DISTRIBUSI BINOMIAL
1. Pendahuluan
Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas diskrit yang sering terjadi. Distribusi ini mula-mula ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernoulli. oleh karena itu distribusi binomial dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli. Distribusi binomial dapat digunakan apabila suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses
Bernoulli. Proses Bernoulli adalah suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan
berulang kali, misalnya :
Seorang petugas telemarketing berhasil membuat konsumen “membeli
produknya” atau “tidak membeli produknya”.
Sebuah produk diklasifikasikan “dapat diterima” atau “tidak dapat diterima” oleh departemen kendali mutu.
Dari contoh petugas telemarketing di atas dapat diberikan suatu label
“berhasil” untuk membeli produknya dan label “gagal” untuk tidak membeli
produknya ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan klasifikasi produk, kita dapat memberi label “berhasil” untuk dapat diterima dan label “gagal” untuk tidak dapat diterima ataupun sebaliknya. Akan tetapi pemberian label tersebut tidak otomatis menyatakan bahwa satu hasil adalah baik dan yang lainnya tidak baik.
Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½. Distribusi binomial memiliki sedikit kesamaan dengan distribusi poisson. Keduanya berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada, namun ada beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut, yaitu:
Statistika 1 18 Litbang PTA 15/16
Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05.
Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤
0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan 0.05).
Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial adalah sebagai berikut : a) Percobaan diulang sebanyak n kali
b) Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas, dimisalkan
“berhasil” atau “gagal” “ya” atau “tidak” “success” atau “failed”
c) Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 – p sehingga p + q = 1
d) Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x e) Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.
Catatan :
Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “success atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “failed atau gagal”. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian “success atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.
Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :
Kurang dari disimbolkan dengan ( < )
Lebih dari disimbolkan dengan ( > )
Statistika 1 19 Litbang PTA 15/16
Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≤ )
Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≥ ) 2. Tujuan Praktikum Binomial
Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam menghitung dan mengkoreksi jawaban nilai probabilitas (peluang) dari suatu peristiwa binomial (peristiwa dengan jumlah sampel n<20 dan nilai peluang berhasil p>0.05) dengan menggunakan software Rcommander.
a. Rumus Umum Distribusi Binomial
Sebelum kepada contoh soal, berikut adalah rumus umum dari distribusi binomial :
2.1 Rumus Distribusi Binomial
b (x;n,p) =
nC
XDimana :
x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x n = banyaknya kejadian berulang
p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q q = peluang gagal dimana q = 1 – p
Adapun rumus dari Kombinasi:
Dimana :
C = Kombinasi
2.2 Rumus Kombinasi
n
C
x= n!
Statistika 1 20 Litbang PTA 15/16
n = Banyaknya kejadian berulang
x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
3. Contoh Soal
1. Berdasarkan data yang diperoleh oleh Desa SUKA TANI, diketahui 65% warganya sudah berpenghasilan cukup, sedangkan sisanya masih belum berpenghasilan cukup. Apabila ditanyakan kepada 11 orang warganya, berapa sekurang-kurangnya ada 5 orang yang berpenghasilan cukup? Diketahui : p = 65% = 0,65 q = 1 – 0,65 = 0,35 n = 11 x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Ditanyakan : P (x ≥ 5) Jawab :
Jumlah sample 11, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Karena (x ≥ 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
{(x=5) + (x=6) + ... + (x=11)}, atau (1-{(x=0) + (x=1) + ... + (x=4)}) B (x;n;p) = nCx px qn-x b(0;11;0,65) = 11C0 (0,65)0 (0,35)11-0 = 1 (1) (0,000009655) = 0,000009654915737 b(1;11;0,65) = 11C1 (0,65)1 (0,35)11-1 = 11 (0,65) (0,00002759) = 0,000197233 b(2;11;0,65) = 11C2 (0,65)2 (0,35)11-2 = 55 (0,4225) (0,000078816) = 0,00183147 b(3;11;0,65) = 11C3 (0,65)3 (0,35)11-3
Statistika 1 21 Litbang PTA 15/16 = 0,010203586 b(4;11;0,65) = 11C4 (0,65)4 (0,35)11-4 = 330 (0,1785) (0,000643393) = 0,037899062 ( x ≥ 4 ) = (1-{(x=0) + (x=1) + ... + (x=4)}) = 1 –{0,000009654915737+0,000197233+ 0,00183147+ 0,010203586+ 0,037899062} = 1 – 0.050141005 = 0,949857394 = 94,9857% Analisis :
Jadi, nilai probabilitas sekurang-kurangnya ada 4 orang yang berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99 %
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :
Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :
Statistika 1 22 Litbang PTA 15/16
2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander
Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial
distribution >> Binomial tail probabilities
Input angka sesuai dengan soal
Variable value (s) = 4
Binomial trial = 11 (sebagai nilai n)
Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)
Statistika 1 23 Litbang PTA 15/16
2.2 Gambar Cumulative Binomial Probabilities
Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurang-kurangnya ada 5 orang yang belum berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99%
Statistika 1 24 Litbang PTA 15/16 2. Tuan Sandy adalah seorang pemilik toko jersey INI BOLA. Ia melakukan
penelitian jersey manakah yang lebih banyak diminati oleh pelanggan di tokonya. Dari hasil penelitian tersebut diketahui bahwa 16% pelanggannya menyukai jersey Chealsea, dan sisanya menyukai jersey Barcelona. Apabila ditanyakan kepada 15 orang pelanggan, berapakah probabilitas paling banyak 1 orang yang menyukai jersey Chealsea?
Diketahui : p = 16% = 0,16 q = 1-0,16 = 0,84 x = 0 dan 1 n = 15 Ditanyakan : P (x ≤ 1) Jawab :
Jumlah sample 15, anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Karena (x ≤ 1) jadi nilai x nya adalah 0 dan 1
{(x=0 + (x=1)} atau (1-{(x=2) + (x=3) + ...+ (x=15)}) b(x;n,p) = nCx px qn-x b(0;15,0,16) = 15C0 (0,16)0 (0,84)15-0 = 1 (1) (0,07314578261) = 0,07314578261 b(1;15,0,16) = 15C1 (0,16)1 (0,84)15-1 = 15 (0,16) (0,08707831263) = 0,2089879503 ( x ≤ 1 ) = {(x=0) + (x=1)} = 0,07314578261 + 0,2089879503 = 0,282133773291 = 28,21% Analisis :
Statistika 1 25 Litbang PTA 15/16 chealsea adalah sebesar 28,21%
Langkah penyelesaian soal pada R-Commander adalah sebagai berikut :
Tekan icon R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul
tampilan software
Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> binomial tail probabilities
Input angka sesuai soal
Variable value (s) = 1 (sebagai nilai x)
Binomial trial = 15 (sebagai nilai n)
Probabilities of success = 0,16 (sebagai peluang berhasil)
Lalu klik lower tail, kemudian klik OK
2.4 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2
Pada output windows akan muncul nilai probabilities paling banyak ada 1 orang pembeli yang membeli jersey chealsea adalah sebesar 28,21%
Statistika 1 26 Litbang PTA 15/16
2.5 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2
3. Dilakukan penelitian di kelas 2EA01 tentang mahasiswa menggunakan provider XXL dam IM2. Dari penelitian tersebut dihasilkan 55% mahasiswa lebih memlih provider XXL, sedangkan sisanya menggunakan IM2. Apabila ditanyakan kepada 16 orang mahasiswa. Berapakah probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai providernya ?
Diketahui : p = 55% = 0,55
Statistika 1 27 Litbang PTA 15/16 n = 16
x = 1, 2, 3, 4, 5
Ditanya : P (1 ≤ x ≤ 5)
Jawab :
Jumlah sampel 16, berarti anggota 1 – 16 karena (1 ≤ x ≤ 4) jadi nilai x nya 1 – 5 {(x = 1) + (x = 2) + ... + (x = 5)} b (x ; n , p) = nCx px qn-x b (1 ; 16 , 0,55) = 16C1 p1 q16-1 = 16C1 (0,55)1 (0,45)15 = 16 (0,55) (0,000006283298709) = 0,00002488186289 b (2 ; 16 , 0,55) = 16C2 (0,55)2 (0,45)16-2 = 105 (0,3025)(0,00001396288602) = 0,00044961672 b (3 ; 16 , 0,55) = 16C3 (0,55)3 (0,45)16-3 = 560 (0,166375) (0,0000310286356) = 0,002890937979 b (4 ; 16 ; 0,55) = 16C4 (0,55)4 (0,45)16-4 = 1820 (0,091506675) (0,00006895252355) = 0,01148344808 b (5 ; 16 ; 0,55) = 16C5 (0,55)5 (0,45)16-5 = 4368 (0,0503284375) (0,0001532278301) = 0,03368478104 P (1≤ x ≤ 5) = {(x=1) + (x=2) + (x=3) + (x=4) + (x=5)} = 0,00002488186289 + 0,00044961672 + 0,002890937979 + 0,01148344808 +0,03368478104 = 0,04852754513 = 4,85%
Statistika 1 28 Litbang PTA 15/16 Analisis :
Jadi probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai providernya adalah 4,85%
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :
Tekan icon R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan software. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom(x,n,p)). Maka tuliskan pada script window
sum(dbinom(1:5,16,0,55) )
2.6 Gambar Script Window Contoh Soal 3
Statistika 1 29 Litbang PTA 15/16 pada output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai provider adalah sebesar 4,85%
2.7 Gambar Output Software Contoh Soal 3
4. Dilakukan penelitian di 2EA01 sebanyak 15 orang, 65% mahasiswa yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya, sedangakan sisanya memilih karena penampilannya. Berapakah probabilitas ada 6 orang yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya ?
Statistika 1 30 Litbang PTA 15/16 p = 65% = 0,65 q = 1-0,65 = 0,35 n = 15 x = 6 Ditanya : P (x=6) ? Jawab :
Jumlah sample 15, berarti anggotanya 0-15 karena (x=6) jadi nilai x hanya 6 b (x ; n ; p) = nCx px qn-x b (6 ; 15 ; 0,65) = 15C6 (0,65)6 (0,35)15-6 = 5005 (0,07541889063) (0,00007881563867) = 0,0297506611 = 2,975% Analisis :
Jadi, probabilitas ada 6 orang yang memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya adalah 2,975%.
Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :
Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan software. Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial
distribution >> Binomial probabilities
Input angka sesuai dengan soal :
Binomial trial = 15 (sebagai nilai n)
Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)
Statistika 1 31 Litbang PTA 15/16 Pada output window akan muncul nilai probabilitas ada 6 yang memilih
ketua kelas karena sosok dan prestasinya adalah sebesar 2,975 %. (karena yang ditanyakan nilai probabilitas 6 orang pemilih, maka yang dilihat pada output window hanya nilai probabilitas pada angka 6 saja)
Statistika 1 32 Litbang PTA 15/16 Soal Kuis
Nopa manajer Rowes Industries ingin meneliti materi apa yang diminati oleh mahasiswa, keuangan atau pemasaran. Dari hasil penelitiannya diketahui bahwa 65% mahasiswa menyukai keuangan. Apabila ditanyakan kepada 15 orang berapakah probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai keuangan ? Diketahui: p = 0,65 q = 1 – p = 1 – 0,65 = 0,35 x = 0,1,2,3,4 n = 15 Ditanya : P (x < 5) = ? Jawab: b (x;n,p) = nCx px qn-x b (0;15,0.65) = 14C0 0,650 0,3514-0 = (1) (1) (0.00000144) = 0.00000144 b (1;15,0.65) = 15C1 0,651 0,3515-1 = (15) (0.65) (0.00000413) = 0.00000413 b (2;15,0.65) = 15C2 0,652 0,3515-2 = (105) (0.4225) (0.000000118) = 0.000052468 b (3;15,0.65) = 15C3 0,653 0,3515-3 = (455) (0.274625) (0.00003) = 0.0004222 b (4;15,0.65) = 15C4 0,654 0,3515-3 = (1356) (0.1785) (0.000009) = 0.002352 Jadi : P(x<5) = 0.00000144 + 0.00000413 + 0.000052468 + 0.0004222 + 0.002352
Statistika 1 33 Litbang PTA 15/16 = 0,2831%
Analisis :
Jadi probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai mata kuliah keuangan adalah 0,28%
2.10 Gambar Output Software Distribusi Binomial Soal Kuis
Statistika 1 34 Litbang PTA 15/16
MATERI 3