Kelompok Keilmuan Telekomunikasi
Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung Kampus ITB Jl.Ganesha 10 Bandung - INDONESIA
Email : [email protected], [email protected], [email protected]
ABSTRACT
Signal Processing at SFCW-GPR has a weakness at the long duration for data acquisitions. These long duration acquisition are caused receiver SFCW-GPR must do sampling with Nyquist rule ( > 2x the highest signal frequency ) for every step frequency. This Paper will discuss a way to overcome those problem with compressive sampling concept as the method of alternative sampling besides Nyquist. Compressive sampling can conduct reconstruction signal properly though its sampling rate is less than Nyquist rule. Smaller data acquisition will speed up time of signal processing SFCW-GPR. Discussion at this paper focused at the usage of Gabor dictionary as the bases to conduct compressive sampling. This condition is assumed that Gabor function has a matching characteristic with GPR signal. Gabor based compressive sampling at this SFCW-GPR simulated by using software MATLAB to know the resulst of signal reconstruction (based on the value of Peak Signal-to-Noise Ratio / PSNR) for differential Gaussian function (first and second) and data real from VNA (Vector Network Analyzer) output. Simulation results indicate that this method can reconstruct properly differential Gaussian function (PSNR > 30 dBs) and can conduct compressive sampling properly at data real VNA output up to ½ x normal frequency samples (PSNR > 20 dBs).
Keywords : sparsity, Gabor, compressive sampling, SFCW-GPR, basis pursuit
ABSTRAK
Pengolahan sinyal pada SFCW-GPR mempunyai kelemahan pada lamanya waktu untuk mengakuisisi data. Lamanya waktu ini disebabkan penerima SFCW-GPR harus melakukan sampling dengan aturan Nyquist ( > 2x frekuensi tertinggi sinyal ) untuk setiap step frequency. Makalah ini akan membahas suatu cara untuk mengatasi masalah tersebut dengan mengenalkan konsep compressive sampling sebagai metode sampling alternatif selain Nyquist. Compressive sampling mampu melakukan rekonstruksi sinyal dengan baik meskipun sampling rate-nya kurang dari aturan Nyquist. Proses akuisisi data yang lebih sedikit akan mempercepat waktu pengolahan sinyal SFCW-GPR secara keseluruhan. Pembahasan pada makalah ini difokuskan pada penggunaan Gabor dictionary sebagai basis untuk melakukan compressive sampling. Hal ini dengan asumsi bahwa fungsi Gabor memiliki karakteristik yang sesuai dengan sinyal GPR. Gabor based compressive sampling pada SFCW-GPR ini disimulasikan dengan menggunakan software MATLAB untuk mengetahui hasil rekonstruksi sinyal (berdasarkan nilai Peak Signal-to-Noise Ratio / PSNR) untuk fungsi turunan Gaussian (pertama dan kedua) serta data real dari output VNA (Vector Network Analyzer). Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode ini mampu merekonstruksi dengan baik fungsi turunan Gaussian (PSNR > 30 dB) dan mampu melakukan compressive sampling dengan baik pada data real output VNA sampai dengan ½ x jumlah sampel frekuensi (data) normal (PSNR > 20 dB).
Kata Kunci : sparsity, Gabor, compressive sampling, SFCW-GPR, basis pursuit
1. PENDAHULUAN
Konsep redundansi atau sparsity menyatakan bahwa tidak semua komponen pada suatu sinyal, data atau image mengandung informasi penting yang diharapkan. Adanya sparsity ini memungkinkan kita untuk melakukan kompresi terhadap sinyal, data ataupun image. Kompresi menjadikan sinyal, data,
atau image berukuran lebih kecil dari yang
sebelumnya dengan membuang komponen-komponen
yang tidak mengandung informasi / tidak terlalu penting dan berpengaruh terhadap karakteristik isi sinyal, data, ataupun image tersebut. Sparsity ternyata juga terjadi pada sinyal SFCW-GPR yang merupakan pantulan gelombang elektromagnetik dari dalam tanah. Oleh karena itu, sinyal SFCW-GPR dapat juga dikompresi untuk mengefisienkan proses pengolahannya, baik dalam hal waktu pemrosesan, realisasi hardware, maupun kompleksitas sistem.
59
Proses pengolahan sinyal SFCW-GPR konvensional menjelaskan bahwa akuisisi data dari sinyal yang diterima oleh receiver SFCW-GPR dan kompresi data hasil dari akuisisi tersebut adalah dua proses yang terpisah dan saling berurutan [1]. Efisiensi pengolahan sinyal mungkin sudah dapat dicapai setelah dilakukannya proses kompresi, tetapi masalah efisiensi yang sebenarnya pada SFCW-GPR justru berada pada proses akuisisi data. Proses akuisisi data konvensional pada SFCW-GPR membutuhkan waktu yang sangat lama dan memori yang cukup (apalagi untuk scanning daerah yang luas dengan menggunakan frekuensi tinggi) sehingga efisiensi kompresi menjadi tidak terlalu berpengaruh terhadap efisiensi total dari proses akuisisi sampai dengan menampilkan data hasil scanning SFCW- GPR. Proses akuisisi yang lama disebabkan oleh sampling yang harus mematuhi aturan Nyquist, yaitu melakukan sampling minimal 2 kali frekuensi maksimum sinyal yang diakuisisi. SFCW-GPR pada umumnya menggunakan frekuensi tinggi (beberapa ratus MHz sampai dengan beberapa GHz) sehingga sampling harus dilakukan dengan rate yang juga sangat tinggi [2]. Sampling rate yang tinggi mengakibatkan selang waktu di antara dua sampel data menjadi semakin kecil. Hal ini berakibat bahwa semakin tinggi frekuensi, semakin banyak sampel yang diambil / diakuisisi. Sampel yang banyak ini membutuhkan ruang memori yang cukup besar untuk menunggu proses kompresi. Oleh karena itu, efisiensi kompresi tidak terlalu berpengaruh kepada efisiensi total sistem SFCW-GPR.
Masalah lain ternyata juga timbul dari perkembangan teknologi Analog to Digital Converter (ADC). Kebutuhan untuk memetakan kandungan di dalam tanah semakin hari semakin menginginkan yang lebih baik. Untuk memetakan kandungan di dalam tanah dengan baik, diperlukan resolusi yang tinggi, yang berarti sinyal yang digunakan pada sistem SFCW-GPR harus menggunakan frekuensi yang lebih tinggi (meskipun tingginya frekuensi yang dipakai juga bergantung pada antenna yang digunakan dan kedalaman objek yang akan di-scan di dalam tanah). Sementara di sisi lain, teknologi ADC ( terutama sampling rate ) berkembang dalam jangka waktu tertentu yang semakin hari semakin sulit untuk mengimbangi kebutuhan scanning dengan menggunakan SFCW-GPR.
Untuk mengatasi permasalahan tersebut,
muncullah konsep compressive sampling
(pencuplikan terkompresi). Ide compressive sampling berasal dari keinginan untuk melakukan proses akuisisi data atau sampling dan kompresi secara bersamaan. Dengan kata lain, jika kita sebenarnya mengetahui bahwa sinyal itu bersifat sparse mengapa harus mengakuisisi data secara lengkap, padahal kita hanya butuh komponen-komponen yang benar-benar
mengandung informasi. Dengan adanya terobosan pemikiran baru ini, kita tidak perlu mengakuisisi data yang nantinya akan dibuang pada proses kompresi, dan pada akhirnya diharapkan efisiensi total sistem SFCW-GPR tercapai.
2. COMPRESSIVE SAMPLING
Konsep compressive sampling [3] adalah melakukan sampling data tidak secara lengkap ( lebih kecil daripada Nyquist rate), acak (random) dan inkoheren, lalu melakukan optimisasi untuk merekonstruksi sinyal berdasarkan sparsity sinyal dan sekumpulan basis (dictionary) tertentu. Jumlah
sampel minimal (M) yang diperlukan untuk
melakukan compressive sampling secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut.
M > C . µ2(Φ,Ψ) . S . log (N) (1) N adalah jumlah sampel minimal yang diperlukan untuk merekonstruksi sinyal berdasarkan aturan Nyquist, S adalah derajat kebebasan sinyal atau jumlah koefisien bukan nol dari sinyal ketika direpresentasikan dalam sparsity basis (Ψ) (biasa disebut juga dengan represenatasi sparse dari suatu sinyal), dan µ(Φ,Ψ) adalah koherensi antara measurement basis (Φ) dan sparsity basis. C merupakan konstanta dengan nilai tertentu yang kecil. Meskipun dapat dirumuskan secara matematis, pada prakteknya kita tidak dapat secara langsung dan tepat menentukan jumlah minimal sampel yang diperlukan untuk melakukan compressive sampling. Persamaan (1) sebenarnya berlaku dengan syarat- syarat yang harus dipenuhi, seperti Uniform Uncertainty Principle (UUP), Restricted Isometry Property (RIP), dan Exact Reconstruction Principle (ERP) [4]. Selain itu, sparsity basis dan random projection basis (basis berproyeksi acak) yang digunakan tidak unik bergantung pada karakteristik sinyal dan pengukuran yang kita lakukan. Untuk mengetahui jumlah sampel minimal compressive sampling secara praktis kita lakukan dulu rekonstruksi sinyal berdasarkan representasi sparse sinyal dan membandingkan hasilnya dengan sinyal yang asli. Karena pengukuran yang dilakukan bersifat acak, maka perbandingan hasil rekonstruksi harus dilakukan secara statistik, misalnya dengan membandingkan rata-rata PSNR (Peak Signal to Noise Ratio). Dari perbandingan ini, dapat diketahui jumlah minimal sampel compressive sampling yang hasil rekonstruksinya masih dapat dikatakan mendekati sinyal asli.
Dua sifat yang penting pada compressive sampling adalah sparsity dan inkoherensi. Koherensi
antara sparsity basis dan measurement basis (basis pengukuran) dapat dirumuskan sebagai berikut.
µ(Φ, Ψ) = √n . maxk,j |< Φk, Ψj>| (2) dengan n adalah panjang sinyal yang diekspansi oleh sparsity basis. µ(Φ, Ψ) bernilai antara 1 sampai dengan √n. Jika bernilai 1, maka sparsity basis dan measurement basis bersifat inkoheren maksimal. Compressive sampling membutuhkan basis-basis yang inkoheren untuk mendapatkan hasil rekonstruksi yang sesuai dengan sinyal asli. Contoh basis-basis yang mempunyai inkoherensi maksimal adalah Fourier basis dan Canonical/Spike basis. Tetapi tidak semua pasangan basis bersifat inkoheren maksimal. Oleh karena itu, langkah yang pertama dilakukan dalam compressive sampling adalah memilih sparsity basis yang sesuai dengan karakteristik sinyal dan measurement basis (pasangannya) yang dapat menghasilkan inkoherensi semaksimal mungkin.
Setelah memilih sparsity dan measurement basis yang sesuai, langkah selanjutnya adalah melakukan optimisasi / minimisasi norm l1 sebagai
berikut.
x* = arg min ||x||1 subject to y=Φ. Ψ.x (3)
60
Solusi optimisasi yang dikenal juga dengan optimisasi basis pursuit ini adalah dengan menggunakan convex programming. Convex programming tidak mempunyai solusi analitis, tetapi algoritmanya dapat diterapkan pada komputasi numerik dengan software / program tertentu, seperti MATLAB. Hasil minimisasi (x*) selanjutnya digunakan untuk merekonstruksi sinyal (f*)
f* = Ψ.x* (4)
3. COMPRESSIVE SAMPLING PADA SFCW- GPR
Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, langkah pertama yang harus dilakukan
untuk melakukan compressive sampling adalah
memilih sparsity basis dan measurement basis yang sesuai. Fourier basis ternyata tidak cocok digunakan sebagai ekspansi / sparsity basis sinyal GPR karena pantulan sinyal GPR mempunyai karakteristik energinya terlokalisasi pada waktu dan frekuensi tertentu. Sebagai catatan, strukur sparsity basis harus sesuai dengan sinyal yang akan diekspansi (sesuai dengan prinsip UUP) agar rekonstruksi dapat dilakukan dengan baik. Sebagai pengganti Fourier basis, makalah ini akan mencoba menganalisis penggunaan Gabor sebagai sparsity basis untuk sinyal GPR, sedangkan sebagai measurement basis
digunakan scrambled fourier random projection (transformasi Fourier yang koefisiennya diambil dengan permutasi acak).
Gabor memiliki sifat yang sesuai dengan karakteristik sinyal pantulan yang diterima oleh receiver GPR (seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1) [5]. Ekspansi sinyal - yang memiliki sifat berosilasi - dengan Gabor juga memenuhi Power Decay Law, dimana koefisien-koefisien representasi sparse sinyal jika diurutkan secara descending akan membentuk kurva menurun yang tajam (yang berarti bahwa energi sinyal tersebut terkonsentrasi).
Gambar 1: Fungsi Gabor
Secara matematis, fungsi Gabor dirumuskan sebagai berikut.
(5)
Dari persamaan 5 dapat dilihat bahwa Gabor sebenarnya adalah fungsi cosinus yang dimodulasi secara Gaussian.
Implementasi compressive sampling pada sistem SFCW-GPR [6] dapat dilihat pada gambar 2 di bawah ini.
Gambar 2 : Diagram Sistem Compressive Sampling
SFCW-GPR
Dibandingkan dengan sistem SFCW-GPR umum (tanpa compressive sampling), sistem baru ini
menambahkan blok Pseudorandom Number
Generator dan Optimisasi Algoritma. Dua blok ini berperan untuk melakukan sampling dan pengukuran secara random serta melakukan rekonstruksi sinyal sparse berdasarkan prinsip basis pursuit.
4. SIMULASI COMPRESSIVE SAMPLING PADA SFCW-GPR
Untuk menguji asumsi penggunaan Gabor sebagai sparsity basis sinyal SFCW-GPR, pada bagian ini akan ditunjukkan hasil simulasi rekonstruksi sinyal untuk turunan pertama dan kedua Gaussian serta percobaan rekonstruksi data real SFCW-GPR yang diambil dari output (S21) Vector Network Analyzer (VNA). Output dari VNA adalah nilai frekuensi sebanyak 201 step dari 300 kHz sampai dengan 3 GHz. Data output VNA ini mempunyai nilai real dan imajiner. Oleh karena itu, untuk melakukan Inverse Fast Fourier Transform
(IFFT), data VNA harus dibentuk conjugate
symmetric agar dapat diperoleh data real pada domain waktu. Simulasi dan percobaan ini dilakukan dengan menggunakan software MATLAB dan menggunakan
Gabor Basis Pursuit code dari Boyd dan
Vandenberghe [7] yang dimodifikasi oleh penulis sesuai dengan keperluan compressive sampling pada SFCW-GPR.
Simulasi turunan pertama Gaussian untuk menunjukkan model dasar pantulan sinyal GPR dalam domain waktu. Berikut ini adalah hasil simulasi Gabor untuk turunan pertama Gaussian (Gambar 3) dan turunan kedua Gaussian (Gambar 4).
Gambar 3 : Rekonstruksi turunan pertama Gaussian
Gambar 4 : Rekonstruksi turunan kedua gaussian
Nilai PSNR untuk simulasi rekonstruksi turunan pertama gaussian adalah 30.8265 dB, sedangkan untuk rekonstruksi turunan kedua adalah
32.1431 dB. Hal ini menunjukkan bahwa Gabor lebih cocok untuk merekonstruksi sinyal yang banyak berosilasi, seperti turunan kedua gaussian. Dua hasil simulasi di atas juga menunjukkan bahwa Gabor mampu merekonstruksi model sinyal GPR dengan baik. Dengan demikian asumsi bahwa Gabor mampu memenuhi sifat UUP dan ERP untuk sinyal GPR terbukti.
Gambar 5 : Rekonstruksi dengan Data Utuh (201 data)
Gambar 6 : Rekonstruksi dengan 64 Data
Gambar 7 : Rekonstruksi dengan 100 Data
Setelah sifat UUP dan ERP terpenuhi, langkah selanjutnya adalah menguji Gabor untuk melakukan compressive sampling pada data real SFCW-GPR. Pada percobaan ini, data frekuensi yang diperoleh
dari output VNA berjumlah 201. Rekonstruksi gabor basis pursuit akan dilakukan berdasarkan sinyal SFCW-GPR pada domain waktu hasil IFFT dari data
frekuensi output VNA. Kemudian compressive
sampling akan dilakukan dengan mengambil secara acak 64, 100, dan 128 data dari 201 data output VNA yang utuh. Berikut ini adalah hasil percobaan rekonstruksi sinyal SFCW-GPR berdasarkan data real untuk data utuh (Gambar 5), 64 data (Gambar 6), 100 data (Gambar 7), dan 128 data (Gambar 8).
Gambar 8 : Rekonstruksi dengan 128 Data
Berikut ini adalah nilai PSNR untuk hasil rekonstruksi data real SFCW-GPR. Data untuk compressive sampling dilakukan sebanyak 4 kali untuk masing-masing sampel kemudian diambil nilai rata-ratanya.
Tabel 1 : PSNR untuk Rekonstruksi Sinyal SFCW-GPR
Sampel (data VNA) PSNR L1 (dB) PSNR L2 (dB) 201 data (utuh) 24.9450 - 64 data 14.4292 10.0905 100 data 20.6584 13.9884 128 data 23.1530 17.5502 62
Dari data PSNR di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa gabor based compressive sampling mampu merekonstruksi sinyal SFCW-GPR dengan baik sampai dengan ½ kali jumlah sampel / data normal, dimana saat pengambilan sampel 100 data PSNR-nya masih bernilai di atas 20 dB.
5. KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan di atas, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.
a. Konsep compressive sampling pada SFCW-GPR mampu mengatasi masalah lamanya waktu akuisisi data.
b. Gabor digunakan sebagai basis dictionary untuk
melakukan compressive sampling karena
karakteristiknya yang mendekati model sinyal GPR (berosilasi).
c. Gabor based compressive sampling mampu merekonstruksi dengan baik (PSNR > 30 dB) fungsi turunan pertama dan kedua Gaussian. Simulasi ini sekaligus menunjukkan bahwa Gabor memenuhi sifat UUP dan ERP untuk model sinyal GPR.
d. Gabor based compressive sampling mampu merekonstruksi dengan baik (PSNR > 20 dB) data real output VNA SFCW-GPR sampai dengan ½ kali data sampel normal.
UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak A. B. Suksmono sebagai dosen pembimbing yang banyak memberikan saran dan dukungan untuk menyelesaikan makalah ini. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada teman-teman dan civitas di KK Telekomunikasi Teknik Elektro ITB yang telah memberikan semangat dan bantuan dalam proses penulisan.
DAFTAR REFERENSI
[1] Mikhnev,V.A,“Microwave Reconstruction
Approach for Stepped-Frequency Radar”. Institute of Applied Physics, National Academy of Sciences, Minsk, Belarus, Diakses tanggal 17
Maret 2008, dari http:// www.ndt.net/article/wcndt00/index.html.
[2] Lord, R.T, “Aspects of Stepped-Frequency
Processing for Low-Frequency SAR Systems”, A thesis submitted to the Department of Electrical Engineering, University of Cape Town, February 2000.
[3] E.J. Candes, “Compressive Sampling”.
Mathematics Subject Classification (2000), Primary 00A69, 41-02, 68P30; Secondary 62C65. [4] E.J. Candes and T. Tao, “Near Optimal Signal
Recovery From Random Projections : Universal Encoding Strategies ? “, October 2004.
[5] Barwinski, M, “Product-based metric for Gabor functions and its implications for the matching pursuit algorithm”, Master thesis in Uniwersytet Warszawski, Warszawa 2004.
[6] Andriyan B.S, Endon B., A.A. Lestari, A.
Yarovoy, and L.P. Ligthart, “A Compressive SFCW-GPR System (Extended Abstract)”, IRCTR Indonesia Branch, ITB.2007.
[7] S.Boyd and L.Vandenberghe, “Convex
Optimization”. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.