Deskripsi data

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi data

Data penderita kanker payudara diambil dari RSUP Dr. Soeradji Tirtonegoro meliputi data penderita dari tahun 2006 – 2009. Waktu tahan hidup penderita kanker payudara dihitung mulai dari penderita didiagnosa terkena kanker payudara sampai dinyatakan meninggal oleh dokter. Penderita kanker payudara yang pulang paksa, rawat jalan, dan sembuh dikategorikan sebagai data

commit to user

20

tersensor, sedangkan penderita kanker payudara yang diketahui lamanya waktu perawatan dari mulai didiagnosa menderita kanker payudara hingga dinyatakan meninggal oleh dokter di RSUP dikategorikan sebagai data tidak tersensor. Ringkasan data keseluruhan dan berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Ringkasan Data Penderita Kanker Payudara

Banyak Penderita Stadium

Tidak Tersensor Tersensor ^Jumlah

II 4 18 22

III 5 38 43

IV 7 47 54

Jumlah 16 103 119

4.2 Estimasi Kaplan – Meier

Untuk menganalisis data, tahap awalnya adalah bagaimana mengestimasi fungsi tahan hidup dari keempat kategori data dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier. Pada subbab ini akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu estimasi fungsi tahan hidup untuk keseluruhan data dan estimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium.

4.2.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup untuk Keseluruhan Data

Penaksir Kaplan-Meier dapat dilakukan pada n individu dengan k

kematian. Estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier dengan asumsi tidak terdapat observasi rangkap pada pada n sampel observasi dapat diperoleh sebagai berikut: Misal t1 < t2 < … < tk menggambarkan observasi waktu hidup dalam sampel berukuran n dari populasi homogen dengan fungsi tahan hidup Observasi waktu tahan hidup pada tj dibagi menjadi k interval yaitu dengan t₀ = 0 dan t_k+1 = ∞ untuk j = 0, 1, …, k. Distribusi waktu hidup yang memiliki fungsi tahan hidup adalah

commit to user

21

dengan d_j = jumlah kegagalan pada saat t_j dan n_j = jumlah

individu beresiko pada saat t_j .

Jika diasumsikan tidak terdapat observasi rangkap maka jumlah yang gagal dan

Didefinisikan adalah banyaknya observasi tersensor dalam interval I_j

pada waktu , maka

dengan j = 0,1,...,k.

Sehingga diperoleh fungsi hazard dari penaksir Kaplan-Meier adalah untuk j = 1, 2, …, k

diketahui fungsi hazard pada saat t₀ = 0 adalah .

Diasumsikan kegagalan individu – individu dalam sampel saling independen sehingga diperoleh yang diestimasi dengan . Dengan maka estimasi fungsi tahan hidup dalam k

interval adalah

(4.1)

untuk j = 1, 2, …, k.

Estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier pada saat t₀ = 0 adalah 1.

Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier dapat juga dengan menggunakan estimasi maksimum likelihood sebagai berikut.

Estimasi Kaplan - Meier dari didefinisikan seperti pada persamaan (2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu terjadinya kematian

commit to user

22

yang berbeda t₁ < t₂ < ... < t_k, dengan d_j banyaknya kematian pada saat t_j. Pada interval terdapat mj waktu pengamatan tersensor, dinyatakan dengan L^ji

dan t₀ = 0, t_k+1 = ∞, j =0,1, 2, ..., k. Fungsi likelihoodnya dapat dinyatakan sebagai

(4.2) Persamaan (4.2) akan dimaksimumkan dengan membuat dan

besar dan kecil. Misal diasumsikan , dinyatakan dan

untuk semua i dan j. Misal =Pjsehingga persamaan (4.2) menjadi

dengan (4.3)

Dengan memisalkan dan diberikan

dan maka persamaan (4.3) menjadi

. (4.4) Logaritma dari persamaan (4.4) adalah

commit to user

23

Turunan parsial dari persamaan (4.5) terhadap adalah

. (4.6)

Untuk memperoleh estimasi dari p_j maka persamaan (4.6) sama dengan nol agar L maksimum,

.

Oleh karena n_j > 0, 0 < d_j < n_j, dan 0 < p_j < 1, maka nilai

untuk setiap j. Agar , maka untuk

setiap j , sehingga

. (4.7)

Estimasi maksimum likelihood dari P_j adalah sehingga diperoleh estimasi fungsi tahan hidup secara keseluruhan adalah

. (4.8) Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara secara keseluruhan dapat dilihat pada Lampiran 2.

4.2.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup Berdasarkan Kalsifikasi Stadium

Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara digunakan estimasi fungsi tahan hidup . Berdasarkan fungsi tahan hidup pada persamaan (2.6) untuk variabel random diskrit, dapat diubah untuk klasifikasi berdasarkan c stadiumyaitu :

commit to user

24

. (4.9)

Persamaan (2.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.9) menjadi

. (4.10) Hubungan antara fungsi hazard berdasarkan klasifikasi stadium dengan fungsi hazard secara umum adalah

.

Pada landasan teori telah disebutkan bahwa fungsi hazard merupakan laju

kematian sesaat pada waktu t sehingga estimasi fungsi hazard tersebut

, dengan d_j adalah banyaknya kematian pada saat t_j .Banyaknya kematian saat t_j

pada klasifikasi stadium c adalah dcj, maka estimasi fungsi hazard pada stadium c

adalah

.

Sehingga diperoleh estimasi fungsi hazard berdasarkan klasifikasi stadium adalah

dengan d_cj merupakan jumlah kematian pada saat t_j dengan klasifikasi data c. Estimasi dari persamaan (4.10) adalah

commit to user

25

. (4.11)

Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.

4.2.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup

Langkah selanjutnya dalam menganalisis data adalah membuat plot estimasi fungsi tahan hidup terhadap waktu tahan hidupnya. Langkah ini berfungsi untuk melihat kecenderungan estimasi fungsi tahan hidup terhadap waktu yang semakin lama dan dapat melihat dengan jelas perbedaan antara hasil estimasi fungsi tahan hidup untuk setiap stadium kanker payudara.

Berdasarkan estimasi pada persamaan (4.8) dan (4.11), dengan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 2, diberikan plot estimasi fungsi tahan hidup untuk keempat kategori data terhadap waktu hidupnya, seperti terlihat pada Gambar 4.1 sampai dengan Gambar 4.4

0 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.4 0.6 0.8 1 S ` t Keseluruhan Data

commit to user 26 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 S ` ¹ t Stadium II

Gambar 4.2 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium II 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 S ` ² t Stadium III

Gambar 4.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium III

commit to user 27 0 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 S ` ³ t Stadium IV

Gambar 4.4 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium IV

Dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan Gambar 4.4 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama menderita kanker payudara maka semakin kecil probabilitas pasien penderita kanker payudara untuk bertahan hidup. Secara keseluruhan, probabilitas penderita kanker payudara dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 22,879%. Sedangkan probabilitas penderita kanker payudara stadium II dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 42%, stadium III sebesar 25,421%, dan stadium IV sebesar 11,439%.

4.2.4 Estimasi Variansi Kaplan – Meier

Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup Kaplan – Meier pada persamaan (4.1) diperoleh hasil

maka variansi untuk adalah

. (4.12)

Misal pada percobaan binomial dengan parameter nj dan pj dengan pj adalah probabilitas tahan hidup setelah interval Ij dengan syarat hidup setelah

commit to user

28

interval I_j-1. Jumlah observasi yang dapat bertahan adalah sebanyak n_j – d_j, dengan menggunakan hasil variansi dari binomial variabel random maka diperoleh

. Oleh karena itu diperoleh variansi dari adalah

. (4.13) Variansi dari dapat diperoleh dengan menggunakan hasil umum dari perhitungan variansi dari fungsi variabel random. Variansi fungsi

variabel random dinyatakan dengan

(4.14) Menggunakan persamaan (4.14), perhitungan variansi adalah

(4.15)

dan mensubstitusikan persamaan (4.13) ke persamaan (4.15) maka diperoleh

(4.16) Dengan mensubstitusikan persamaan (4.16) ke persamaan (4.12) maka diperoleh

(4.17)

Aplikasi lebih lanjut dari persamaan (4.14) adalah

. (4.18)

Sehingga diperoleh nilai variansi estimasi fungsi tahan hidup Kaplan-Meier yaitu

. (4.19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.17) ke persamaan (4.19) maka diperoleh

(4.20)

Menurut Kleln (1997), kesalahan bakudari penaksir Kaplan-Meier adalah (4.21)

commit to user

29

Hasil estimasi variansi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.

4.3 Estimasi Berliner – Hill

Pada subbab ini akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu estimasi fungsi tahan hidup untuk keseluruhan data dan estimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium.

4.3.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup untuk Keseluruhan Data

Berliner-Hill merupakan distribusi prediktif nonparametrik untuk waktu hidup pasien baru yang diberikan perlakuan dengan tujuan estimasi fungsi tahan hidup berdasarkan pada An.

Menurut Hill (1992), spesifikasi langsung yang didefinisikan dengan A_n

memiliki 3 ketentuan yaitu:

1. Jumlah random T₁, T₂, …, T_nyang diamati dapat ditukar. 2. Ties (observasi rangkap) memiliki probabilitas 0.

3. Diberikan data t_j dengan j = 1, 2, …, n, probabilitas untuk observasi akan datang terjadi pada interval adalah untuk setiap j = 0, 1, 2, …, n. Hal ini berlaku untuk semua t₁,t₂, …, t_nyang mungkin.

Anggap terdapat n observasi yang terdiri dari k + l pasien. Misalkan waktu tahan hidup pasien adalah T₁, T₂, …, T_n yang merupakan vektor random yang menggambarkan waktu sebenarnya. Waktu tahan hidup dengan asumsi T₁, T₂, …, T_n dapat ditukar dan pada observasi rangkap memiliki probabilitas 0. Misalkan merupakan waktu kematian dan merupakan waktu tersensor. Sehingga data terdiri dari waktu kematian Tj = tj untuk j = 1, 2, …, k dan waktu sensor Tk+i > yi untuk i = 1, 2, …, l. Data dari pasien tersensor dapat ditulis sebagai berikut .

Konsep umum yang mendasari penggunaan An untuk analisis tahan hidup yaitu untuk setiap pasien tersensor akan meninggal tepatnya pada salah satu

interval Ij yang terbentuk berdasar pada k pasien yang mengalami kematian. Distribusi prediktif berhubungan hanya atas interval I_j di mana pasien

commit to user

30

tersensor akhirnya meninggal pada interval tersebut. Dikondisikan hanya pada interval di mana observasi tersensor terjadi. Untuk setiap observasi tersensor

yi, i = 1, 2, …, didefinisikan ui adalah nilai tidak tersensor terbesar (nilai t) sebelum yi , jika tidak ada maka ui = 0. Dengan kata lain, ui adalah indeks dari interval di mana y_i terjadi. Didefinisikan Informasi Sensor Sebagian (Partial

Censoring Information), disingkat menjadi PCI sebagai berikut

; i = 1, 2, ..., l.

Didefinisikan observasi tersensor tiap interval Ijadalah m(j), maka

dengan j = 0,1,...,k

Fungsi hazard dari penaksir Berliner-Hill adalah

untuk j = 0,1, 2, …, k. (4.22)

Estimasi Berliner – Hill untuk fungsi tahan hidup didasarkan pada fungsi tahan hidup model diskrit seperti pada persamaan (2.6) ,maka fungsi tahan hidup

Berliner-Hill didefinisikan sebagai berikut:

. (4.23) Berdasarkan PCI,

Untuk m(0) = 0 maka sehingga diperoleh hasil

Sedangkan jika waktu hidup pasien tersensor dengan asumsi pertukaran maka waktu hidup sensor dapat ditulis kembali menjadi T_k+1 , …,

T_k+m(0) di mana observasi m(0) adalah waktu hidup tersensor pada interval I₀ .

Berdasarkan informasi sensor sebagian, terjadinya sensor untuk observasi ini hanya T_k+i≥ 0, untuk i = 1, 2, …, m(0). Sehingga dapat dikatakan observasi yang

commit to user

31

terjadi pada j = 0 adalah sepenuhnya tidak informatif, maka observasi m(0) dapat dihapus dari perhitungan f(0). Dalam kasus ini, pengurangan jumlah observasi n – m(0) untuk jumlah tersesiko, jadi dapat dikatakan bahwa tidak ada observasi tersensor pada interval. Perhitungan dengan probabilitas bersyarat dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Pengurangan data dilakukan dengan menghapus kumpulan observasi sensor m(0) dalam interval I₀. Untuk perhitungan estimasi probabilitas prediktif

f(1)sampai f(k) ditunjukkan sebagai berikut:

Untuk j = 1 dan . Diberikan dengan observasi m(1) terjadi dalam interval I1 dan informasi sensor sebagian meletakkan t1 pada kejadian yang terjadi, seperti dalam kasus j = 0 dengan sensor diasumsikan tidak informatif sehingga observasi sensor m(1) dalam interval I1 dapat dihapus pada waktu perhitungan dilakukan. Diperoleh probabilitas bersyarat untuk probabilitas prediktif adalah

Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh rumus umum yaitu

(4.24)

Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara secara keseluruhan dapat dilihat pada Lampiran 2.

4.3.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup Berdasarkan Kalsifikasi Stadium

Untuk mengestimasi fungsi tahan hidup berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara digunakan estimasi fungsi tahan hidup . Berdasarkan fungsi tahan hidup pada persamaan (2.6) untuk variabel random diskrit, dapat diubah untuk klasifikasi berdasarkan c stadiumyaitu :

commit to user

32

. (4.25) Kemudian persamaan (4.24) tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (4.25) menjadi

(4.26) Persamaan (4.23) merupakan estimasi fungsi tahan hidup secara keseluruhan dengan mengabaikan klasifikasi data. Estimasi fungsi tahan hidup dengan mempertimbangkan klasifikasi data c adalah

(4.27)

Hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara berdasarkan klasifikasi stadium kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.

4.2.3 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup

Berdasarkan estimasi pada persamaan (4.23) dan (4.27), dengan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 2, diberikan plot estimasi fungsi tahan hidup untuk keempat kategori data terhadap waktu hidupnya, seperti terlihat pada Gambar 4.5 sampai dengan Gambar 4.8

0 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 S ` t Keseluruhan Data

commit to user 33 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 S ` ¹ t Stadium II

Gambar 4.6 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium II 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.3 0.4 0.5 0.6 S ` ² t Stadium III

Gambar 4.7 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium III 0 10 20 30 40 t

H

bulan

L

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 S ` ³ t Stadium IV

Gambar 4.8 Plot Estimasi Fungsi Tahan Hidup Penderita Kanker Payudara Stadium IV

commit to user

34

Dari Gambar 4.5, 4.6, 4.7, dan Gambar 4.8 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama menderita kanker payudara maka semakin kecil probabilitas pasien penderita kanker payudara untuk bertahan hidup. Secara keseluruhan, probabilitas penderita kanker payudara dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 33,635%. Sedangkan probabilitas penderita kanker payudara stadium II dapat bertahan hidup sampai 48 bulan adalah sebesar 42,15%, stadium III sebesar 25,627%, dan stadium IV sebesar 16,818%.

4.3.3 Estimasi Variansi Berliner – Hill

Dengan asumsi perhitungan proporsi binomial

sehingga diperoleh

(4.28)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.28) ke persamaan (4.12) maka diperoleh

(4.29)

Kemudian mensubstitusikan persamaan (4.29) ke persamaan (4.19) maka diperoleh

(4.30)

Oleh karena itu kesalahan baku dari penaksir Berliner-Hill diperoleh sebagai berikut

(4.31) Hasil estimasi variansi fungsi tahan hidup penderita kanker payudara dapat dilihat selengkapnya pada Lampiran 2.

commit to user

35