BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.1 Penaksiran rataan ̅
Rataan sampel ̅ adalah penaksiran tak bias dari rataan populasi ̅.
Bukti:
( ̅) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
̅
Sama hal nya dengan ̅ ̅ 4.1.2 Penaksiran
Penaksiran sebagai koefisien regresi pada pers.regresi ̅ ( ̅) ditaksir dengan metode kuadrat terkecil.
23 Bukti:
̅ ( ̅)
∑
∑( ̅ ( ̅))
∑( ̅ ( ̅))( ( ̅))
∑ ( ̅) ̅ ∑( ̅) ∑( ̅)
∑( ̅)
∑ ( ̅)
̅ ∑( ̅)
∑( ̅)
∑( ̅)
( ̅)
∑ ( ̅)( ̅)
∑ ( ̅)
4.1.3 Penaksiran variansi populasi ( ̅ )
Sebelum membuktikan Penaksiran variansi ( ̅ ) terlebih dahulu persamaan varians dari rataan ̅ untuk sampel acak sederhana yang akan dibuktikan yaitu
( ̅) ( ̅ ̅) ( ), di mana adalah variansi populasi
Bukti:
( ̅ ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅) (11.1)
24
[( ̅) ( ̅) ( ̅) ]
[( ̅) ( ̅) ( ̅) ]
[( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)]
( )
( )[( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)]
Kuadratkan pers.(11.1) kemudian dikalikan dengan diperoleh
{( ̅) ( ̅) ( ̅)
( )
( )[( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)]}
{( ̅) ( ̅) ( )
( )( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)}
Misalkan ( ̅) ( ̅) Maka
{( ) ( ) ( )( )}
{( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )}
{( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )}
{( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) }
25 {( ( )
( )) ( ) ( )
( )( ) }
( ̅ ̅) {( ( )
( )) (( ̅) ( ̅) ) ( )
( )[( ̅) ( ̅)] }
{( ( )
( )) (∑( ̅)
) ( )
( )[∑( ̅)
] }
{( ( )
( )) (∑( ̅)
) ( )
( )[∑ ̅
] }
Karena ∑ ̅, maka
{(( ) ( )
( ) ) (∑( ̅)
) ( )
( )[ ̅ ̅] }
( ̅ ̅) {( ) ∑ ( ̅) } (11.2)
Setelah dibagi dengan
( ̅ ̅) ( ) ∑ ( ̅) (11.3)
∑ ( ̅) ( )
Karena ⁄ , maka ( ̅) ( )
Pers.(11) merupakan pengembangan dari ( ̅) ( ) dengan penambahan sebagai konstanta yang ditentukan dari sampel, berikut adalah pembuktiannya
26 ( ̅ ) ( )∑ [( ̅) ( ̅)]
( ) ∑ ( ̅) ∑ ( ̅)( ̅) ∑ ( ̅)
( )
( ) Nilai yang meminimumkan ( ̅ ) adalah
∑ ( ̅)( ̅) ( ̅)
( )
( ( ) ( ) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Dimana , maka
( ̅ ) ( )
( )
27
4.2 Penaksiran Parameter Rataan ̅ dan Variansi ( ̅ ) Populasi pada Sampel Acak Terstratifikasi (Penaksiran Terpisah)
4.2.1 Penaksiran rataan populasi ̅
Penaksiran ini sama halnya dengan penaksiran sampel acak sederhana karena penaksiran dilakukan per strata dan sampelnya dipilih secara acak kemudian hasil penaksiran rataan masing-masing strata digabungkan untuk menghasilkan
̅ ∑ ̅ ̅
Bukti:
( ̅ ) (∑ ̅
)
∑ ( ( ̅ ))
∑ (∑ )
∑ (∑
)
∑ ∑∑
∑ ∑ ̅
∑ ̅ ∑
̅
28
4.2.2 Penaksiran variansi populasi ( ̅ )
Penaksiran ini berdasarkan pers. (11.3) dengan penggantian langsung variabel-variabelnya, berikut adalah pembuktiannya.
( ̅ ̅) (
) ∑( ̅ ̅)
∑ (̅ ̅)
di mana , sehingga
( )
Persamaan di atas mengalami pengembangan dengan penambahan . Nilai yang meminimumkan variansi adalah
∑ ( ̅ )( ̅ )
∑ ( ̅ ) , sehingga
( ̅ ) ( ) ∑ [( ̅ ) ( ̅ )]
( )
( )
( )
( (
) (
) )
( )
(
)
29 ( )
(
)
4.3 Penaksiran Parameter Rataan ̅ dan Variansi ( ̅ ) Populasi pada Sampel Acak Terstratifikasi (Penaksiran Gabungan)
4.3.1 Penaksiran rataan ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ )
( ̅ ) (∑ ̅ )
∑ ( ( ̅ ))
∑ (∑ )
∑ (∑
)
∑ ∑∑
∑ ∑ ̅
∑ ̅ ∑
̅
4.3.2 Penaksiran variansi ( ̅ )
Penaksiran variansi gabungan ini sama dengan penaksiran variansi terpisah yaitu ( ̅ ̅) ( ) tetapi yang membedakan adalah koefisien regresi . Di mana didapatkan dari
30
penaksiran kuadrat terkecil dari persamaan regresi ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) dan didapatkan
∑ ( )
∑ ( )
⁄
∑ ( )
( )∑( ̅ )( ̅ ) ∑ ( ) ( )
⁄ ∑( ̅ )
Kemudian subtitusi nilai ke persamaan variansi ( ̅ ̅)
( )
sehingga didapatkan persamaan
( ̅ ) ( ) ∑ [( ̅ ) ( ̅ )]
( )
( ) ∑[( ̅ ) ( ̅ )]
4.4 Pembuktian persamaan MSE ( ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ )
( ̅ ) ( ̅)( ̅) ( ̅ ) Diketahui
( ̅) ( ̅ ) ( ( ̅)) ( ̅ ) ( ̅) ( ( ̅)) sehingga
( ̅) ( ( ̅)) ̅ ( ̅) ( ̅ ) ( ̅) ( ( ̅)) ̅ ̅
( ̅) ( ( ̅)) ̅
31 ( ̅) ( ( ̅) ̅)
( ̅) ( ̅)
4.5 Penaksir Regresi Sampel Acak Sederhana
Persamaan regresi yang digunakan untuk sampel acak sederhana adalah pada pers. (6), berikut adalah persamaannya
̅ ̅ ( ̅ ̅) Didapatkan ̅
̅
̅ merupakan hasil penaksiran tak bias dari rata-rata sampel sehingga ̅ ̅ hal ini menunjukkan bahwa rata-rata IPK untuk sampel acak sederhana adalah ̅ ̅
Kemudian penaksir ( ̅ ) didapatkan menggunakan pers.(9) yaitu ( ̅ ) ( )
( )
4.6 Penaksir Regresi Sampel Acak Terstratifikasi
Penaksiran kali ini dilakukan untuk masing-masing strata. Terdapat empat strata yang akan dibahas yaitu jur.Fisika, Matematika, Kimia dan Biologi. Perbedaan penaksiran antara sampel acak sederhana dengan yang terstratifikasi terletak pada penambahan fungsi biaya dan adanya alokasi
32
optimum untuk perhitungan yang selanjutnya akan digunakan untuk meminimumkan nilai variansi.
Penaksiran ini dilakukan untuk membandingkan hasil penaksiran rataan dan variansi pada keempat strata. Persamaan regresi yang digunakan untuk penaksiran ini adalah pers. (11) yaitu ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) dimana koefisien regresi bervariasi dari lapisan ke lapisan. Pada penaksiran per strata ini, terjadi kasus yang sama dengan sampel acak sederhana yaitu ̅ ̅ sehingga ̅ ̅ , berikut hasil perhitungannya:
4.3.1 Jurusan Fisika
̅ ̅ ∑ 4.3.2 Jurusan Matematika
̅ ̅ ∑ 4.3.3 Jurusan Biologi
̅ ̅ ∑ 4.3.4 Jurusan Kimia
̅ ̅ ∑
4.3.5 Perhitungan ̅
Menghitung rataan terpisah (huruf s berarti terpisah) dengan cara menjumlahkan keempat rataan tiap strata. Pers. (12) yang akan digunakan,
33
̅ ∑ ̅
Dimana, ⁄ , sehingga didapatkan
34
̅ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
4.3.6 Perhitungan ( ̅ )
Penaksiran ini menggunakan pers.(13) berikut adalah perhitungannya:
( ̅ ) ∑ ( )
(
)
4.3.7 Perhitungan ̅
Menghitung rataan gabungan (huruf c berarti gabungan) yang terlebih dahulu menghitung rataan strata keseluruhan untuk variabel penelitian dan variabel tambahan. Gunakan pers.(14)
̅ ̅ ( ̅ ̅ ) Dimana,
̅ ∑ ̅
̅ ̅ ̅ ∑ ̅
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
35 ̅ ( )
perhitungan menggunakan pers.(17) yaitu ∑ ( )
( )∑( ̅ )( ̅ ) ∑ ( ) ( )
⁄ ∑( ̅ )
Sehingga,
̅ ( )( )
4.3.8 Penaksiran ( ̅ )
Penaksiran ( ̅ ) menggunakan pers.(19) dan berikut adalah hasil perhitungannya.
( ̅ ) ∑ ( )
( )∑[( ̅ ) ( ̅ )]
4.4 Alokasi Optimum
Alokasi optimum digunakan untuk menghasilkan baru yang akan meminimumkan variansi sampel. Alokasi optimum membagi rata sampel sehingga perbandingan sampel antar strata tidak terlalu jauh.
Perhitungan alokasi optimum melibatkan biaya pengambilan sampel , standar deviasi dan jumlah populasi tiap strata dan berikut adalah perhitungannya,
36 4.4.1. Jurusan Fisika
√ Maka,
√
∑ √
Dimana jadi
4.4.2. Jurusan Matematika
√ Maka,
√
∑ √
Dimana jadi
4.4.3. Jurusan Biologi
37
√ Maka,
√
∑ √
Dimana jadi
4.4.4. Jurusan Kimia
√ Maka,
√
∑ √
Dimana jadi
Tabel. 1 Perbandingan jumlah secara persentase dan alokasi optimum
Jurusan
secara persentase
secara alokasi optimum
Fisika 111 58 49
Matematika 110 57 47
Biologi 97 47 42
Kimia 68 24 48
38 4.5 Penaksiran ( ̅ ) dengan Alokasi Optimum
Penaksiran ( ̅ ) masih menggunakan pers.(21) tetapi yang membedakan adalah nilai dari . di sini hasil dari alokasi optimum yang memberikan jumlah sampel baru tiap strata yang berguna untuk meminimumkan nilai variansi. Berikut adalah hasil perhitungannya,
( ̅ ) ∑ ( )
( )∑[( ̅ ) ( ̅ )]
4.6 Penaksiran rataan dengan Mean Square Error
Penggunaan mean square error dimaksudkan untuk mengetahui bias dari penaksiran rataan ̅ . Penaksiran MSE ini sama dengan ( ̅ ) berikut adalah hasil perhitungannya
( ̅) ( ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ̅) ( ̅) ( ( ̅)) diketahui
( ̅) ( ( ̅) ̅)
4.5.1 MSE untuk ̅
39
Pada penaksiran terpisah, ̅ merupakan hasil taksiran tak bias dari ̅ sehingga pada ( ̅ ) didapatkan bias = 0 dan mengindikasikan bahwa ( ̅ ) ( ̅ ) .
4.5.2 MSE untuk ̅
( ̅) ̅̂ ∑ ̅
[( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )]
̅ ̅
( ̅) ( ) Jadi,
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ )
Tabel 2. Perbandingan Hasil Taksiran Rataan dan Variansi Taksiran
Metode
Rataan Variansi
Acak sederhana
Terstratifikasi Terpisah
40
Gabungan
Mean Square Error
Terpisah -
Gabungan -
Alokasi optimum -
41 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan beserta penjelasan yang dipaparkan, maka kesimpulan yang dapat ditarik adalah sebagai berikut:
1. Besarnya penghasilan orang tua mahasiswa tidak mempengaruhi tinggi atau rendahnya nilai IPK seorang mahasiswa.
2. Penaksiran menggunakan teknik sampel acak terstratifikasi lebih baik dibandingkan dengan teknik sampel acak sederhana karena teknik tersebut membagi populasi ke dalam strata-strata sehingga keragaman dalam populasi menjadi kecil.
3. Penambahan auxiliary variable ternyata lebih meminimumkan variansi populasi dibandingkan dengan hanya menggunakan variabel penelitian saja karena auxiliary variable ini memberikan informasi lebih mengenai variabel penelitian sehingga variabel ini banyak dimanfaatkan untuk menghasilkan penaksiran yang lebih tepat.
4. Penaksiran sampel acak terstratifikasi secara terpisah lebih menghasilkan penaksiran yang lebih baik dibandingkan dengan penaksiran gabungan karena dalam kasus ini keragaman dalam strata lebih kecil sedangkan antar strata keragamannya besar.
5. Penambahan alokasi optimum lebih meminimumkan hasil penaksiran variansi galat karena alokasi optimum memberikan jumlah sampel yang lebih memperlihatkan karakteristik dari populasi.
42 5.2 Saran
Pada penelitian ini membahas mengenai penambahan auxiliary variable dalam meminimumkan hasil penaksiran rataan dan variansi pada variabel penelitian dan berikut adalah saran yang dapat diberikan oleh penulis:
1. Penelitian ini hanya melibatkan satu auxiliary variable yang hasilnya cukup efisien dalam menghasilkan variansi minimum tetapi diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat melibatkan dua atau lebih auxiliary variable yang berkorelasi dengan variabel penelitian agar hasil penaksiran yang dihasilkan juga semakin baik.
2. Penelitian ini menggunakan penaksir regresi sehingga penelitian selanjutnya dapat memakai penaksir rasio untuk metode penaksirannya.
43
DAFTAR PUSTAKA
Cochran, W. G. 1991. Sampling Techniques Third Edition (Terjemahan). Jakarta: UI- Press.
Kadilar, C. dan Cingi, H,. 2003. Ratio Estimators in Stratified Random Sampling. Biometrical Journal 45 (2003) 2,218-225. Turkey.
Koyuncu, Nursel dan Kadilar, Cem. 2010. On Improvement in Estimating Population Mean in Stratified Random Sampling. Taylor & Francis: Turkey.
Singh Rajesh, dkk. 2008. Ratio Estimators in Simple Random Sampling Using
Information on Auxiliary Attribute. Pak.j.stat.oper.res.Vol.IV No.1 2008 pp47-53.
India.
Sisodia, B.V.S. and Dwivedi,V. K. 1981: A Modified Ratio Estimator Using Coefficient of Variation of Auxiliary Variable. Journal of Indian Society Agricultural Statistics 33,1318.
Tompson, Steven K. 1992. Sampling. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Upadhyaya,L.N. and Singh,H.P., 1999: Use of Transformed Auxiliary Variable in Estimating the Finite Population Mean. Biometrical Journal 41, 5, 627636.
44 Lampiran 1
Tabel 3. Data IPK (y) dan Penghasilan Orang Tua dalam Jutaan Rupiah (x) secara Persentase
y x
3,18 3,90
2,80 2,50
2,67 1,50
3,35 1,50
2,90 2,00
2,96 1,00
3,29 0,50
2,85 1,50
3,17 2,50
2,60 3,00
3,60 0,70
2,78 3,00
3,00 1,00
3,59 2,00
3,30 3,00
3,30 3,00
3,10 0,50
2,89 0,70
3,23 0,50
2,86 1,50
3,30 3,00
2,93 3,00
3,33 1,00
3,48 1,00
2,87 1,20
3,59 3,00
3,38 0,80
2,25 1,50
2,50 0,50
3,50 2,50
3,03 3,00
3,13 2,50
2,90 1,00
3,17 2,00
2,97 2,00
3,31 3,00
3,38 4,00
3,61 1,00
3,44 2,00
3,19 3,00
3,25 2,50
3,56 2,00
3,50 4,00
3,60 2,00
3,54 3,50
3,32 2,50
2,84 1,00
2,25 2,50
2,50 2,00
2,89 1,50
3,05 0,50
3,20 0,50
2,85 2,00
3,00 1,00
3,33 1,50
3,19 3,00
2,50 0,70
3,01 2,00
3,63 2,00
3,20 10,00
3,58 3,00
2,70 5,00
2,70 2,00
3,05 0,70
2,85 1,50
3,10 3,00
2,96 1,50
3,19 3,00
3,25 0,70
3,40 2,50
2,03 3,00
3,01 0,70
3,48 1,00
2,83 0,60
3,10 3,00
3,25 1,50
3,59 3,00
2,87 2,00
3,05 0,50
3,31 3,00
3,02 2,50
3,30 2,00
2,97 4,50
3,14 4,00
3,30 3,00
3,02 3,50
2,35 0,50
3,08 0,75
3,22 2,20
3,05 1,00
3,10 3,00
3,00 0,40
3,63 3,00
3,12 3,80
3,59 5,00
2,46 2,00
3,20 2,50
3,72 2,00
2,98 3,00
3,10 2,00
3,26 2,00
3,20 5,00
3,63 3,00
3,48 0,50
2,50 1,00
3,12 3,50
3,10 4,00
2,92 1,00
3,30 3,30
2,90 3,00
3,48 3,00
2,90 4,00
3,22 2,00
2,90 3,50
3,17 2,50
3,48 0,50
3,63 3,00
3,25 3,00
3,08 1,20
3,05 1,50
3,43 2,00
2,84 5,00
2,24 2,00
3,03 3,00
2,80 1,00
3,08 3,00
3,24 3,00
3,72 3,00
3,73 5,00
3,30 1,00
3,10 2,50
2,89 3,00
3,30 4,50
3,55 0,50
3,20 2,00
3,20 2,50
3,37 3,00
2,90 2,00
3,45 2,50
2,87 3,00
3,22 4,00
3,21 1,00
2,69 0,50
3,69 1,00
3,90 1,00
3,25 1,20
3,79 1,00
2,79 3,00
3,39 1,00
3,36 3,50
3,53 1,50
3,50 1,50
3,67 0,50
3,55 2,50
3,43 1,00
3,75 1,00
3,16 2,00
3,40 1,50
3,18 2,00
2,65 2,50
3,11 2,00
3,51 1,50
3,10 3,00
3,18 2,00
3,51 3,00
3,15 1,50
3,20 0,50
3,67 3,00
3,46 3,50
3,10 1,50
3,38 1,50
3,50 1,00
3,41 2,00
3,00 1,00
3,23 1,50
3,42 2,50
3,67 3,00
2,95 0,70
3,18 0,80
3,36 2,50
3,42 2,00
3,51 2,00
3,58 2,50
3,70 3,00
2,79 0,70
3,67 2,50
Ket:
jurusan fisika = 58 org jurusan matematika = 57 org
jurusan biologi = 47 org jurusan kimia = 24 org
45 Lampiran 2
Tabel 4. Data IPK (y) dan Penghasilan Orang Tua dalam Jutaan Rupiah (x) secara Alokasi Optimum
Fisika
y x
3,18 3,90
2,80 2,50
2,67 1,50
3,35 1,50
2,90 2,00
2,96 1,00
3,29 0,50
2,85 1,50
3,17 2,50
2,60 3,00
3,60 0,70
2,78 3,00
3,00 1,00
3,59 2,00
3,30 3,00
3,30 3,00
3,10 0,50
2,89 0,70
3,23 0,50
2,86 1,50
3,30 3,00
2,93 3,00
3,33 1,00
3,48 1,00
2,87 1,20
3,59 3,00
3,38 0,80
2,25 1,50
2,50 0,50
3,50 2,50
3,03 3,00
3,13 2,50
2,90 1,00
3,17 2,00
2,97 2,00
3,31 3,00
3,38 4,00
3,61 1,00
3,44 2,00
3,19 3,00
3,25 2,50
3,56 2,00
3,50 4,00
3,60 2,00
3,54 3,50
3,32 2,50
2,84 1,00
2,25 2,50
2,50 2,00
Ket: jumlah = 49 org
Matematika
y x
2,97 4,50
3,14 4,00
3,30 3,00
3,02 3,50
2,35 0,50
3,08 0,75
3,22 2,20
3,05 1,00
3,10 3,00
3,00 0,40
3,63 3,00
3,12 3,80
3,59 5,00
2,46 2,00
3,20 2,50
3,72 2,00
2,98 3,00
3,10 2,00
3,26 2,00
3,20 5,00
3,63 3,00
3,48 0,50
2,50 1,00
3,12 3,50
3,10 4,00
2,92 1,00
3,30 3,30
2,90 3,00
3,48 3,00
2,90 4,00
3,22 2,00
2,90 3,50
3,17 2,50
3,48 0,50
3,63 3,00
3,25 3,00
3,08 1,20
3,05 1,50
3,43 2,00
2,84 5,00
2,24 2,00
3,03 3,00
2,80 1,00
3,08 3,00
3,24 3,00
3,72 3,00
3,73 5,00
Ket: jumlah = 47 org
Biologi
y x
2,87 3,00
3,22 4,00
3,21 1,00
2,69 0,50
3,69 1,00
3,90 1,00
3,25 1,20
3,79 1,00
2,79 3,00
3,39 1,00
3,36 3,50
3,53 1,50
3,50 1,50
3,67 0,50
3,55 2,50
3,43 1,00
3,75 1,00
3,16 2,00
3,40 1,50
3,18 2,00
2,65 2,50
3,11 2,00
3,51 1,50
3,10 3,00
3,18 2,00
3,51 3,00
3,15 1,50
3,20 0,50
3,67 3,00
3,46 3,50
3,10 1,50
3,38 1,50
3,50 1,00
3,41 2,00
3,00 1,00
3,23 1,50
3,42 2,50
3,67 3,00
2,95 0,70
3,18 0,80
3,36 2,50
3,42 2,00
Ket: jumlah = 42 org
Kimia
y x
3,63 2,00
3,20 10,00
3,58 3,00
2,70 5,00
2,70 2,00
3,05 0,70
2,85 1,50
3,10 3,00
2,96 1,50
3,19 3,00
3,25 0,70
3,40 2,50
2,03 3,00
3,01 0,70
3,48 1,00
2,83 0,60
3,10 3,00
3,25 1,50
3,59 3,00
2,87 2,00
3,05 0,50
3,31 3,00
3,02 2,50
3,30 2,00
3,67 3,00
3,46 3,50
3,00 1,00
3,23 1,50
3,42 2,50
2,95 0,70
3,18 0,80
2,65 2,50
3,51 1,50
3,20 0,50
3,55 2,50
3,16 2,00
2,79 0,70
3,18 0,80
3,00 1,00
3,41 2,00
3,10 1,50
3,46 3,00
3,67 0,50
3,43 1,00
2,79 3,00
2,87 3,00
3,16 2,00
3,18 2,00
Ket: jumlah = 48 org