Le premier terme correspond aux sinistres ‘normaux’ , que l’on pourra mod´eliser par une loi
´evoqu´ee pr´ec´edemment (r´egression Gamma par exemple). Pour le second terme, on notera que E[E(Y|X, Y > s)] = E(Y |Y > s). Autrement dit, on peut ˆetre tent´e par ne plus distinguer par classe le coˆut moyen des tr`es tr`es gros sinistres : on r´epartira proportionnellement `a la fr´equence des gros sinistres sinistres.
La pr´ediction sera donc bas´ee sur trois parties, la premi`ere pour les sinistres usuels (plus petits que s), et la seconde pour les grands sinistres (pour les sinistres exc´edant s), avec comme troisi`eme terme que sera la probabilit´e, par classe tarifaire, d’avoir un sinistre exc´edant le seuil s.
> seuil=50000
> sinistres.inf = baseCOUT[baseCOUT$cout<=seuil,]
> sinistres.sup = baseCOUT[baseCOUT$cout>seuil,]
> baseCOUT$indic = baseCOUT$cout>seuil
> proba=gam(indic~s(ageconducteur),data= baseCOUT, + family=binomial)
> probpred=predict(proba,newdata=data.frame(ageconducteur=age), + type="response")
> reg=gam(cout~s(ageconducteur),data= sinistres.inf, + family=Gamma(link="log"))
> Y.inf=predict(reg,newdata=data.frame(ageconducteur=
+ age),type="response")
> Y.sup=mean(sinistres.sup$cout)
> Y=Y.inf*(1-probpred)+Y.sup*probpred
> plot(age,Y,type="l",lwd=2,xlab="age du conducteur principal", + ylab="",ylim=c(1000,3500))
> lines(age,Pgamma,col="grey")
> legend(70,1800,c("Ecr^et´e","Brut"),col=c("black","grey"), + lwd=c(1,2),lty=1,bty="n")
La Figure 2.31 permet de visualiser la diff´erence entre les deux mod`eles, avec ou sans
´ecrˆetement (avec un seuil `a 50,000).
La Figure 2.32 permet de visualiser la diff´erence entre les deux mod`eles, avec ou sans
´ecrˆetement avec un seuil beaucoup plus faible (`a 5 000). Dans ce cas, la majorit´e est sinistres sont r´epartis entre tous les assur´es, qui payent la mˆeme quantit´e (l’esp´erance au del`a du seuil d’´ecrˆetement).
20 30 40 50 60 70 80 90
100015002000250030003500
age du conducteur principal
Ecrêté Brut
●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●●●●●●●●●
●
●
●
●
●
20 30 40 50 60 70 80 90
−50050100
age du conducteur
brut versus ecrêté (en %)
Figure 2.31 – Estimation de E(Y|X) avec ou sans ´ecrˆement (les sinistres d´epassant le seuil fix´e sont ici r´epartis entre les assur´es, proportionnellement `a leur probabilit´e d’avoir un gros sinistre), avec un seuil de gros sinistre 50 000. Le graphique du bas compare les pr´edictions des esp´erances de coˆut individuel, avec ou sans ´ecrˆement (en variation)
20 30 40 50 60 70 80 90
100015002000250030003500
age du conducteur principal
Ecrêté Brut
●●●
●●
●
●
●
●●
●
●●●●●●●●●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●●●●●●●●●●
● ●● ●
● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●●●●●●●●
●
●
●
●
●
20 30 40 50 60 70 80 90
−60−40−2002040
age du conducteur
brut versus ecrêté (en %)
Figure 2.32 – Estimation de E(Y|X) avec ou sans ´ecrˆement , avec un seuil d’´ecrˆetement `a 5 000. Le graphique du bas compare les pr´edictions des esp´erances de coˆut individuel, avec ou sans
´ecrˆement
soit
Li
P
jCjNi,jYi.j P
jNi,jCj2 L’autre condition du premier ordre donne
Cj
P
iLiNi,jYi.j
P
iNi,jL2i
On r´esoud alors ce petit systeme de maniere it´erative (car il n’y a pas de solution analytique simple). Programmer et comparer avec la m´ethode des marges.
Exercise 2.6.2. Parmi les m´ethodes proches de celles ´evoqu´ees dans la section 2.4.1 sur la m´ethode des marges, il est aussi possible d’utiliser une m´ethode bas´ee sur la distance du chi-deux. On va chercher `a minimiser
Q =X
i,j
Ni,j(Yi,j− Li· Cj)2 Li· Cj
L`a encore on utilise les conditions du premier ordre, et on obtient
Li =
P
j
Ni,jYi,j2 Cj
P
jNi,jCj
1 2
et une expression du mˆeme genre pourCj. Programmer et comparer avec la m´ethode des marges.
m´ethode des marges
Chapitre 3
Les provisions pour sinistres ` a payer
Dans ce chapitre, nous allons ´etudier les m´ethodes pour calculer le montant des provisions pour sinistres `a payer, et plus particuli`erement, des m´ethodes permettant de quantifier la marge d’erreur associ´ee. Comme les d´efinit Simonet (1998), “les provisions techniques sont les pro-visions destin´ees `a permettre le r`eglement int´egral des engagements pris envers les assur´es et b´en´efi-ciaires de contrats. Elles sont li´ees `a la technique mˆeme de l’assurance, et impos´ees par la r`eglementation”. D’un point de vue plus formel, `a la date t, la compagnie d’assurance est tenue de constituer une provision pour les sinistres survenus avant la date t qu’elle sera tenu d’indemniser. Elle doit donc estimer le coˆut des sinistres survenus, et retrancher les montants d´ej`a vers´es. Il s’agit donc fondamentalement d’un probl`eme de pr´evision.
3.1 La probl´ ematique du provisionnment
Parmi les m´ethodes reconnues par les autorit´es de contrˆoles, les plus classiques sont bas´ees sur les cadences de paiements. On raisonne pour cela par ann´ee de survenance de sinistre, et on suppose une certaine r´egularit´e dans la cadence de paiement.
3.1.1 Quelques d´efinitions et notations, aspects r`eglementaires et comptables La plupart des m´ethodes pr´esent´ees ici sont d´etaill´ees dans Denuit & Charpentier (2005), Partrat et al. (2008)ou W¨uthrich & Merz (2008). Classiquement, on notera
– i (en ligne) l’ann´ee de survenance des sinistres, – j (en colonne) l’ann´ee de d´eveloppement,
– i + j (en diagonale) l’ann´ee calendaire de paiement (pour les incr´ements),
– Yi,j les incr´ements de paiments, pour l’ann´ee de d´eveloppement j, pour les sinistres sur-venus l’ann´ee i, Table 3.1,
– Ci,jles paiments cumul´es, au sens o`u Ci,j = Yi,0+Yi,1+· · ·+Yi,j, pour l’ann´ee de survenance j, Table 3.2
– Pi la prime acquise pour l’ann´ee i, Table 3.3,
– Ni,j le nombre cumul´e de sinistres pour l’ann´ee de survenance i vu au bout de j ann´ees, Table 3.4,
– Γi,j la charge dossier par dossier cumul´ee (estim´ees par les gestionnaires de sinistres sur les Ni,j connus, ou partiellement connus), pour l’ann´ee de d´eveloppement j, pour les sinistres survenus l’ann´ee i, Table 3.7 (cette matrice ne sera explot´ee que dans la m´ethode dite Munich Chain Ladder).
91
0 1 2 3 4 5
0 3209 1163 39 17 7 21
1 3367 1292 37 24 10 2 3871 1474 53 22 3 4239 1678 103 4 4929 1865 5 5217
Table 3.1 – Triangle des incr´ements de paiements, Y = (Yi,j).
0 1 2 3 4 5
0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 1 3367 4659 4696 4720 4730
2 3871 5345 5398 5420 3 4239 5917 6020
4 4929 6794 5 5217
Table 3.2 – Triangle des paiements cumul´es, C = (Ci,j).
Formellement, toutes ces donn´ees sont stock´ees dans des matrices (ou un vecteur pour la prime), avec des valeurs manquantes NA pour les valeurs futures. Ils seront d´enomm´es respecti-vement PAID, PREMIUM, NUMBER et INCURRED
> PAID
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 4372 4411 4428 4435 4456 [2,] 3367 4659 4696 4720 4730 NA [3,] 3871 5345 5398 5420 NA NA [4,] 4239 5917 6020 NA NA NA [5,] 4929 6794 NA NA NA NA
[6,] 5217 NA NA NA NA NA
Le triangle des incr´ements se d´eduit facilement du triangle des cumul´es
> nc <- ncol(PAID)
> nl <- nrow(PAID)
> INC <- PAID
> INC[,2:nc] <- PAID[,2:nc]-PAID[,1:(nc-1)]
> INC
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 1163 39 17 7 21
[2,] 3367 1292 37 24 10 NA [3,] 3871 1474 53 22 NA NA [4,] 4239 1678 103 NA NA NA [5,] 4929 1865 NA NA NA NA
[6,] 5217 NA NA NA NA NA
Dans sa version la plus simple, le but des m´ethodes de provisionnement est de compl´eter la partie inf´erieure des triangles de paiements. Dans la litt´erature anglo-saxonne, on parlera
Ann´ee i 0 1 2 3 4 5 Pi 4591 4672 4863 5175 5673 6431
Table 3.3 – Vecteur des primes acquises, P = (Pi).
0 1 2 3 4 5
0 1043.4 1045.5 1047.5 1047.7 1047.7 1047.7 1 1043.0 1027.1 1028.7 1028.9 1028.7
2 965.1 967.9 967.8 970.1 3 977.0 984.7 986.8
4 1099.0 1118.5 5 1076.3
Table 3.4 – Triangle des nombres de sinistres, cumul´es, en milliers, N = (Ni,j).
d’IBNR (incurred but not reported).
3.1.2 Formalisation du probl`eme du provisionnement
Le provisionnement est un probl`eme de pr´ediction, conditionnelle `a l’information dont on dispose `a la date n. On noteraHn l’information disponible `a la date n, soit
Hn={(Xi,j), i + j ≤ n} = {(Ci,j), i + j≤ n}.
On cherche `a ´etudier, par ann´ee de survenance, la loi conditionnelle de Ci,∞ (la charge ultime pour une ann´ee de survenance donn´ee) sachant Hn, ou encore, si l’on suppose les sinistres clos au bout de n ann´ees la loi de Ci,n sachant Hn. Si l’on se focalise sur une ann´ee de survenance particuli`ere, on pourra noter
Fi,n−i={(Xi,j), j = 0,· · · , n − i)} = {(Ci,j), j = 0,· · · , n − i)}.
Cette notation permet de prendre en compte que l’information disponible change d’une ligne `a l’autre. On cherchera par la suite `a pr´edire le montant des sinistres `a payer pour l’ann´ee i, i.e.
Cbi,n(n−i)= E[Ci,n|Fi,n−i]
et la diff´erence entre ce montant et le montant d´ej`a pay´e constituera la provision pour sinistres
` a payer,
Rbi = bCi,n(n−i)− Ci,n−i.
On essayera ensuite de quantifier l’incertitude associ´ee `a cette pr´ediction. Comme on le verra les m´ethodes usuelles visaient `a calculer
V[Ci,n|Fi,n−i] ou V[ bCi,n(n−i)]
ce que l’on appelera “incertitude `a horizon ultime”. Mais ce n’est pas ce que propose Solvabilit´e II, demandant plutˆot de mesurer une incertitude dite `a un an. Pour cela, on va s’int´eresser `a la pr´ediction qui sera faite dans un an,
Cbi,n(n−i+1)= E[Ci,n|Fi,n−i+1]
et plus particuli`erement le changement dans l’estimation de la charge ultime
∆ni = bCi,n(n−i+1)− bCi,n(n−i)= CDRi(n),
parfois not´e CDR (claims development result). Si cette diff´erence est positive, on parle de mali (il faudra gonfler la provision afin de pouvoir payer les sinistres), et si elle est n´egative, on parle de boni. On peut montrer que E[∆ni|Fi,n−i] = 0, autrement dit, on ne peut esp´erer faire ni boni, ni mali, en moyenne. Les contraintes r`eglementaires impos´ee´es par Solvabilit´e II demandent de calculer V[∆ni|Fi,n−i].