BAGIAN B: SISTEM REDAMAN VISKOS: PENGEJAWANTAHAN
3.8 Energi Aliran Uap
Energi ini adalah sebanding pada amplitudo gerakan, seperti ditunjukkan di (dalam) Gambar. 3.8.1. itu bukanlah suatu nilai tetap untuk manapun diberi jumlah aliran dan amplitudo sejak energi mengusir peningkatan secara linier dengan frekuensi getaran.
41 Plot terhadap u membentuk elips berputar sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.8.2 akibat suku ku pada persamaan 3.8.8. Energi dissipasi oleh damping (peredam) tetap di area didalam elips karena luas (area) yang dikelilingi oleh gaya elastis bernilai tunggal adalah nol.
Lengkung histeris dihubungkan dengan redaman viskos adalah hasil dari histeris dinamis karena kelakukan alami beban luas lengkung (loop) sebanding dengan frekuensi getaran, ini menyiratkan kurva deformasi-gaya menjadi kurva bernilai tunggal jika beban siklus dipakai cukup lambat (ω=0). Sifat utama dari histeris dinamis adalah lengkung histeris cenderung elips ketimbang titik seperti pada gambar Fig. 1.3.1c jika dihubungkan dengan deformasi plastis. Dalam kasus lain lengkung histeris dapat terjadi meski dalam beban siklus statis, fenomena ini kemudian dikenal sebagai histeris statis, karena kurva deformasi-gaya tidak terpengaruh rasio deformasi.
Ada dua cara menukur damping, kapasitas redaman khusus dan faktor redaman khusus. Kapasitas redaman khusus adalah perbandingan sebagian energi regangan yang lenyap dalam setiap siklus gerakan, baik dan diperlihatkan pada gambar 3.8.3. Faktor redaman khusus atau faktor kehilangan didefinisikan
3.8.9
Jika energi dapat dihilangkan ketika nilai seragam selama siklus gerakan harmonik (yang pada kenyataannya tidak realistis), dapat ditulis sebagai kehilangan energi per radian dibagi energi total sistem. Dua ukuran ini jarang digunakan pada getaran struktur karena hanya cocok pada damping sangat kecil.
42 Penurunan Pers. 3.6
Persamaan 3.8.2 memberikan energi masuk per siklus dimana sudut fase, didefiniskan oleh persamaan 3.2.12 dapat ditulis sebagai
( ) ( ) Subtitusikan ke persamaan 3.8.2 menghasilkan 3.8.3.
3.9 Ekivalensi Redaman Viskos
Sebagai mana dalam pasal 1.4 redaman dalam struktur sebenarnya biasanya dianggap sama dengan redaman viskos. Definisi sederhana dari persamaan redaman viskos didasarkan atas ukuran respon dari sistem terhadap gaya harmonik pada frekuensi getaran sama dengan frekuensi alami dari sistem. Rasio redaman dihitung dari Pers. 3.4.1 dengan memakai ukuran nilai dan ( ) . Persamaan ini memperhitungkan semua mekanisme pelenyapan energi yang timbul dalam eksperimen.
Definisi lain redaman viskos adalah jumlah redaman yang timbul luas bidang yang sama didalam kurva sebagaimana didapat secara eksperimen pada sistem sebenarnya. Rasio redaman
dihitung dari Pers. 3.2.24 dengan memakai frekuensi getaran , dan , (Fig. 3.4.1) didapat dari kurva respon-frekuensi secara eksperimen.
Metode umum untuk mendifinikan ekivalensi redaman viskos adalah dengan menyamakan energi yang lenyap dalam siklus getaran dari struktur yang sebenarnya dan sebuah sistem ekivalensi redaman viskos. Untuk struktur sebenarnya hubungan perpindahan-gaya didapay dari sebuah eksperimen dengan beban siklus dengan amplitude perpindahan seperti pada gambar 3.9.1.
43 Energi yang lenyap dalam struktu sebenarnya digambarkan pada bidang yang dikelilingi lengkung histeris. Samakan ke energi yang lenyap dalam redaman viskos yang diberikan Pers. 3.8.1 menghasilkan :
atau
3.9.1
Dimana energi regangan dihitung dari kekakuan k yang ditentukan dari eksperimen. Beban eksperimen menghasilkan kurva gaya deformasi pada Fig. 3.91 sehingga dapat dilakukan pada dimana respons sistem sangar sensitif terhadap redaman. Maka Pers. 3.9.1 menjadi
3.9.2
Rasio redaman ditentukan dari sebuah tes ketika bisa jadi salah pada frekuensi getaran lainnya, akan tetapi cukup menjadi pendekatan yang memuaskan.
Contoh 3.6
Sebuah benda bergerak dalam eksperimen fluida dalam gaya hambatan sama dengan akar dari kecepatan , dimana tanda positif digunakan untuk ̇ positif dan sebaliknya. Hitung koefisien ekivalensi redaman viskos untuk gaya yang bekerja pada sistem osilasi dalam pengaruh gerak harmonik dengan amplitudo dan frekuensi . Hitung pula perpindahan amplitudo ketika .
Jawab Andai waktu dihitung dari posisi perpindahan negatif terbesar, gerakan harmoniknya adalah
( ) Energi yang lenyap dalam satu siklus putaran gerakan adalah
44 ∫ ∫ ̇
∫ ̇
∫ ( ̇ ) ̇
Samakan energi ini ke energi yang lenyap dalam redaman viskos [Pers. 3.8.1] memberikan
Subtitusikan pada Pers. Sebelumnya dan ke c di Pers. 3.2.15 sehingga ( )
BAGIAN C : SISTEM TANPA REDAMAN VISKOS
3.10 Getaran Harmonik dengan Redaman Suku Sendiri (Rate Independent) 3.10.1 Redaman Suku Sendiri
Sebuah penelitian terhadap logam struktural mengindikasikan energi lenyap secara dakhil (internally) dalam redaman siklus dari bahan sangat independen dari frekuensi siklus. Dengan cara yang sama tes getaran paksa pada struktur mengindikasikan bahwa rasio ekivalensi redaman viskos adalah secara kasar sama untuk semua mode dan frekuensi alami. Sebab itu kita merujuk tipe redaman ini sebagai redaman linear suku-sendiri.
Redaman suku sendiri dihubungkan dengan histeris statik disebabkan oleh regaman plastis, deformasi plastis lokal, plastisitas kristal dan aliran plastis dalam bidang tegangan diantara batas elastis nyata. Dalam skala mikroskopis ketidakhomogenan dari distribusi tegangan diantara kristal-kristal dan konsentrasi tegangan pada simpangan batas kristal menghasilkan tegangan lokal cukup tinggi untuk menyebabkan regangan plastis lokal meskipun rata-rata tegangan global mungkin dibawah batas elastis. Mekanisme redaman tidak memasukkan energi lenyap dalam deformasi plastis global yang mana seperti disebutkan semula ditangani secara hubungan non-linear antara gaya fs dan deformasi u.
Cara sederhana yang dapat digunakan untuk memperlihatkan redaman linear suku sendiri adalah mengasumsikan bahwa gaya redaman berbanding lurus dengan kecepatan dan berbalik terbalik dengan frekuensi
̇ 3.10.1
Dimana k adalah kekakuan struktur dan adalah koefisien redaman. Energi yang lenyap dari tipe redaman ini dalam sebuah siklus redaman pada frekuensi adalah berdiri sendiri dari (Fig. 3.10.1). Sebagaimana diberikan pada Pers. 3.8.1 dimana c diganti dengan
45 Secara kontras energi yang lenyap pada redaman viskos bertambah secara linear dengan frekuensi gaya sebagaimana diperlihatkan pada Fig.3.10.1.
Redaman suku sendiri mudah dijelaskan jika getarannya harmonik dan kita tertuju hanya pada respon kondisi tetap dari sistem ini. Kesulitan timbul dalam menerjemahkan mekanisme redaman ini terhadap domain waktu. Hal ini sangat berguna dalam metoda analisis domain-frekuensi (Pasal 1.10.3). Suku komplek ( ) menggambarkan elastasitas dan gaya redaman dalam waktu yang sama, ( ) adalah kekakuan komplek sistem. Kekakuan komplek tidak punya arti secara fisis, bagaimanapun pengertian tekniknya sama dengan kekakuan elastis.
Untuk redaman bentuk ini, seperti terlihat pada subbab 3.8, energi yang hilang akan meningkatkan perpindahan kuudratik dengan perpindahan amplitudo, dan perpindahan amplitudo ini dibatasi redaman tidak peduli seberapa kecil. Dalam kaitan dengan fakta bahwa amplitudo tidak terbatas yang terjadi pada ω= ωn jika persamaan (3.11.2) terpenuhi, sudut fase menunjukkan sebuah diskontinuitas lompatan pada ω= ωn gambar (3.11.2 ).
3.11.3 Solusi Menggunakan Persamaan Redaman Viscous
Dalam subbab ini solusi pendekatan untuk kondisi tetap respons harmonis dari sistem dengan friksi Coulumb didapatkan dengan memodelkan mekanisme redaman ini dengan eluvalensi redaman viscous. Mensubtitusikan EF, energy yang berkurang akibat friksi Coulumb dihasilkan oleh persamaan (3.11.3), untuk ED dalam persamaan (3.9.1) memberikan rasio redaman viscous ekuivalen
(3.11.4)
Di mana . Solusi pendekatan untuk perpindahan amplitudo didapatkan dengan mensubtitusikan untuk ; dalam persamaan (3.2.11):
46 *, ( ) - ,( )( )- +
Ini berisikan di sisi kanan sama dengan. Mengkuadratkan dan menyelesaikan secara aljabar, perpindahan yang dinormalkan adalah
( )
* ,( )( )- +
( )
Hasil dari pendekatan ini valid jika . Solusi pendekatan tidak dapat digunakan jika karena kuantitas di bawah radikal adalah negatif dan pembilang adalah imajiner.
Pendekatan ini dan solusi eksak dibandingkan pada gambar (3.11.2). Jika gesekan cukup kecil untuk menimbulkan gerakan kontinu, gerakan ini terjadi secara sinusoidal dan solusi pendekatan cukup dekat dengan solusi eksak. Jika gaya gesek kekuatan besar, gerakan tidak kontinu dengan hasil berhenti dan mulai bergerak, yang banyak terdistorsi relatif terhadap sebuah sinusoid, solusi pendekatan menjadi kurang baik.
Solusi pendekatan untuk sudut fase diperoleh dengan mensubtitusikan ζeq untuk ζ dalam persamaan (3.2.12 )
Mensubtitusikan u0 dari persamaan (3.11.5)
Untuk nilai F/po yang diberikan nilai φ adalah konstan tetapi dengan nilai positif jika ω/ωn < 1 adalah negatif jika ω/ωn > 1. Ini ditunjukkan pada gambar 3.11.2, dimana terlihat sudut fase tidak kontinu pada ω=ωn untuk friksi Coulomb.
Contoh 3.7
Struktur pada contoh 2.7 dengan perangkat friksi melendut 2 in. Di bawah gaya lateral p = 500 kips. Berapakah amplitudo pendekatan jika gaya harmonis diganti dengan p (t) = 500sinwt, dimana periode paksaan T=1 detik?
BAGIAN D Respons Terhadap Eksitasi Periodik
Sebuah fungsi periodik adalah salah satu bagian ditentukan terhadap T0 berulang secara tidak terbatas gambar (3.12.1). sebagian gaya adalah periodik atau mendekati periodik. Dibawah kondisi tertentu, gaya pendorong pada kapal, gaya ombak pada bangunan lepas pantai, dan gaya
47 angin ditimbulkan akibat pusaran pada bangunan tinggi dan langsing mendekati periodik. Gerakan tanah akibat gempa tidak memiliki kesamaan dengan fungsi periodik. Bagaimanapun juga getaran tumpuan berasal dari kendaraan bergerak di atas jalan layang ditetapkan karena retak jangka panjang dapat mendekati periodik.
Kita tertarik menganalisa respons getaran periodik untuk alasan yang lain. Analisa dapat diperluas menjadi getaran lain dengan menggunakan teknik fast Fourier transform yang lain. Ini tidak dijelaskan dalam buku ini.
3.12 Representasi Deret Fourier
Sebuah fungsi p (t) dikatakan periodik dengan periode To jika memenuhi hubungan berikut:
Sebuah fungsi periodik dapat dipisahkan menjadi komponen-komponen harmonik dengan menggunakan deret Fourier:
dimana harmonik fundamental dalam eksitasi memiliki frekuensi
Koefisien dalam deret Fourier dapat dinyatakan dalam hal p (t) karena fungsi sinus dan cosinus ortogonal:
Koefisien a0 adalah nilai rata-rata p (t); koefisien aj dan bj adalah amplitudo ke-j harmonis dari frekuensi jω0.
Secara teoritis, jumlah istilah tak terbatas diperlukan untuk deret Fourier untuk berkumpul ke p (t). Dalam prakteknya, bagaimanapun, beberapa istilah yang cukup untuk konvergensi yang baik. Pada sebuah diskontinuitas, seri Fourier konvergen ke nilai rata-rata dari nilai-nilai ke kiri dan ke kanan diskontinuitas.
48 Sebuah periodik eksitasi menyiratkan bahwa eksitasi telah ada untuk waktu yang lama, dimana dalam waktu respons sementara berhubungan dengan perpindahan awal dan kecepatan sudah berkurang. Hingga, hanya untuk eksitasi harmonis, kita tertarik untuk mencari respons kondisi tetap. Respons dari sistem linear terhadap gaya periodik dapat ditentukan dengan menggabungkan respons terhadap istilah eksitasi individu dalam deret Fourier.
Respon dari sistem tidak teredam untuk gaya konstan p (t) = a0 diberikan oleh persamaan (f) dari Contoh 1.5, di mana istilah cos ωt akan berkurang karena redaman (lihat bagian 4.3), meninggalkan solusi kondisi tetap.
Respons kondisi tetap dari sistem SDF teredam vicous terhadap cosinus gaya harmonik p (t) = cos a1 (} wot) diberikan oleh persamaan (3.2.3) dan (3.2.26) dengan ω diganti dengan jw0:
Demikian pula, respons kondisi tetap dari sistem terhadap gaya sinusoidal sin bj (jω0t) diberikan oleh persamaan (3.2.3) dan (3.2.4) dengan ω diganti dengan jω0:
Jika ζ=0 dan salah satu βj=1, respons kondisi tetap tak terbatas dan tidak bermakna karena respon sementara tidak pernah berkurang (lihat Bagian 3.1); selanjutnya diasumsikan bahwa ζ≠0 dan βj≠1.
Repons kondisi tetap dari sistem dengan redaman eksitasi periodik p (t) adalah kombinasi tar respons terhadap istilah individu dalam deret Fourier:
Kontribusi relatif dari berbagai istilah harmonik dalam persamaan (3.13.6) tergantung pada dua faktor: (1) amplitudo aj dan bj komponen harmonik dari fungsi paksaan p (t), dan (2) rasio frekuensi βj. Repons akan didominasi oleh komponen harmonik yang βj dekat dengan kesatuan [yaitu, frekuensi paksaan jw0 dekat dengan frekuensi alami (lihat Gambar. 3.2.6)].
Empat istilah pertama dari deret ini ditunjukkan pada Gambar. E3.8b, di mana frekuensi dan amplitudo relatif 1, 1/3, 1/5, 1/7 dari empat harmonik yang jelas. Jumlah dari istilah Fourier ditunjukkan pada Gambar. E3.8c, di mana empat istilah memberikan representasi yang wajar dari fungsi paksaan. Pada t = T0/2, dimana p (t) tidak kontinu, deret Fourier konvergen ke nol, nilai rata-rata dari p(T0/2).
Respon dari sistem SDF terhadap fungsi paksaan Persamaan (e) diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan (b), (c), dan (d) dalam Pers. (3.13.6) untuk mendapatkan
49 Ditunjukkan pada Gambar. E3.8d merupakan respons dari sistem SDF dengan periode alami Tn = T0/4 terhadap empat beban istilah pertama dalam seri Fourier dari persamaan (e). Ini adalah plot individu dari istilah dalam persamaan (f) dengan βj = jωo/ωn = jTn/T0 = j/4. Amplitudo relatif dari istilah-istilah ini jelas. Tak satu pun dari ini sangat besar karena tidak ada nilai-nilai βj sangat dekat dengan kesatuan; dicatat bahwa βj = ¼, ¾, 5/4, 7/4. i.and selanjutnya. Secara kumulatif jumlah individu respon istilah dari persamaan. (f) ditunjukkan pada gambar E3.8e, di mana kontribusi dari keempat istilah dianggap kecil. Istilah yang lebih tinggi akan lebih kecil karena amplitudo komponen harmonik p (t) menurun dengan j dan βj akan lebih jauh dari kesatuan.