Definisi Dasar dalam Aljabar dan Teori Koding

2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Dasar dalam Aljabar dan Teori Koding

Berikut adalah definisi dan teorema dasar dalam aljabar yang melandasi teori koding.

2.1.1 Definisi: Ruang Vektor

Misalkan F_q merupakan lapangan hingga dengan order

q

. Himpunan tak kosong V (dengan penjumlahan vektor dan perkalian skalar oleh elemen F_q) merupakan ruang vektor dari F_q jika untuk semua

u v V,

∈

dan untuk semua

, Fq

λ μ

∈ , berlaku: i. u+ ∈v V

ii.

(

u+ + = + +v

)

w u

(

v w

)

iii.

∃ unsur 0∈V dimana 0+ = = + ∀ ∈v

v

v

0,

v V

iv. ∀ ∈u V, ∃− ∈u V dimana 0u+ − = = − +

( )

u

( )

u u v. u v+ = +v u

vi.

λ

⋅ ∈v V

vii. λ⋅ +

(

u v

)

= ⋅ + ⋅λ u λ v viii.

( )

λμ ⋅ =u λ μ

(

⋅u

)

ix. Jika 1 merupakan unsur identitas untuk perkalian di F_q, maka

1⋅ =u u

(Ling & Xing, 2004)

2.1.2 Definisi: Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar di F_qn Misalkan didefinisikan ruang vektor n

q F atas F_q, yaitu:

(

)

{

| 1, 2, 3, , ;

}

n q n i q F = u u= u u u … u u ∈F . Misalkan pula V =

(

v v₁, ₂,…,v_n

)

∈F_qn,

(

1, 2, ,

)

n n q

W = w w … w ∈F , dan

λ

∈F_q. Maka penjumlahan vektor di n q

8

didefinisikan sebagai U+W =

(

v₁+w v₁, ₂+w₂,…,v_n+w_n

)

∈F_q, sedangkan perkalian skalar didefinisikan sebagai λ⋅ =v

(

λ λv₁, v₂,…,λv_n

)

∈F_qn.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.3 Definisi: Subruang (Subspace)

Suatu himpunan tak kosong C dari ruang vektor V merupakan subruang (ruang bagian) dari V jika C merupakan ruang vektor dan memiliki sifat penjumlahan vektor dan perkalian vektor yang sama dengan V .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.4 Proposisi 1

Suatu himpunan tak kosong C yang merupakan himpunan bagian dari

ruang vektor V atas F_q merupakan subruang jika dan hanya jika untuk

, & , F ,q x y C

λ μ

∀ ∈ ∈ berlaku

λx+μy C∈

.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.5 Definisi: Kombinasi Linear

Misalkan V merupakan ruang vektor atas F_q,

λ

_i∈F_q sembarang, maka

1 1u 2u2 rur

λ +λ +_…+λ merupakan kombinasi linear dari u u₁, ₂,…,u_r∈V .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.6 Definisi: Bebas Linear

Misalkan V merupakan ruang vektor atas F_q, himpunan vektor

{

v v1, 2,…,vk

}

dalam V dikatakan saling bebas linear jika

1 1v 2v2 rvr 0

λ +λ +…+λ = mengakibatkan λ₁ =λ₂ =…=λ_r =0, dan tak bebas linear jika ada λ_i ≠0 yang mengakibatkan λ_{1 1}v +λ₂v₂+…+λ_rv_r =0.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.7 Definisi: Rentang Linear

Misalkan V merupakan ruang vektor atas F_q dan S =

{

v v₁, ₂,…,v_k

}

merupakan himpunan tak kosong dari V . Rentang linear dari S didefinisikan

9

sebagai S =

{

λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +…+λ_kv_k;λ_i∈F_q

}

. Jika S= ∅, didefinisikan

{ }

0

S = .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.8 Definisi: Basis

Misalkan V merupakan ruang vektor atas F_q. Himpunan tak kosong

{

1, 2, , k

}

B= v v … v dari V dikatakan basis untuk V jika V = B dan

B

bebas linear.

Misalkan B=

{

v v₁, ₂,…,v_k

}

basis untuk V , maka sembarang vektor v V∈ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor

B

secara unik.

2.1.9 Teorema 1

Misalkan V merupakan ruang vektor atas F_q. Jika dim

( )

V =k, maka: i. V memiliki _qk _elemen. ii. V memiliki

(

)

1 0 1 ! k k i i q q k − = −

∏

basis yang berbeda.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.10 Definisi: Hasil Kali Skalar

Misalkan V =

(

v v₁, ₂,…,v_n

)

∈F_qn, W =

(

w w₁, ₂,…,w_n

)

∈F_qn

. Hasil kali skalar (dot product/hasil kali euclidian) dari V dan W didefinisikan sebagai

1 1 2 2 n n q

V W⋅ =v w +v w + +… v w ∈F . Hasil kali skalar merupakan salah satu contoh dari hasil kali dalam pada n

g

F . Hasil kali dalam pada n

q

F didefinisikan sebagai pasangan terurut , :F_qn×F_qn→F_qyang memenuhi : ∀u v, ∈F_qn,berlaku

i. u+u w, = u w, + v w, . ii. u v, +w = u w, + v w, . iii. u v, =0 untuk semua n

q

u∈F jhj v=0. iv. u v, =0 untuk semua v∈F_qn jhj u=0.

10

2.1.11 Definisi: Komplemen Orthogonal

Misalkan

(

₁, ₂, ,

)

n,

(

₁, ₂, ,

)

n

n q n q

V = v v … v ∈F W = w w … w ∈F .

i. Vektor V dan W dikatakan saling tegak lurus (orthogonal) jika

0 V W⋅ = .

ii. Misalkan S merupakan himpunan bagian dari F_qn. Komplemen orthogonal dari S, yaitu

S

⊥ didefinisikan sebagai

{

_qn| 0,

}

S⊥ = v∈F v s⋅ = ∀ ∈s S . Jika S= ∅, didefinisikan n

q

S⊥ =F .

Jika S merupakan subruang dari ruang vektor n q

F , maka

S

⊥

merupakan subruang dari ruang vektor n q

F dan S ⊥ =S⊥.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.12 Teorema 2

Diberikan ruang vektor n q

F . Misalkan S himpunan bagian dari n q

F , maka

( )

( )

dim S +dim S⊥ =n.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.13 Definisi: Kode Linear

Misalkan diberikan lapangan hingga F_q. Misalkan pula n q

F merupakan himpunan dari vektor-vektor atas F_q dengan panjang

n

. Kode linear C didefinisikan sebagai ruang bagian dari ruang vektor n

q

F . Kode linear C dengan panjang

n

dan dimensi k sering dinamakan q−ary n k

[ ]

, −code (kode linear dengan parameter

[ ]

n k, ). Jika jarak minimum d dari C diketahui, C dapat disebut kode linear dengan parameter

[

n k d, ,

]

. Atau biasa disebut kode linear-

[

n k d, ,

]

. Untuk selanjutnya, jika parameter dari suatu kode tidak ditekankan, cukup disebutkan bahwa C adalah suatu kode linear. Anggota dari C disebut dengan kata kode.

11

2.1.14 Definisi: Kode dual dan dimensi dari suatu kode Misalkan C merupakan kode linear, maka

i. Kode dual (dual code) dari C adalah

C

⊥, yang merupakan komplemen othogonal dari C.

ii. Dimensi dari kode linear Csama dengan dimensi Cdalam sudut

pandang subruang vektor atas F_q, yaitu dim

( )

C .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.15 Teorema 3

Diberikan ruang vektor n q

F . Misalkan C adalah kode linear dengan panjang

n

dan dimensi k di n q

F , maka:

i. Banyaknya unsur di C = dim( )

dim( ) log C

q

C =q ↔ C = C .

ii.

C

⊥ juga merupakan suatu kode linear dan dim( ) dim(C + C⊥)=n. iii.

( )

C⊥ ⊥ =C.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.16 Definisi: Self-orthogonal dan Self-Dual Misalkan C adalah kode linear.

i. C dikatakan self- orthogonal jika C ⊆C⊥. ii. C dikakatan self-dual jika

C C=

⊥.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.17 Proposisi 2

Misalkan C adalah kode linear dengan panjang

n

.

i. Jika C merupakan kode yang self-orthogonal, maka dim

( )

2 n C ≤ . ii. Jika C merupakan kode yang self-dual, maka dim

( )

2 n C = .

12

2.1.18 Definisi: Jarak Hamming (Hamming distance) Diberikan ruang vektor n

q

F atas lapangan F_q. Misalkan pula

x

dan

y

adalah anggota dari n q

F

(

x y, ∈F_qn

)

. Jarak Hamming antara

x

dan

y

yang dinotasikan dengan d x y

(

,

)

, didefinisikan sebagai berikut.

(

,

)

(

1, 1

)

(

2, 2

)

...

(

n, n

)

d x y =d x y +d x y + d x y , dengan

(

,

)

1 0 i i i i i i x y d x y x y ≠ ⎧ = ⎨ ₌ ⎩ .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.19 Definisi: Jarak minimum suatu kode (Minimum distance of a code) Misalkan C adalah kode linear yang memiliki kata kode lebih dari satu.

Jarak minimum untuk C, yang dinotasikan d C

( )

, didefinisikan sebagai

( )

min

{

(

,

)

| , ,

}

d C = d x y x y∈C x≠ y .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.20 Definisi: Bobot Hamming (Hamming weight) Diberikan ruang vektor n

q

F . Misalkan pula

x

∈ n q

F . Bobot Hamming (Hamming Distance), yang dinotasikan

wt x( )

didefinisikan sebagai jumlah koordinat/unsur yang tak nol:

( )

( , 0)

wt x =d x dengan 0 adalah vektor nol atau dapat pula didefnisikan sebagai berikut.

1 jika 0 ( ) ( , 0) 0 jika 0 x wt x d x x ≠ ⎧ = _{= ⎨} = ⎩ .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.21 Lema 1.

Diberikan ruang vektor n q

F . Misalkan , n q

x y∈F , maka

d x y( , )=wt x y(

−

)

. (Ling & Xing, 2004)

13

2.1.22 Lema 2

Misalkan diberikan bilangan prima

q

sembarang. Misalkan pula n q

F suatu ruang vektor atas F_q. Untuk sembarang , n

q

x y∈F , berlaku

( )

( )

(

)

( )

( )

wt x +wt y ≥wt x+y ≥wt x −wt y .

(Ling & Xing, 2004)

2.1.23 Definisi: Bobot Minimal Hamming

Diberikan kode linear C. Minimum Hamming weight (bobot minimal Hamming) dari C, dinotasikan wt C

( )

, didefinisikan sebagai bobot terkecil dari kata kode tak nol dari C.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.24 Teorema 4

Misalkan C adalah suatu kode linear, maka d C

( )

=wt C

( )

.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.25 Definisi: Operasi Baris Dasar

Diberikan lapangan hingga F_q. Misalkan

A

adalah matriks dengan elemen- elemen di F_q, yaitu A=

( )

a_ij , a_ij∈F_q. Matriks

A

dikatakan dikenakan operasi baris dasar (elementary row operation) jika

• Mempertukarkan baris ke-

i

dan ke- j.

• Mengalikan baris ke-

i

dengan suatu konstanta k≠0.

• Menambahkan baris ke-

i

dengan k kali baris ke- j.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.26 Definisi: Ekivalen baris

Misalkan A₁ dan A₂ adalah suatu matriks sembarang. Matriks A₁ dikatakan ekivalen baris (row equivalent) terhadap A₂ jika A₁ bisa diperoleh dari sekumpulan operasi baris dasar dari matriksA₂.

14

2.1.27 Definisi: Matriks Generator dan Matriks Cek Paritas Diberikan kode linear C.

i. G dikatakan matriks generator bagi kode linear C jika baris- barisnya merupakan basis untuk C.

ii.

H

dikatakan matriks cek paritas bagi kode linear C jika

H

merupakan matriks generator bagi kode dual

C

⊥.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.28 Definisi: Bentuk standar dari

H

dan G

Diberikan kode linear C. Misalkan

H

dan G , secara berturut-turut adalah matriks cek paritas dan matriks generator untuk kode linear C.

i. Bentuk standar untuk matriks generator G adalah

(

I_k |X

)

, dengan Matriks identitas berukuran

k

I = k×k.

ii. Bentuk standar untuk matriks cek paritas

H

adalah

(

Y I| _{n k−}

)

, dengan I_{n k−} = Matriks identitas berukuran

(

n− × −k

) (

n k

)

.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.29 Teorema 5

Diberikan kode linear C. Misalkan

H

adalah suatu matriks cek paritas bagi kode linear C, maka

i. d C

( )

(jarak minimum dari C) ≥d _{jika dan hanya jika} d−1 kolom dari

H

saling bebas linear.

ii. d C

( )

(jarak minimum dari C) ≤d _{jika dan hanya jika} d kolom dari

H

saling bergantung linear.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.30 Teorema 6

Diberikan kode linear C. Jika G=

(

I_k |X

)

adalah bentuk standar dari matriks generator untuk suatu kode C dengan parameter

[ ]

n k, , maka matriks cek paritas untuk kode C adalah H = −

(

XΤ|I_{n k}−

)

.

15

2.1.31 Definisi: Ekivalensi dari Kode Linear

Misalkan diberikan sembarang kode linear C₁ dan C₂. C₁ dan C₂dikatakan ekivalen jika salah satunya dapat diperoleh dari kode yang lain dengan cara mengkombinasikan operasi-operasi sebagai berikut.

i. Mempermutasikan digit-digit yang ada di kata kode tersebut. ii. Mengalikan posisi tertentu dengan skalar.

(Ling & Xing, 2004)

2.1.32 Teorema 7

Misalkan Cadalah suatu kode linear dengan matriks generator G . Kode C akan ekivalen dengan kode linear C' dengan matriks generator yang sudah dalam bentuk standar.

(Ling & Xing, 2004)