.37)
sehingga, untuk T tetap, akan dihasilkan penduga yang inkonsisten.
Untuk mengatasi masalah ini, pendekatan method of moments dapat digunakan. Arrelano dan Bond menyarankan suatu pendekatan generalized method of moments (GMM). Pendekatan GMM merupakan salah satu yang populer. Setidaknya ada dua alasan yang mendasari, pertama, GMM merupakan common estimator dan memberikan kerangka yang lebih bermanfaat untuk perbandingan dan penilaian. Kedua, GMM memberikan alternatif yang sederhana terhadap estimator lainnya, terutama terhadap maximum likelihood..
Namun demikian, penduga GMM juga tidak terlepas dari kelemahan. Adapun beberapa kelemahan metode ini, yaitu: (i) GMM estimator adalah asymptotically efficient dalam ukuran contoh besar tetapi kurang efisien dalam ukuran contoh yang terbatas (finite); dan (ii) estimator ini terkadang memerlukan sejumlah implementasi pemrograman sehingga dibutuhkan suatu perangkat lunak (software) yang mendukung aplikasi pendekatan GMM.
Ada dua jenis prosedur estimasi GMM yang umumnya digunakan untuk mengestimasi model linear autoregresif, yakni:
(i) First-difference GMM (FD-GMM atau AB-GMM); dan (ii) System GMM (SYS-GMM).
Penelitian ini hanya menggunakan pendekatan First-difference GMM (FD-GMM atau AB-(FD-GMM) yaitu menggunakan transformasi first difference untuk pendekatan variabel instrumen untuk mendapatkan estimasi 𝛿 yang konsisten di mana 𝑁 → ∞ dengan T tertentu dengan mengeliminasi pengaruh individual (𝜇�) sebagai berikut:
𝑦��− 𝑦�,��� = 𝛿�𝑦�,���− 𝑦�,���� + �𝑣��− 𝑣�,����; 𝑡 = 2, . . , 𝑇...(3.38) namun, pendugaan dengan least square akan menghasilkan penduga 𝛿 yang inkonsisten karena 𝑦�,��� dan 𝑣�,��� berdasarkan definisi berkorelasi, bahkan bila 𝑇 → ∞. Untuk itu, transformasi dengan menggunakan first difference ini dapat menggunakan suatu pendekatan variabel instrumen (Baum, et al., 2003). Sebagai contoh, 𝑦�,��� akan digunakan sebagai instrumen. Di sini, 𝑦�,��� berkorelasi dengan �𝑦�,���− 𝑦�,���� tetapi tidak berkorelasi dengan 𝑣�,���, dan 𝑣�� tidak berkorelasi serial. Di sini, penduga variabel instrumen bagi 𝛿 disajikan sebagai
𝛿��� = ∑����∑������,���(������,���)
∑����∑������,���(��,������,���) ...(3.39) syarat perlu agar penduga ini konsisten adalah
𝑝𝑙𝑖𝑚 𝑁 → ∞ 𝑇 → ∞� � �(���)� ∑ ∑ �𝑣� ��− 𝑣�,����𝑦�,��� = 0 ��� � ��� ...(3.40) Penduga (3.39) merupakan penduga alternatif dimana 𝑦�,���− 𝑦�,��� digunakan sebagai instrumen. Penduga variabel instrumen bagi 𝛿 disajikan sebagai
𝛿���(�)= ∑����∑����(��,������,���)(������,���)
∑����∑����(��,������,���)(��,������,���) ...(3.41) syarat perlu agar penduga ini konsisten adalah
𝑝𝑙𝑖𝑚 𝑁 → ∞ 𝑇 → ∞� � �(���)� ∑ ∑ �𝑣� ��− 𝑣�,����(𝑦�,���− 𝑦�,���) = 0 ��� � ��� ...(3.42)
Penduga variabel instrumen yang kedua memerlukan tambahan lag variabel untuk membentuk instrumen, sehingga jumlah amatan efektif yang digunakan untuk melakukan pendugaan menjadi berkurang (satu periode sampel “hilang”). Dalam hal ini pendekatan metode momen dapat menyatukan penduga dan mengeliminasi kerugian dari pengurangan ukuran sampel. Langkah pertama dari pendekatan metode ini adalah mencatat bahwa
𝑝𝑙𝑖𝑚 𝑁 → ∞ 𝑇 → ∞� 1 𝑁(𝑇 − 1)� � ��𝑣�� − 𝑣�,����𝑦�,��� = 𝐸��𝑣��− 𝑣�,����𝑦�,���� = 0 � ��� � ��� ...(3.43) yang merupakan kondisi momen (moment condition). Dengan cara yang sama dapat diperoleh
𝑝𝑙𝑖𝑚 𝑁 → ∞ 𝑇 → ∞� � �(���)� ∑ ∑ (𝑣� ��− 𝑣�,���)(𝑦�,���− 𝑦�,���) ��� � ��� = 𝐸[(𝑣��− 𝑣�,���)(𝑦�,���− 𝑦�,���)] = 0 ...……….…….(3.44) yang juga merupakan kondisi momen. Kedua estimator (IV dan IV(2)) selanjutnya dikenakan kondisi momen dalam pendugaan. Sebagaimana diketahui penggunaan lebih banyak kondisi momen meningkatkan efisiensi dari penduga. Arellano dan Bond (1991) dalam Verbeek (2000) menyatakan bahwa daftar instrumen dapat dikembangkan dengan cara menambah kondisi momen dan membiarkan jumlahnya bervariasi berdasarkan t. Untuk itu, mereka mempertahankan T tetap. Sebagai contoh, ketika T = 4 diperoleh
𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��] = 0, untuk t = 2
𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��] = 0 𝑑𝑎𝑛 𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��] = 0, untuk t = 3
𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��] = 0, 𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��] = 0 𝑑𝑎𝑛 𝐸[(𝑣��− 𝑣��)𝑦��], untuk t = 4
Semua kondisi momen dapat diperluas ke dalam GMM. Selanjutnya, untuk memperkenalkan penduga GMM, misalkan didefinisikan ukuran sampel yang lebih umum sebanyak T, sehingga dapat dituliskan
∆𝑣� = �
𝑣��− 𝑣�� ⋮
𝑣�,� − 𝑣�,���
� ...(3.45) sebagai vektor tranformasi error, dan
𝑍�= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡[𝑦��] 0 ⋯ 0 0 [𝑦��, 𝑦��] ⋯ 0 ⋮ 0 0⋮ ⋯⋱ �𝑦��, … , 𝑦⋮ �,����⎦⎥ ⎥ ⎤ ...(3.46)
sebagai matriks instrumen. Setiap baris pada matriks 𝑍� berisi instrumen yang valid untuk setiap periode yang diberikan. Konsekuensinya, himpunan seluruh kondisi momen dapat dituliskan secara ringkas sebagai
𝐸�𝑍�′∆𝑣�� = 0 ...(3.47) yang merupakan kondisi bagi 1+2+…+T-1. Untuk menurunkan penduga GMM, persamaan (3.47) dituliskan sebagai
Karena jumlah kondisi momen umumnya akan melebihi jumlah koefisien yang belum diketahui, 𝛿 akan diduga dengan meminimumkan kuadrat momen sampel yang bersesuaian, yakni
min [1/𝑁 ∑����𝑍�′(∆𝑦�− ∆𝑦�,��)]′𝑊�[1/𝑁 ∑����𝑍�′(∆𝑦�− ∆𝑦�,��)] ....(3.49) dengan 𝑊� adalah adalah matriks penimbang definit positif yang simetris. Dengan mendifrensiasikan persamaan (3.59) terhadap 𝛿 akan diperoleh penduga GMM sebagai 𝛿����((∑� ∆𝑦�,��′ 𝑍�)𝑊� ��� (∑� 𝑍�′∆𝑦�,��)) ��� ��𝑥 ((∑� ∆𝑦�,��′ 𝑍�)𝑊� ��� (∑� 𝑍�′∆𝑦�)) ��� ...(3.50) Sifat dari penduga GMM (3.50) bergantung pada pemilihan 𝑊� yang konsisten selama 𝑊� definit positif, sebagai contoh 𝑊� = 𝐼 yang merupakan matriks identitas.
Matriks penimbang optimal (optimal weighting matrix) akan memberikan penduga yang paling efisien karena menghasilkan matriks kovarian asimtotik terkecil bagi 𝛿����. Sebagaimana diketahui dalam teori umum GMM (Verbeek, 2000), diketahui bahwa matriks penimbang optimal proposional terhadap matriks kovarian invers dari momen sampel. Dalam hal ini, matriks penimbang optimal seharusnya memenuhi
𝑝𝑙𝑖𝑚
𝑁 → ∞𝑊� = 𝑉[𝑍�′∆𝑣�]�� = 𝐸[𝑍�′∆𝑣�𝑣�′𝑍�]�� ...(3.51) Dalam kasus biasa, dimana tidak ada restriksi yang dikenakan terhadap matriks kovarian 𝑣�, matriks penimbang optimal dapat diestimasi menggunakan first-step consistent estimator bagi 𝛿 dan mengganti operator ekspektasi dengan rata-rata sampel yakni two step estimator
𝑊����� = [1/𝑁 ∑� 𝑍�′∆𝑣��∆𝑣��′𝑍�]
��� �� ...(3.52) Dengan ∆𝑣�� menyatakan vektor residual yang diperoleh dari first-step consistent estimator.
Pendekatan GMM secara umum tidak menekankan bahwa 𝑣��~ 𝑖𝑖𝑑 pada seluruh individu dan waktu, dan matriks penimbang optimal kemudian diestimasi tanpa mengenakan restriksi. Sebagai catatan bahwa, ketidakberadaan autokorelasi dibutuhkan untuk menjamin validitas kondisi momen. Oleh karena pendugaan matriks penimbang optimal tidak terestriksi, maka dimungkinkan (dan sangat
dianjurkan bagi sampel berukuran kecil) menekankan ketidakberadaan autokorelasi pada 𝑣�� dan juga dikombinasikan dengan asumsi homoskedastis. Dengan catatan di bawah restriksi
𝐸�∆𝑣�𝑣�′� = 𝜎��𝐺 = 𝜎��� 2 −1 0 … −1 2 ⋱ 0 0 ⋮ ⋱0 −1⋱ −12 � ...(3.53) matriks penimbang optimal dapat ditentukan sebagai (one step estimator)
𝑊����� = [1/𝑁 ∑� 𝑍�′𝐺𝑍�]
��� �� ...(3.54) Sebagai catatan bahwa (3.54) tidak mengandung parameter yang tidak diketahui, sehingga penduga GMM yang optimal dapat dihitung dalam satu langkah bila error 𝑣�� diasumsikan homoskedastis dan tidak mengandung autokorelasi.
Jika model data panel dinamis mengandung variabel eksogenus, maka persamaan (3.34) dapat dituliskan kembali menjadi
𝑦�� = 𝑥��′ 𝛽 + 𝛿𝑦�,���+ 𝜇�+ 𝑣�� ...(3.55) Parameter persamaan (3.55) juga dapat diestimasi menggunakan generalisasi variabel instrumen atau pendekatan GMM. Bergantung pada asumsi yang dibuat terhadap 𝑥��, sekumpulan instrumen tambahan yang berbeda dapat dibangun. Bila 𝑥�� strictly exogenous dalam arti 𝑥�� tidak berkorelasi dengan sembarang error 𝑣��, akan diperoleh
𝐸[𝑥��, ∆𝑣��] = 0; untuk setiap s dan t ...(3.56) sehingga 𝑥�, … , 𝑥�� dapat ditambah ke dalam daftar instrumen untuk persamaan first difference setiap periode. Hal ini akan membuat jumlah baris pada 𝑍� menjadi besar. Selanjutnya, dengan mengenakan kondisi momen
𝐸[∆𝑥��, ∆𝑣��] = 0; untuk setiap t ...(3.57) Matriks instrumen dapat dituliskan sebagai
𝑍�= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�𝑦��, ∆𝑥��′ � 0 ⋯ 0 0 �𝑦��, 𝑦��, ∆𝑥��′ � ⋯ 0 ⋮ 0 0⋮ ⋯⋱ �𝑦��, … , 𝑦 ⋮�,���, ∆𝑥���⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ...(3.58)
Bila variabel 𝑥�� tidak strictly exogenous melainkan predetermined, dalam kasus di mana 𝑥�� dan lag 𝑥�� tidak berkorelasi dengan bentuk error saat ini, akan diperoleh 𝐸[𝑥��, ∆𝑣��] = 0, untuk s ≥ t. Dalam kasus dimana hanya 𝑥�,���, … , 𝑥��
instrumen yang valid bagi persamaan first difference pada periode t, kondisi momen dapat dikenakan sebagai
𝐸�𝑥�,���∆𝑣��� = 0; 𝑗 = 1, … , 𝑡 − 1, ∀𝑡 ...(3.59)
Dalam prakteknya, kombinasi variabel x yang strictly exogenous dan predetermined dapat terjadi lebih dari sekali. Matriks 𝑍� kemudian dapat disesuaikan.
3.3. Spesifikasi Model