6.3 Distribusi yang berhubungan dengan distribusi normal
6.3.3 Distribusi F
Diketahui variabel random X dan Y berdistribusi chi-square dengan derajat bebas berturut-turut r1 dan r2. Dapat dibuktikan bahwa variabel random
F = X/r1
Y /r2 (6.8)
memiliki suatu distribusi yang dinamakan distribusi F dengan derajat be-bas r1 dan r2. Dalam hal ini r1 disebut juga derajat bebas pembilang dan r2 disebut juga derajat bebas penyebut. Distribusi kumulatif F dengan derajat bebas r1 dan r2, ditulis P (Fr1,r2 ≤ x). Nilai x untuk r1 dan r2 tertentu dan distribusi kumulatif γ tertentu telah dihitung dan ditabelkan pada suatu tabel yang dinamakan tabel F .
Contoh 52. Carilah x sehingga P (F4,10≤ x) = 0.95.
Bab 7
Teori Sampling
Di dalam aplikasi kita sering mengambil kesimpulan dari suatu kelompok indi-vidu atau populasi. Karena alasan tertentu, kita tidak mungkin untuk menga-mati seluruh anggota populasi, namun hanya mengamenga-mati bagian dari populasi yang dinamakan sampel. Inferensi statistik adalah pengambilan kesimpulan berdasarkan sampel.
Jika X variabel random dengan distribusi F dan dilakukan percobaan ran-dom sebanyak n kali, maka diperoleh variabel ranran-dom X1, X2, · · · , Xn. Se-lanjutnya X1, X2, · · · , Xn dinamakan sampel random dari distribusi F . Suatu sampel dikatakan berukuran n jika banyaknya anggota sampel adalah n. Jika nilai sampel random tersebut berturut-turut adalah x1, x2, · · · , xn, maka nilai-nilai ini dinamakan nilai-nilai eksperimen atau data sampel.
Suatu kuantitas yang dihitung dari data sampel dinamakan statistik, sedan-gkan suatu kauntitas yang dimiliki oleh suatu populasi dinamakan parameter. Dapat terjadi nilai parameter suatu populasi diketahui atau tidak diketahui. Contoh 53. Misalkan variabel random X menyatakan usia bola lampu yang diproduksi suatu perusahaan yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean µ dan varian σ2yang tidak diketahui. Satu-satunya cara untuk memper-oleh informasi tentang µ dan σ2adalah dengan melakukan eksperimen random. Misalkan dilakukan eksperimen dengan mengambil secara random sebanyak n = 100 bola lampu, dan usia bola lampu yang tercatat adalah X1, X2, X3, · · · , X100. Dalam hal ini X1, X2, X3, · · · , X100 merupakan sampel random yang berasal dari distribusi normal tersebut. Ke 100 bola lampu tersebut dapat digunakan untuk memperoleh informasi tentang µ dan σ2. Ukuran yang diperoleh dari ke 100 bola lampu tersebut merupakan statistik, sedangkan µ dan σ2 merupakan parameter.
Misalkan suatu populasi memiliki distribusi tertentu dengan mean popu-lasi µ dan varian popupopu-lasi σ2. Suatu sampel random X1, X2, · · · , Xndiambil dari populasi tersebut. Ada dua statistik yang penting, yaitu mean sampel dan
46 BAB 7. TEORI SAMPLING
varian sampel.
Definisi 17. Diketahui X1, X2, X3, · · · , Xn adalah sampel random berukuran n.
(a) Mean sampel didefinisikan
X = X1+ X2+ · · · + Xn n = n X i=1 Xi n
(b) Varian sampel didefinisikan
S2= n X i=1 (Xi− X)2 n − 1 , dan S =√
S2 dinamakan deviasi standar sampel.
Contoh 54. Suatu eksperimen random telah dilakukan sebanyak 5 kali dan diperoleh X1 = 3.5, X2 = 3.2, X3 = 3.4, X4 = 3.3 dan X5 = 3.6. Mean sampelnya adalah X = 5 X i=1 Xi 5 = 3.5 + 3.2 + 3.4 + 3.3 + 3.6 5 = 3.4,
dan varian sampelnya adalah
S2 = 5 X i=1 (Xi− X)2 5 − 1 = (3.5 − 3.4) 2+ (3.2 − 3.4)2+ (3.4 − 3.4)2+ (3.3 − 3.4)2+ (3.6 − 3.4)2 4 = 0.025.
Dengan demikian deviasi standar sampel adalah S =√
0.025 = 0.158.
Distribusi sampel adalah distribusi peluang suatu statistik. Misalnya dis-tribusi peluang X dinamakan disdis-tribusi sample mean.
Teorema 2. Jika X1, X2, · · · , Xn sampel random berukuran n dari suatu dis-tribusi dengan mean µ dan varian σ2, maka nilai harapan X dan varian X adalah
47
(a) E(X) = µ (b) V ar(X) = σ2
n.
Berdasarkan teorema di atas, nilai harapan X sama dengan mean populasi µ, sedangkan varian X semakin mengecil dengan bertambahnya ukuran sampel n.
Teorema 3 (Teorema Limit Pusat). Jika X adalah mean sampel random berukuran n dari suatu populasi dengan mean µ dan varian σ2, maka
Z = X − µ σ√
n
mendekati berdistribusi normal standar jika n besar.
Umumnya Z mendekati distribusi normal untuk n ≥ 30. Teorema di atas dapat digunakan untuk mencari nilai pendekatan peluang variabel random ¯X. Contoh 55. Suatu perusahan memproduksi bola lampu yang usia hidupnya berdistribusi mendekati normal dengan mean 800 jam dan deviasi standar 40 jam. Berapa peluang suatu sampel random sebanyak 16 bola lampu akar berusia rata-rata kurang dari 775 jam?
Distribusi sampel X mendekati normal dengan µX= 800 dan σX = 40/√ 16 = 10. Peluang yang dicari adalah
P (X < 775) = P X − µ σ√ n < 775 − 800 10 = P (Z < −2.5) = 0.0062.
Teorema 4. Jika X1, X2, · · · , Xn sampel random berukuran n dari suatu dis-triibusi dengan mean µ dan varian σ2, maka nilai harapan S2=Pn
i=1
(Xi−X)2
n−1
adalah
E(S2) = σ2.
Teorema tersebut menyatakan bahwa nilai harapan dari varian sampel sama dengan varian populasi.
Brikutnya akan dibahas distribusi statistik suatu sampel random yang be-rasal dari populasi berdistrusi normal. Jika X1, X2, · · · , Xn adalah sampel ran-dom dari populasi berdistribusi normal dengan mean µ dan varian σ, dan mean
48 BAB 7. TEORI SAMPLING
sampel X, maka
Z = X − µ σ/√
n berdistribusi normal standar.
Teorema 5. Jika X1, X2, · · · , Xn adalah sampel random dari populasi berdis-tribusi normal dengan mean µ dan varian σ, maka
(a) X dan S2 independen
(b) X berdistribusi normal dengan mean µ dan varian σ2/n
(c) (n − 1)S2/σ2 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas n − 1.
Di dalam inferensi statistik, sering diasumsikan bahwa sampel random X1, X2, · · · , Xn bersifat independen. Jika ukuran populai berhingga, maka tidak ada jaminan
sampel random tersebut independen. Namun jika ukuran populasi relatif besar terhadap ukuran sampel, maka sampel random tersebut mendekati independen.
Bab 8
Estimasi
Jika kita telah memperoleh data sampel dari suatu populasi yang memiliki mean µ yang tidak diketahui, maka untuk memperoleh informasi tentang parameter µ dapat digunakan mean sampel ¯x. Ini berarti statistik ¯x digunakan untuk mengestimasi (meduga) parameter mean populasi µ. Dalam hal ini ¯x dinamakan estimator (penduga) untuk µ. Secara umum, jika θ parameter populasi, maka estimator untuk θ ditulis ˆθ. Jadi ˆµ = ¯x.
Estimator titik suatu parameter adalah estimator yang berupa sebuah nilai tunggal. Sebagai contoh, dalam pernyataan ”rata-rata hasil pengukuran ke-cepatan cahaya adalah 301.000 km/detik”, nilai tersebut adalah suatu estimator titik.
Definisi 18. Suatu statistik dikatakan estimator tak bias parameter θ jika ni-lai harapannya sama dengan θ. Jika tidak demikian maka statisik tersebut dikatakan bias.
Pada kuliah sebelumnya telah disampaikan bahwa statistik
X = Pn
i=1Xi
n
memiliki nilai harapan sama dengan mean populasi µ. Dengan demikian X merupakan estimator tak bias untuk parameter µ . Demikian pula varian sampel
S2= Pn
i=1(Xi− X)2
n − 1
juga merupakan estimator tak bias parameter varian σ2 .
50 BAB 8. ESTIMASI
Definisi 19. Suatu estimator θ1 dikatakan lebih efisien dari pada estimator θ2 jika varian θ1 lebih kecil dibanding varian θ2.
Suatu estimator yang berupa interval dimana parameter diduga berada di-namakan estimator interval.
Sebagai contoh, jika dikatakan kecepatan cahaya berkisar antara 299.000 km/detik sampai dengan 305.000 km/detik, maka nilai kecepatan cahaya yang sebenarnya dipercaya berada di antara kedua batas interval.
Interval kepercayaan untuk suatu parameter adalah suatu inteval dalam mana parameter dipercaya berada. Misalkan θ adalah parameter yang tidak diketahui. Untuk membentuk interval kepercayaan θ, kita perlu mencari statis-tik U dan L sehingga peluang
P (L ≤ θ ≤ U ) = 1 − α
adalah benar. Interval
L ≤ θ ≤ U (8.1)
dinamakan interval kepercayaan 100(1-α) persen untuk parameter θ.
Interval kepercayaan dapat diinterpretasikan sebagai berikut: jika kita mengam-bil sampel random berulang-ulang, maka 100(1−α) persen dari semua nilai data akan memuat nilai θ yang sebenarnya.
Di dalam persamaan 8.1, L dan U berturut-turut dinamakan batas bawah dan batas atas interval.
Jika α = 0.05 misalnya, maka persamaan 8.1 dinamakan interval kepercayaan 95 persen untuk θ. Pada bagian berikut, kita akan belajar membentuk interval kepercayaan untuk paramter mean populasi µ, varian populasi σ2 dan selisih dua mean populasi.