Determined Betta Coeficients of Structural Equation By

²

=

₁₃2

+ 1−

13² 12,3² (97)

di sini bagian variasi dalam Y yang dijelaskan oleh X2 dan X3 secara bersama merupakan jumlah dari 2 bagian :

Bagian yang dijelaskan oleh X2 saja ₁₂² dan bagian yang tak dijelaskan

oleh X2 =

1−

12² 3setelah

menjaga agar pengaruh X₂konstan. Now, ²> ₁₂2 selama _13,2²

> 0.

Kasus paling jelek, _12,3²

= 0

, di mana ²= ₁₂2.

5.9 Determined Betta Coeficients of Structural Equation By Crammer ( Menentukan Parameter Model 100 Variabel /Peubah)

Let, PRF

= ₁+ _{2 2}+ _{3 3}+ + +�

Then, the Normal Equation is :

= ₁+ _{2 2}+ _{3 3}+ +

2 = _{1 2}+ _{2 2}²+ _{3 2 3}+ + ₂

3 = _{1 3}+ _{2 2 3}+ _{3 3}²+ + ₃

= ₁ + _{2 3}+ + ²

In deviation form of mean, the equation become :

80

3 = _{2 2 3}+ _{3 3}2+ + ₃

= _{2 3}+ + ²

In matrixs form its write : 2 3

=

2² 2 3

…

2 2 3 3²

…

3 2 3

…

…

2 2 3

Regression coefficient obtain, yie :

2

=

2 2 3 … 2 3 3² … 3 3 … … 2 2² 2 3 … 2 2 3 3² … 3 2 3 … … 2 3

=

2² 2 … 2 2 3 3 … 3 2 … … 2 2² 2 3 … 2 2 3 3² … 3 2 3 … … 2

81

=

2² 2 3 … 2 2 3 3² … 3 2 3 … … 2² 2 3 … 2 2 3 3² … 3 2 3 … … 2 (98) 1

=

− 2 2− ₃ 3− − (99) that which, 2= ²− ² (100) = − (101) = − (102) Soal

1.Berikut data Produk bruto riil, masukan tenag kerja, dan masukan modal riil dalam sektor Produksi Taiwan.

Tahun Produk bruto riil (jutaan NT $),Y Masukan tena ga kerja (per 1000 orang), X2 Masukan modal riil (jutaan NT $),X3

82

(a)Cocokkan model berikut terhadap data tadi :

ln = ₀+ _12,3ln ₂ + _13,2ln ₃ +

= ₀+ _{12,3 2} + _{13,2 3} +

(b)Model mana yg.lebih baik?

(c)Bagaimana membandingkan nilai R² kedua model tsb. ?(hitunglah) ! (d)Berapa elastisitas hasil terhadap tenaga kerja dan modal untuk model

kedua ?

(e)Bagaimana hasil sektor produksi (industri) berbeda dari sektor pertain an ?

2.Diketahui kurva PHILIPS

= ₀+ _12,3 + _13,2 2+

di mana Y = tingkat perubahan upah (dalam) uang dan X = tingkat pengangguran .

Y dapat dihitung dengan mengurangkan tingkat hasil tahun sebelum

1958 8911,4 281,5 120,753 1959 10873,2 284,4 122,242 1960 11132,5 289,0 125,263 1961 12086,5 375,8 128,539 1962 12767,5 375,2 131,427 1963 16347,1 402,5 134,267 1964 19542,7 478,0 139,038 1965 21075,9 553,4 146,450 1966 23052,0 616,7 153,714 1967 26128,2 695,7 164,783 1968 29563,7 790,3 176,864 1969 33376,,6 816,0 188,146 1970 38354,3 848,4 205,841 1971 46868,3 873,1 221,748 1972 54308,0 999,2 239,715

83

nya dari tingkat hasil tahun ini dan membaginya dengan tingkat hasil

tahun lalu.

(a)Ujilah kurva apakah memberikan kecocokan yang baik terhadap data AS dalam Tabel berikut :

Tingkat pendapatan rerata per jam dan tingkat pengangguran sektor produksi (industri) total AS 1959-1971

Tahun Rerata pendapatan per jam, $ Tingkat pengang guran, % 1959 2,19 6,1 1960 2,26 6,2 1961 2,32 7,8 1962 2,39 5,8 1963 2,46 5,7 1964 2,53 5,0 1965 2,61 4,0 1966 2,72 3,2 1967 2,83 3,6 1968 3,01 3,3 1969 3,19 3,3 1970 3,36 5,6 1971 3,56 6,8

(b)Apa dasar pemikiran untuk memasukkan kuadrat timgkat pengang guran dalam model ? Secara apriori, apakah _13,2 positif atau nega tif ?

84

= ₀+ ₁ + di halaman 65 adalah nol? 4.Buktikan persamaan (93) dan (94) !

5.Buktikan persamaan (95) sampai (97) !

6.Tunjukkan bahwa _12,3= ²− 13² / 1− 13² dan interpretasikan persaman tersebut !

7.Tunjukkan bahwa _{12,3 23,1 31,2}

=

_{12,3 23,1 31,2} Secara umumn _31,2

≠

13,2tetapi _31,2

=

_13,2

8.Jika hubungan _{1 1}+ _{1 2}+ _{3 3}= 0 , dapatkan nilai ketiga koefisi en korelasi parsial!

9.Mungkinkah memperoleh hal berikut dari sekumpulan data? (a) ₂₃= 0,9. ₁₃=−0,2. ₁₂= 0,8.

(b) ₂₃=−0,9. ₃₁=−0,5. ₁₂= 0,6. (c) ₂₁= 0,01. ₁₃= 0,66. ₂₃=−0,7.

10. Perhatikan fungsi permintaan uang sederhana sbb.:

=

₀ 1 2

di mana = pa

da saat t. = pada saat t,

dan = .

(a)Dengan data berikut, taksirlah elastisitas jumlah saldo kas riil ter hadap jumlah pendapatan riil dan tingkat bunga jangka panjang. (b)Dari pada mencocokkan fungsi permintaan tadi dipilih

mencocok kan model / = , bagaiman

menginterpretasikan hasil nya ? tunjukkan perhitungan yang diperlukan !

Data mengenai uang, pendapatan nasional,

dan deflator harga implisit untuk India, 1948 –1965 Tahun Uang nomi

nal (Croses Rupees) Pendapatan Bersih nomi nal (per 100 CR) Deflator Harga im plisit Tingkat Bunga jk. Panjang (%) 1948-49 1898,69 86,5 100,00 3,01

85

49-50 1880,29 90,1 102,15 3,07 50-51 1979,49 95,3 107,68 3,15 51-52 1803,79 99,7 109,56 3,41 52-53 1764,71 98,2 103,81 3,66 53-54 1793,97 104,8 104,49 3,64 54-55 1920,63 96,1 93,48 3,70 55-56 2216,95 99,8 95,23 3,74 56-57 2341,89 113,1 102,82 3,99 57-58 2413,16 113,9 104,59 4,18 58-59 2526,02 126,9 108,15 4,13 59-60 2720,22 129,5 109,19 4,05 60-61 2868,61 141,4 111,19 4,06 61-62 3045,82 148,0 113,32 4,16 62-63 3309,98 154,0 115,70 4,49 63-64 3752,12 172,1 123,19 4,66 64-65 4880,06 200,1 132,96 4,80

Catatan: untuk merubah jumlah nominal ke dalam jumlah riil, bagilah jumlah nominal dengan deflator harga impilisit !

11. Jika _{1 1}+ _{1 2} = ₃ , di mana _{1 2} konstanta, tunjukkan bahwa ketiga korelasi parsial secara angka sama dengan 1, _13,2 memiliki tanda (sama dengan) ₁, _23,1 memiliki tanda ₂ , dan _12,3 memiliki tanda berlawanan dengan ₁/ ₂.

12. Dari data berikut taksirlah koefisien regresi parsial, kesalahan standarnya, dan nilai R² yang disesuaikan dan tak disesuaikan :

= 367,693 ₂= 402,760 ₃= 8,0

− 2= 66042,269 2 − 2 ²= 84855,096

− 2 − 2 = 74778,346

3 − 3 ²= 280,000 − 3 − 3 = 4250,900

86

13. Dalam kasus 3-peubah ada 3 koefisien korelasi derajat-0 ₁₂, ₁₃, ₂₃

dan 3 koefisen derajat-112,3, _13,2, _23,1 .

Berapa banyak korelasi derajat-0, dan derajat-1 yang diperoleh dalam kasus 4-peubah? Dalam kasus n-peubah ?

Petunjuk : kasus 3-peubah  3

2

=

₂3

=

^3!

2!3−2!

=

^3.2 2.1

=

3.

14. Buktikan bahwa _12,3²

=

_{12,3 21,3} dan interpretasikan! Dapatkah hal serupa diperoleh untuk kasus 2-peubah?

15. Tunjukkan bahwa varians dari _{12,3 13,2}pada (65) dan (67) dapat juga dinyatakan sbg.:

_12,3 = �2 2 2

1−

23² di mana ₂₃= _{2 3}. Petunjuk : ₂₃²

=

2 3 ²

/

2² 3²

.

BAB 6

INFERENSI REGRESI MAJEMUK

6.1 Asumsi Normal

Jika tujuan adalah menaksir dan menarik kesimpulan, maka perlu mengasumsikan bahwa mengikuti sebuah distribusi probabilitas.

87

= 0

2 =�2 .

Dan penaksir

12,3, _13,2 , _1,23 dengan sendirinya didistribusikan secara normal denganrerata :

12,3 = _12,3 , 13,2 = _13,2 ,dan 1,23 = _1,23 sebenar nya dari varians yang disebutkan di depan.

Selanjutnya,

−3

�

2

/

�2

mengikuti distribusi �2 = −3 , dan 3 penaksir OLS disitribusikan secara bebas dari � 2 .

sama seperti kasus 2-peubah, dengan mengganti �2 dengan penaksir tak biasnya

� 2 ke kesasalahan standar, maka peubah

=

^{1,23− 1,23} 1,23 (103)

=

^{12,3− 12,3} 12,3 (104)

=

^{13,2− 13,2} 13,2 (105)

88

Pada saat menghitung ² , dihitung � 2 yang mula-mula menaksir 3 koefisien regresi parsial dengan meletakkan 3 pembatasan pada

jumlah kuadrat residual (RSS) .

Karenanya, distribusi t dapat digunakan menetapkan selang keyakinan mau pun sebuah pengujian hipotesis yang bersifat sttistik mengenai koefisien regresi parsial populasi yang sebenarnya.

Distribusi �2 dapat digunakan untuk menguji hipotesis mengenai �2 sebenar nya.

Contoh Illustrasi

Misalnya ingin dipelajari perilaku belanja konsumsipersonil di AS selam beberapa tahun yang lalu.

Modelnya ,

2, ₃ = _1,23+ _{12,3 2} + _{13,2 3} (106)

di mana = ,

3= ( ) yang dibelanjakan personil (PDI) dan

3= ( trend).

Alasan penggunaan data waktu :

i. Mungkin hanya untuk mendapatkan bagaimana peubah tak bebas berperilaku sepanjang waktu.

Untuk melihat trend nya ke atas atau ke bawah atau taka da trend.

ii. Banyak peubah trend hanya sebagi pengganti peubah dasar yang memengaruhi Y. Tapi mungkin peubah dasar ini tak dapat diamati, mungkin karena data tak tersedia atu sulit diperoleh.

Contoh teknologi dalam teori produksi, diasumsikan bahwa teknologi adalah fungsi dari waktu. Waktu X2mungkin dengan secara baik mewakili populasi, PCE keseluhan meningkat seiring dengan peningkatan populasi, mungkin populasi mempunyai hubungan liniir sangat baik dengan waktu.

89

Tabel Belanja konsumsi personil dan pendapatan yang dapat dibelanjakan personil di AS 1958-1970 dalam milyar dolar

PCE,Y PDI,X2 Waktu,X3

281,3 309,3 1956=1 288,1 316,1 1957=2 290,0 318,8 1958-3 307,3 333,0 1959=4 316,1 340,3 1960=5 322,5 350,5 1961=6 338,4 367,2 1962=7 353,3 381,2 1963=8 375,7 408,1 1964=9 397,7 434,8 1965=10 418,1 458,9 1966=11 430,1 477,5 1967=12 452,7 499,0 1968=13 469,1 513,5 1969=14 476,9 533,2 1970=15

Dari Tabel model diuji. Garis regresi yang ditaksir adalah sbb.:

= 53,1603 + 0,7266 ₂ + 2,7363 ₃ 13,0261 0,0487 0,8486

= 4,0811 14,9060 3,3246

90

Jika _{2 3}= 0, maka nilai rerata belanja konsumsi

personilmendekati 53,16 Milyar dollar tahun 1958.

Koefisien regresi parsial 0,7266 berarti, dengan menjaga agar senua agar semua peubah lain konstan , denga meningkatnya pendapat personil, misalnya , dengan 1$, ,maka rerata belanja konsumsi meningkat kira-kira 73 sen..

Nilai ²= 0,9988 menunjukkan bahwa kedua peubah yang menjelasakan menerangkan sekitar 99,9% variasi dalam belanja konsumsi personil di AS selama periode 1956 –1970.

Setelah menghitung derajat kebebasan , diperoleh R² yang disesuaikan menun jukkan, _{2 3} masih menjelaskan 99,8% dari variasi dalam Y.

6.2 Uji Hipotesis

Seperti disebut tadi ~ 0,�2 , maka dapatlah uji t digunakan me nguji hipotesiskoefisien regresi parsialindividual(tidak bersama-sama).

Didalilkan sbb.:

0: _12,3 = 0 dan ₁: _12,3≠0

Hipoteisi nol menyatakan bahwa, dengan menjaga X3 konstan, pendapatan yang dapat dibelanjakan personil tidak mempunyai pengaruh (liniir) atas belanja konsumsi personil.

Untuk menguji hipotesis nol, digunakan ujit seperti persamaan (104).

Jika nilai t hitung > nilai t kritis pada tingkat penting (signifikan) yang dipilih, maka hipotesis nol ditolak.

Diperoleh,

=

^0,7266 −0

0,0487

=

14,9060

91

Catatan : digunakan uji dua ujung (two-tails), karena nilai t yang dihitung 14,906 jauh melebihi nilai kritis = 2,170, maka tolak H0 dan mengatakan bahwa _12,3 penting secara statistik, yaitu penting (signifikan) berbeda dari nol.

Dengan grafik :

Selang Keyakinan

Ada hubungan yang erat antara pengujian hipotesis dan

penaksiran selang keyakinan.

Selang keyakinan 95% untuk _12,3 , adalah

+2,170 –2,170 t = 14,91 ter letak di dalam daerah kritis 2,5 % Daerah kritis 2,5 % 95 % Daerah penerimaan

t

f(t) K e p ad atan

92

12,3

−

/2

12,3

≤

12,3≤ 12,3

−

/2

12,3 (107)

Diperoleh.

0,7266−2,179 0,0487 ≤ 12,3≤0,7266 + 2,179 0,0487

yi. 0,6205≤ 12,3≤0,8327

jadi, _12,3 terletak antara 0,6205 0,8327 dwengan koefisien keyakinan 95%.

Jika 100 sampel berukuran 15 dipilih dan 100 selang keyakinan seperti

12,3± _/2 12,3 disusun, diharapkan 95% dari selang keyakinan tadi untuk berisi parameter populasi sebenarnya yaitu _12,3 .

Karena nilai yang dihipotesiskan nol, di mana nol tidak terrletak dalam

selang, maka hipotesis nol , _12,3 = 0 ditolak dengan koefisien keyakinan 95%.

Apakah Anda memilih Uji t atau selang keyakinan, simpulannya sama saja.

6.3 Uji Arti Keseluruhan Regresi Sampel

Perhatikan hipotesis

0: _12,3 = _13,2= 0 (108)

Hipotesis nol ini adalah sebuah hipotesis gabungan bahwa _{12,3 13,2} secara gabungan (simultan) sama dengan nol.

Disebut uji arti keseluruhan (overall significance) dari garis regresi yang diamati atau ditaksir, yaitu, Apakah Y berhubungan secara liniir dengan X₂ dan X3 kedua-duanya.

93

Uji parsial (individu) diasumsikan secara implisit menggunakan sampel berbe da.

Pendekatan Analisis Varians untuk Uji Arti Keseluruhan

Analisis Varians (ANOVA), perhatikan identitasnya :

2= _{12,3 2} + _{13,2 3} + ² (109)

= +

TSS mempunyai = −1 dan RSS mempunyai = −3, ESS mempunyai derajat kebebasan 2 karena merupakan fungsi dari _12,3 dan

13,2. Tabelnya :

Tabel ANOVA 3-Peubah Sumber variasi SS Df MSS Akibat regresi (ESS) 12,3 2 + _13,2 3 2 12,3 2 + _13,2 3 2 Akibat Residual (RSS) 2 _________________________ N –3 ____

�

2

=

2 −3 Total 2 N –1

Now, berdistribusinormal dan hipotesis nol _12,3= _13,2= 0 , maka peubah

=

12,3 2+ _{13,2 3} /2

94

didistribusikan sebagai distribusi F dengan derajat kebebasan 2 dan N –3. Dengan asumsi ~ 0,�2 ,dapat dibuktikan

2

−3 = � 2 =�2 (111)

Dengan tambahan asumsi bahwa _12,3= _13,2 = 0 dapat ditunjukkan bahwa

_{12,3 2}+ _{13,2 3}

2

=

�2 (112)

Baik persamaan (111) dan (112) memberikan taksiran yang identic dari

�2yang sebenarnya.

Jika nilai F yang dihitung > nilaiF kritis dari Tabel F pada tingkat arti  %, maka tolak H0 . Contoh Sumber variasi SS df MSS Akibat regresi 65.965,1003 2 32.982,5502 Akibat residual 77,1690 12 6,4308 Diperoleh,

=

^32.982,5502_6,4308

=

5128,8781

95

0,05 2,12 = 3,89, jadi H0 ditolak.

6.4 Hubungan Penting antara R² dan F

Telah diketahui

=

^/2

/ −3

(113)

didistribusikan sesuai dengan distribusi F dengan tingkat kebebasan 2 dan

N –3.

Dlam kasus k –peubah

0: _{12,34,… ,} = _{13,24,… ,} = = _{1 ,23,… , −1}= 0 (114)

akibatnya

=

^/ −1

/ −

⁽¹¹⁵⁾

mengikuti distribusi F dangan tingkat kebebasan k –1 dan N –k.

=

⁻ −1

=

⁻ −1 −

=

^{− /} −1 1− /

=

^{− 2} −1 1− 2

96

=

^2/ −1

1− 2 / −

⁽¹¹⁶⁾

di mana digunakan definisi ²= / . persamann (116) menunjjukkan hubungan F dan ².

Pada saat ²

= 0 = 0 ;

²

= 1 =

Menguji hipotesis (114) ekivalen dengan menguji ₀: ²= 0 (populasi). Untuk kasus 3-peubah :

=

^2/2

1− 2

/ −3 (117)

Tabel ANOVA dalam R2

Sumber variasi SS df MSS Akibat regresi 2 2 2 2 2 2 Akibat residual ¹− 2 2 _______________ N –3 _____ 1− 2 2 −3 Total 2 N –1 Soal

1.

Lihat soal no.1 BAB 5

(a) Apakah _12,3 dan _13,2 secara individual penting secara statistik ?

97

(b) Apakah keduanya secara atatistik berbeda dari 1?

(c) Apakah _{12,3 13,2} secara individual penting secara statis tik?

(d) Apakah data mendukung hipotesis bahwa _12,3 = _13,2= 0 (e) Ujilah hipotesis bahwa _12,3= _13,2= 0

(f) Bagaimana Anda menghitung elastisitas output dari tenaga kerja dan model untuk model pertama? Bagaimana pula untuk model kedua?

(g) Model mana yang lebih Anda sukai? (h) Bandingkan R² dari kedua model !

Gunakan tingkat 5%

2. Untuk soal no.2

(a) Ujilah signifikan keseluruhan dari regresi yang ditaksir ? (b) Berapakah kontribusi tambahan dari ²?

(c) Apakah Anda akan tetap memasukkan ² dalam model atas dasar pengujian F ? Bagaimanapula atas dasar R² .

3.

Dengan mengasumsikan bahwa Y dan ₂, ₃,… , didistribusikan secara normal gabungan dan hipotesis nol bahwa korelasi parsial un tuk populasi secara individual sama dengan nol. R.A.FISHER telah menunjukkan bahwa

=

^{12,34, … , − −2}

1−12,34 , ² … ,

mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan − −2 di mana

k adalah koefisien korelasi parsial derajat ke-k dan di mana N

adalah jumlah totalobservasi. (Catatan : _12,3adalah koefisien korelasi parsi al derajat-1, _12,34adalah koefisien korelasi parsial kedua, dst.)

Lihat soal no.12. Dengan asumsi Y dan X2 dan X3 didistribusikan se cara normal gabungan, hitunglah ketiga korelasi parsial

12,3, _13,2dan _23,1 dan ujilah arti pentingnya dengan hipotesis bahwa korelasi populasi yang berhubungan secara individual sama dengan nol.

98

4.

Dalam mempelajari permintaan untuk traktor pertanian di AS untuk periode 1921-1941 dan 1948-1957, GRILICHHES mendapatkan ha sil sbb.:

log = −0.519 log ₂ −4,933 log ₃ 2= 0,793.

0,231 0,477

di mana = pada 1 Januari, dalam

1925-1939, ₂= untuk traktor

dibagi dengan indeks harga yang diterima untuk semua hasil panen

pada waktu t –1 , ₃= pada tahun

t –1, dan dimana standar yang ditaksir diberikan dalam tanda kurung.

(a) Interpretasikan regresi tadi

(b)Apakah koefisien kemiringan yang ditaksir secara individual penting secara statistik? Apakah koefisien tadi berbeda secara penting dari 1 ? (c) Gunakan teknik ANOVA untuk menguji pentingnya regresi secara kese

luruhan.

Petunjuk :gunakan varians R² dari ANOVA.

(d)Bagaimana menghitung elastisitas tingkat bunga dari permintaan untuk traktor pertanian?

(e) Bagaimana menguji pentingnya atau signifikan R2 yang ditaksir ?

BAB 7

PENYIMPANGAN ASUMSI MODEL KLASIK

Asumsi Model Klasik

Asumsi 1 Nilai rerata bersyarat dari unsur ganguan populasi ui,tergantung ke pada nilai tertentu peubah yang menjelaskan (X) adalah nol.

Asumsi 2 Varians bersyarat dari ui adalah konstan atau homoskedastik.

99

Asumsi 4 Peubah yang menjelaskan adalah nonstokastik (yaitu, tetap dalam

penyampelan berulang) atau, jika stokastik, didistribusikan secara independen dari gangguan ui.

Asumsi 5 Tidak ada multikoliniritas di antara peubah yang menjelaskan X.

Asumsi 6 u didistribusikan secara normal dengan rerata dan varians yang di berikan oleh Asumsi 1 dan 2.

Dengan Asumsi-asumsi, penaksir OLS adalah penaksir tak bias li niir terbaik (BLUE) dan dengan asumsi kenormalan, didistribusikan secara

normal. Sehingga diperoleh penaksir selang untuk menguji hipotesis

mengenai koefisien regresi popolasi sebenarnya..

Penyimpangan asumsi hanya memengaruhi intersep regresi.

7.1 Multikoliniritas

Sifat Dasar

Istilah multikoliniritas mula-mula ditemukan RAGNAR FRISCH (1934).

Artinya adanya hubungan liniir yang “sempurna” atau pasti, di antara bebe

rapa atau semua peubah yang menjelaskan dari model regresi..

Sebuah hubungan liniir yang past dikatakan jika kondisi berikut dipenuhi :

1 1+ _{2 2}+ + = 0 (118)

di mana ₁, ₂,… , adalah konstanta sedemikian sehingga tidak semuanya secara simultan sama dengan nol.

100

Hubunga koliniritas dapat juga dituliskan :

1 1+ _{2 2}+ + + = 0 (119)

di mana adalah unsur kesalahan stokhastik.

Untuk melihat perbedaaan, antara multikolinir sempurna dan kurang sempur na, misalnya, ₂≠0. Maka

2 =− 1

2 1 − 3

2 3 − −

2 (120)

Koefisien antara peubah X2 dan kombinasi liniir di sisi kanan sama dengan satu (korelasi sempurna).

Atau dapat ditulis menjadi

2 =− 1

2 1 − 3

2 3 − −

2 + ¹

2 (121)

yang menunjukkan bahwa X2 bukan kombinasi liniir yang pasti dari X lainnya, karena juga ditentukan oleh unsur lain, kesalahan stokhastik (tidak sempur na).

Contoh, perhatikan data hipotesis berikut

X2 X3 X3* 10 50 52 15 75 75 18 90 97 24 120 129 30 150 152

101

Jelas bahwa ₂ = 5 ₂₃= 1.

3∗

₌

_{5 +}

23= 0,9959.

Bilangan random di sini 2,0,7,9,2 .

Multikoliniritas tidak hanya berhubungan liniir, ada juga non liniir:

= ₀+ _{1 1}+ _{2 1}2+ _{3 1}3+ (122)

Model regresi liniir klasik berasumsi tidak ada multikoliniritasan tara peubah X.

Karena, jika multikoliniritas sempurna, maka koefisien regresi tak tertentu

dan kesalahannya tak terhingga.

Jika multikoliniritas tak sempurna, maka memiliki kesalahan standar besar

(melebihi koefisien regresi), dengan demikian kofisien tak dapat ditaksir de ngan tepat.

Secara teori, sangat gampang memisahkan peubah, tetapi dalam prak tek (sampel) susah dipisahkan.

Contoh, antara data pendapatan dan kekayaan susah dipisahkan.

Orang kaya tentu banyak tanahnya (kekayaan), tapi orang yang banyak tanah nya pasti banyak pendapatannya.

Tetapi orang miskin, gampang memisahkan antara pendapatannya dengan ke kayaannya. Orang miskin sudah jelas tak punya asset, tapi mungkin dia punya pendapatan dari kuli kasar.

Artinya bagi orang kaya, sulit meentukan, yang mana asset, dan yang mana

pendapatan (koliniritas sempurna).

102

Dalam hal multikoliniritas sempurna, koefisien regresi tetap tak tertentu dan kesalahan standarnya tak terbatas.

=

_{12,3 2}

+

_{13,2 3}

+

(123) diperoleh _12,3

=

2 3² − 3 2 3 2² 3² − 2 3 ² (63) 13,2

=

³ 2² − 2 2 3 ₂2 ₃2 − 2 3 ² (64)

Asumsikan bahwa ₃ = ₂, di mana ≠0. Substitusi ke (63) diperoleh :

_12,3

=

⁰

0 (124)

Jika X2 dan X3 koliniir secara sempurna, maka taka da cara untuk membuat X3 tetap konstan.

Untuk varians diperoleh :

_12,3 = 3²

₂² ₃² − 2 3 ²

�2 (65)

_13,2 = 2²

103

Substitusi ₃ = ₂ ke persamaan (65) diperoleh

_12,3

=

^�2

0

=

(125)

7.1.2Multikoliniritas Tinggi Tak Sempurna

Kembali ke persamaan (123) dan

₃ = ₂ + (126) Substitusi (126) ke (63) diperoleh 12,3

=

2 ₂2+ ² − ₂+ ₂2 2 2 ₂2+ 2 − ₂2 ² (127) di sini, ₂ = 0 .

Now, taka da alasan apriori bahwa (127) tak dapat ditaksir.

Dengan meningkatnya ₂₃ , maka varians dengan cepat meningkat.

Perhatikan, untuk ₂₃ 1 , kovarians antara _12,3 dan _13,2 cende rung menuju tak terhingga dan karenanya menjadi sulit untuk memisahkan pe ngaruh X2 dan X3 satu sama lain, sbb.:

12,3

,

_13,2

=

^−�2 23 1−23² ₂² ₃²

(128)

7.1.3Konsekuensi Multikoliritas Sifat-sifat Penaksir OLS

104

Jika asumsi model regresi liniir klasik dipenuhi, maka penaksirnya BLUE.

Ketidakbiasan adalah sifat multi sampel atau penyampelan berulang.

Dengan menjaga nilai peubah X tetap, diambil sampel berulang, maka nilai

rerata sampel akan menuju ke nilai populasi yang sebenarnya dari penaksir, dengan meningkatnya jumlah sampel.

Jadi benar bahwa koliniritas tak merusak sifat varians minimum (efisi en) (BLUE).

Multikoliniritas pada dasarnya phenomena sampel.

Artinya penaksir OLS adalah BLUE meskipun terdapat multikoliniritas.

Multikoliniritas Praktis

Jika koliniritas tajam tapi tak sempurna, konsekuensinya :

1. Meskipun penaksir OLS mungkin bisa diperoleh, kesalahan

standarnya cenderung semakin besar dengan meningkatnya tingkat korelasi antara peningkatan peubah. Seperti disebut dalam 7.1.2, dan berlaku untuk k-peubah.

2. Karena besarnya kesalahan standar, maka selangkeyakinan

untuk para meter populasi yang relevan cenderung untuk lebih besar.

Jadi dalam kasus 3-peubah, jika ₂₃= 0, dan diasumsikan �2 Diketahui, selang keyakinan 95% untuk _12,3 sbg.:

12,3−1,96 ^�2

2

2 ≤ 12,3≤ 12,3+ 1,96 ^�2

2

2 = 0,95(129)

105

12,3− 1,96 5,26 ^�2 2 2 ≤ 12,3≤ 12,3+ 1,96 5,26 ^�2 2 2 = 0,95 (130)

Jadi selang keyakinan yang terakhir lebih besar dari yang pertama de

ngan perkalian 5,26 = 2,29 , lebih besar dua kali.

3. Atas dasar 2, dalam kasus multikoliniritas tinggi, data sampel mungkin sesuai dengan sekelompok hipotesis yang berbeda-beda.

Jadi probabilitas untuk menerima hipotesis yang salah (yaitu kesalahan tipe II) meningkat.

4. Jika multikoliniritas tinggi, mungkin memperoleh R² yang tinggi tapi tak satupun koefisien yang ditaksir yang penting secara statis tik.

Contoh

Misalkan diasumsikan bahwa belanja konsumsi berhubungan liniir dengan pendapatan dan kekayaan, maka didasarkan Tabel berikut diperoleh :

= 24,7747 + 0,9415 ₂ −0,0424 ₃

6,7525 0,8229 0,0807

= 3,6690 1,1442 −0,5261

2= 0,9635 2= 0,9531 = 7

Data hipotesis belanja konsumsi Y, pendapatan X_2, dan kekayaan X3

Y,$ X2,$ X3, $

70 80 810

106

Hasil regresi menunjukkan bahwa pendapatan dan kekayaan secara bersama-sama menjelaskan sekitar 95% dari variasi dalam belanja konsumsi dan ternyata tak satupou koefisien kemiringansecara individual penting secara statistik. Juga mempunyai tanda yang salah.

Secara apriori diharapkan hubungan positif antara konsumsi dan kekayaan.

Meskipun 2 3 tak penting secara statistik.

Jika diuji hipotesis bahwa _{2 3}= 0secara simultan, hipotesis ini dapat ditto lak, perhatukan Tabel ANOVA , diperoleh :

Tabel Konsumsi pemderitaan kekayaan

Sumber variasi SS df MSS Akibat regresi 8565,5541 2 4282,7770 Akibat Residual 324,4459 7 46,3494

=

^4282,7770_46,3494

=

92,4019

sangat penting secara statistik.

Kedua peubah berkorelasi sangat tinggi sehingga pengaruh invidual tak dapat diisolasi.

90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686

107

7.1.4Deteksi Multikoliniritas

Metode deteksi :

1.Koliniritas sering diduga saat 2 tinggi (antara 0,7 dan 1).

Juga saat korelasi derajat nol juga tinggi, tapi sangat sedikit koef isien regresi parsial secara individual pentingatas dasar pengujian t

yang konvensional.

Jika ² tinggi, berarti uji F dalam sebagian kasus akan menolak hipotesis nolkoefisien kemiringan parsial secara simultan sebenarnya ada lah nol, meskipun uji-t sebaliknya.

2.Meski korelasi derajat nol tinggi mungkin mengusulkan koliniritas tidak perlu tinggi berarti mempunyai koliniritas dalam satu kasus spesifik. Sebab ini dapat terjadi meskipun korelasi sederhana relatif rendah (< 0,5).

Missal model 4-peubah :

= ₁+ _{2 2} + _{3 3} + _{4 4} +

dan misalnya

4 = _{2 2} + _{3 3}

di mana

2 3konstan, ≠ 0.

Jelas kombinasi liniir menghasilkan _4,232 = 1.

Now, dengan rumus (95)

²

=

12²+13²+23²−212 13 23 1−23² _4,23²

=

42²+ ₄₃2−2 _{42 43 23} 1− 23²

=

1 (131) diperoleh ₄₂= 0,5 , ₄₃= 0,5 , ₂₃=−0,5 .

3.Seharusnya tidak hanya melihat pada korelasi derajat-nol, harus juga

korelasi parsial.

Jika _1,2342 sangat tinggi, tetapi _12,342 , _13,242

14,23² relatif rendah ,ini menyarankan peubah X2, X3, dan X4 berinterkorelasi dengan

108

tingkat yang tinggi sekurang-kurangnya satu dari peubah ini berle bihan.

4.Untuk mengetahui peubah mana yang berhubungan dengan peubah lainnya dengan meregresi tiap Xi terhadap peubah X sisanya dan menghitung R² yang cocok.

Mengikuti hubungan F dan R² persamaan (116)

=

2 / −1 1− 2 / −

^,

=

²1, 2, … , / −2 1− ²_{1, 2, …} , / − +1 (132) mengikuti distribusi F. 7.1.5Perbaikan Petunjuk : 1. Informasi apriori. Misalnya model = ₁+ _{2 2} + _{3 3} + = , ₂= , ₃= .

Kekayaan dan pendapatan cenderung koliniir.

Misalnya secara apriori ₃= 0,10 ₂ ; yaitu tingkat perubahan kon sumsi sebagai akibat perubahan kekayaan.

Jadi

= ₁+ _{2 2} + 0,10 _{2 2} +

= ₁+ ₂ +

di mana = ₂ + 0,10 ₂.

109

Informasi apriori dapat diperoleh dari teori ekonomi, atau dari pene litian empiris sebelumnya di mana masalah koliniritas kurang serius.

2. Menghubungkan data cross-sectiononal dan time series.

Sebuah varians yang tidak ada hubungannya atau informasi apriori

yang disarankan sebelumnya adalah kombinasi dari cross-sectional dan data times series (urutan waktu), dikenal sebagai penggabungan data (pooling the data).

Misal ingin dipelajari permintaan mobil di AS dan mengasumsikan ada data

deretan-waktu mengenai banyaknya mobil yang dijual, rerata harga mobil,

dan pendapatan konsumen.

Misalkan juga bahwa

ln = ₁+ ₂ln + ₃ln +

di mana

= , = , = ,

dan = .

Tujuan adalah menaksir elastisitas harga 2 dan elastisitas pendapatan 3. Data deretan-waktu peubah harga dan pendapatan biasanya cenderung untuk sangat berkoliniir.

Menurut TOBIN jika ada data cross-section ( yang dihasilkan oleh panel konsu men dan atau penelitian anggaran yang dilakukan berbagai lembaga swasta atau pemerintahan), akan dapat diperoleh taksiran yang dapat dipercaya dari elastisitas permintaan 3, karena data seperti itu, pada satu titik waktu, harga tidak banyak berubah.

Dengan menggunakan taksiran, maka persamaan menjadi

^∗= ₁+ ₂ln +

di mana

^∗= ln − 3ln

110

Ini digunakan jika taksiran cross-section tidak berbeda dari satu cross-section

ke cross-section lainnya.

3. Mengeluarkan sebuah peubah atau peubah-peubah dan bias spesifi kasi.

Ini digunakan, jika mengalami multikoliniir yang parah, cara “paling

sederhana” dengan mengeluarkan sebuah peubah yang berkoliniir. Tapi saat mengeluarkan, mungkin terjadi bias spesifikasi, atau kesa lahan spesifikasi.

Bias spesifikasi adalah penggunaan model yang tak benar.

Jika Teori Ekonomi, menyatakan bahwa peubah pendapatan, dan

kekayaan harus dimasukkan dalam model belanja konsumsi, maka mengeluarkan peubah kekayaan tanah yang luas akan menimbulkan

bias spesifikasi.

Contoh , model yang dispesifikasi secara benar

= ₁+ _{2 2} + _{3 3} +

dispesifikasikan salah menjadi

= ₁+ _{2 2} + Diketahui ₂= 2 2² dan ₂

=

² 3² − 3 2 3 ₂2 ₃2 − 2 3 ²

(

132a

)

Dengan demikian 2 = ₂+ _{32 3} (132b) di mana 32= _{3 2}.

Jika ₃₂ ≠0, maka ₂ menjadi penaksir tak bias dari ₂. Jadi obatnya lebih buruk dari penyakitnya.

111

4. Transformasi peubah

Jika peubah pendapatan dan kekayaan dengan berjalannya waktu ke duanya bergerak dalam arah yang sama.

Untuk meminimumkan ketergantungan dibuat sbb.:

= ₁+ _{2 2} + _{3 3} +

Jika ini berlaku pada waktu t, maka harus berlaku pula pada t –1. Jadi

₋₁= ₁+ _{2 2,−1}+ _{3 3,−1}+ ₋₁ (133)

Selisihnya

− −1= _{2 2} − 2,−1 + _{3 3} − 3,−1 + (134)

Persamann (134) disebut perbedaan pertama (first difference).

Regresi first difference sering mengurangi kepelikan multikoliniir.

Tapi unsur kesalahan mungkin tak memenuhi asumsi model regre

si liniir klasik, yi. Gangguan tak berkorelasi secara urut (serial corre

lated ).

Dan dengan difference,derajat kebebasan berkurang satu.

Untuk cross-section ini tak dapat dilaksanakan.

5. Penambahan data baru

Karena multikoliniritas merupakan ciri sampel, maka mungkin dalam sampel lain yang meliputi koliniir peubah yang sama tidak begitu se

rius seperti dalam sampel pertama.

Tekadang hanya dengan sekedar meningkatkan ukuran sampel, masalh koliniritas berkurang.

Contoh

12,3 = ^�2

112

Saat besar sampel meningkat, maka 2² akan meningkat, untuk

23² tertentu , maka 12,3 akan berkurang, sehingga manaksir

12,3 lebih tepat.

7.2 Heteroskedastisitas 7.2.1 Sifat Dasar

Varians tiap unsur disturbanceui,tergantung (conditional) pada nilai yang dipilih dari peubah yang menjelaskan, adalah sebuah angka

konstan yang sama dengan �2 .

Asumsi homoskedastisitas (penyebaran sama), yi. Varians sama.

2 =�2 = 1,2,… , (135)

Varians bersyarat dari Yi (yang sama dari varians ui ), tergantung pada nilai Xi tertentu, tetap sama tak peduli nilai yang diambil peubah X.

Sebaliknya,varians bersyarat dari Yi meningkat dengan meningkat nya X. Di sini, varians Yi tidak sama, terdapat heteroskedastisitas , atau

2 =�2 (136)

Asumsikan model 2-peubah

= ₀+ ₁ +

Y menyatakan tabungan dan X menyatakan pendapatan.

113

Tapi varians tabungan tetap sama untuk semua tingkat pendapatan.

Beberapa alasan variansui munngkin variabel, di antaranya sbb.: 1.Mengikuti error-learning ( bukan sintua learning), karena manusia

belajar, kesalahan mereka dalam perilaku semakin lama semakin kecil.

Dalam hal ini, �2 diharapkan semakin menurun.

2.Dengan meninkatnya pendapatan, orang mempunyai lebih banyak

pendapatan yang dapat digunakan sesuai dengan keinginan (discreti onary incime) dan karenanya memiliki lebih banyak ruangan untuk me milih mengenai pembagian pendapatan mereka.

Jadi �2 nampaknya meningkat bersama-sama dengan peningkatan pen dapatan.

Jadi dalam regresi tabungan atas pendapatan orang nampaknya menemukan �2 meningkat bersama-sama dengan pendapatan karena orang mempunyai lebih banyak pilihan mengenai perilaku tabungan