Faktorisasi Graf Beraturan-r yang Memiliki Faktor-2

BAB III PEMBAHASAN

3.2 Faktorisasi Graf Beraturan-r yang Memiliki Faktor-2

1. Graf beraturan-2 dengan order 4

Gambar graf C sebagai berikut: ₄

v4 v1 G: v2 v3 Gambar 3.111 Graf C ₄

Gambar 3.111 memperlihatkan bahwa graf C memiliki 4 titik, yaitu ₄

1, 2, 3

v v v dan v , dan memiliki 4 sisi. Faktor dari graf ₄ C adalah graf ₄

4

C itu sendiri. Sehingga faktorisasi dari graf C adalah graf ₄ C itu ₄

sendiri tanpa di operasikan dengan graf lain. 2. Graf beraturan-2 dengan order 6

Gambar graf C sebagai berikut: ₆

v6 v1 G: v2 v5 v4 v3 Gambar 3.112 Graf C ₆

Gambar 3.112 memperlihatkan bahwa graf C memiliki 6 titik, yaitu ₆

1, 2, ,3 4, 5

v v v v v dan v , dan memiliki 6 sisi. Faktor dari graf ₆ C adalah ₆

graf C itu sendiri. Sehingga faktorisasi dari graf ₆ C adalah graf ₆ C ₆

itu sendiri tanpa di operasikan dengan graf lain. 3. Graf beraturan-2 dengan order 8

Gambar graf C sebagai berikut: ₈

v8 v1 G: v2 v7 v6 v3 v5 v4 Gambar 3.113 Graf C ₈

Gambar 3.113 memperlihatkan bahwa graf C memiliki 8 titik, yaitu ₈

1, 2, ,3 4, ,5 6,

v v v v v v v dan ₇ v , dan memiliki 8 sisi. Faktor dari graf ₈ C ₈

adalah graf C itu sendiri. Sehingga faktorisasi dari graf ₈ C adalah ₈

graf C itu sendiri tanpa di operasikan dengan graf lain. ₈

4. Graf beraturan-2 dengan order 10 Gambar graf C sebagai berikut: ₁₀

v10 v1 G: v2 v9 v8 v3 v7 v4 v6 v5 Gambar 3.114 Graf C ₁₀

Gambar 3.114 memperlihatkan bahwa graf C memiliki 10 titik, ₁₀

yaitu v v v v v ₁, ₂, ,_{3 4}, ,₅ v v v v dan ₆, ₇, ,_{8 9} v , dan memiliki 10 sisi. Faktor ₁₀

dari graf C adalah graf ₁₀ C itu sendiri. Sehingga faktorisasi dari graf ₁₀

10

C adalah graf C itu sendiri tanpa di operasikan dengan graf lain. ₁₀

Tabel 3.8 Faktorisasi graf beraturan-2 menggunakan faktor-2 ( )

p G _{G beraturan-2} q G ( ) _{Banyak faktor-2}

4 2 4 2 4 2   ⁴ 1 4 6 ^{6 2} 6 2  _ 6 1 6 8 ^{8 2} 8 2  _ 8 1 8 10 ^{10 2} 10 2   ¹⁰ 1 10  2n 2n 1

Dari tabel 3.8 ditarik kesimpulan bahwa graf (C ) dengan order _2n

3.2.2 Graf Beraturan-4 dengan Order Genap

1. Graf beraturan-4 dengan order 6

Gambar graf beraturan-4 dengan order 6 sebagai berikut: v₆ v₁ G: v₂ v5 v₄ v3

Gambar 3.115 Graf beraturan-4 berorder 6

Gambar 3.115 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.115 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-4 berorder 6 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v . ₁

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.115 adalah faktor kedua

2

(G pada graf beraturan-4 berorder 6 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

5

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₅ v , titik ₂ v terhubung ₂

langsung dengan titik v , titik ₆ v terhubung langsung dengan titik ₆

4

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₄ v . ₁

Jika G dan ₁ G adalah faktor-faktor graf beraturan-4 berorder 6 ₂

yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2

G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-4 berorder 6, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya.

2. Graf beraturan-4 dengan order 8

Gambar graf beraturan-4 dengan order 8 sebagai berikut:

v₈ v1 G: v2 v7 v₆ v₃ v₅ v₄

Gambar 3.116 Graf beraturan-4 berorder 8

Gambar 3.116 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.116 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-4 berorder 8 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₇ v terhubung ₇

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

1

v .

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.116 adalah faktor kedua

2

(G pada graf beraturan-4 berorder 8 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₄ v terhubung langsung dengan titik ₄

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₃ v terhubung ₃

langsung dengan titik v , titik ₇ v terhubung langsung dengan titik ₇

2

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₂ v , titik ₈ v terhubung ₈

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

1

v .

Jika G dan ₁ G adalah faktor-faktor graf beraturan-4 berorder 8 ₂

yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2

G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-4 berorder 8, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya.

3. Graf beraturan-4 dengan order 10

Gambar graf beraturan-4 dengan order 10 sebagai berikut:

v₁₀ v1 G: v2 v9 v₈ v₃ v₇ v₄ v₆ v₅

Gambar 3.117 Graf beraturan-4 berorder 10

Gambar 3.117 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.117 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-4 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₇ v terhubung ₇

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

9

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₉ v , titik ₁₀ v ₁₀

tetrhubung langsung dengan titik v . ₁

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.117 adalah faktor kedua

2

Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

7

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₇ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₉ v terhubung ₉

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

10

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₁₀ v , titik ₆ v ₆

tetrhubung langsung dengan titik v . ₁

Jika G dan ₁ G adalah faktor-faktor graf beraturan-4 berorder ₂

10 yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2

G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-4 berorder 10, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya.

Tabel 3.9 Faktorisasi graf beraturan-4 menggunakan faktor-2 ( )

p G _{G beraturan-4} q G ( ) _{Banyak faktor-2}

6 4 6 4 12 2   ¹² 2 6  8 ^{8 4} 16 2  _ 16 2 8  10 ^{10 4} 20 2  _ 20 2 10  2n 4n 2

Dari tabel 3.9 dapat ditarik kesimpulan bahwa graf beraturan-4 dengan order genap (2 )n dimana n3 dan n memiliki faktor-2 sebanyak 2.

3.2.3 Graf Beraturan-6 dengan Order Genap

1. Graf beraturan-6 dengan order 8

Gambar graf beraturan-6 dengan order 8 sebagai berikut:

v₈ v₁ G: v₂ v₇ v₆ v₃ v₅ v₄

Gambar 3.118 Graf beraturan-8 berorder 8

Gambar 3.117 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.118 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-6 berorder 8 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

6

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

1

v .

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.118 adalah faktor kedua

2

(G pada graf beraturan-6 berorder 8 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₄ v terhubung langsung dengan titik ₄

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₃ v terhubung ₃

langsung dengan titik v , titik ₇ v terhubung langsung dengan titik ₇

2

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₂ v , titik ₈ v terhubung ₈

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

1

v .

c. Faktor ketiga

Sisi yang bewarna merah pada gambar 3.118 adalah faktor ketiga

3

(G pada graf beraturan-6 berorder 8 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₇ v terhubung langsung dengan titik ₇

4

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₄ v , titik ₈ v terhubung ₈

langsung dengan titik v , titik ₃ v terhubung langsung dengan titik ₃

5

langsung dengan titik v , titik ₆ v terhubung langsung dengan titik ₆

1

v .

Jika G , ₁ G dan ₂ G adalah faktor-faktor graf beraturan-6 ₃

berorder 8 yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2 3

G G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-6

berorder 8, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya 2. Graf beraturan-6 dengan order 10

Gambar graf beraturan-6 dengan order 10 sebagai berikut: v10 v1 G: v2 v9 v8 v3 v7 v4 v6 v5

Gambar 3.119 Graf beraturan-6 berorder 10

Gambar 3.119 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.119 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-6 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

6

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

9

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₉ v , titik ₁₀ v ₁₀

tetrhubung langsung dengan titik v . ₁

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.119 adalah faktor kedua

2

(G pada graf beraturan-6 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

7

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₇ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₉ v terhubung ₉

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

10

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₁₀ v , titik ₆ v terhubung ₆

langsung dengan titik v . ₁

c. Faktor ketiga

Sisi yang bewarna merah pada gambar 3.119 adalah faktor ketiga

3

(G pada graf beraturan-6 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₉ v terhubung langsung dengan titik ₉

5

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₅ v , titik ₁₀ v terhubung ₁₀

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₃ v terhubung ₃

langsung dengan titik v , titik ₇ v terhubung langsung dengan titik ₇

2

v , titik v terhubung langsunng dengn titik ₂ v , titik ₈ v terhubung ₈

langsung dengan titik v . ₁

Jika G , ₁ G dan ₂ G adalah faktor-faktor graf beraturan-6 ₃

berorder 10 yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2 3

G G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-6

berorder 10, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya.

Tabel 3.10 Faktorisasi graf beraturan-6 menggunakan faktor-2

( )

p G _{G beraturan-6} q G ( ) _{Banyak faktor-2}

8 6 8 6 24 2  _ 24 3 8  10 ^{10 6} 30 2   ³⁰ 3 10  2n 6n 3

Dari penjelasan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa graf beraturan-6 dengan order genap (2 )n dimana n4 dan n

3.2.4 Graf Beraturan-8 dengan Order Genap

1. Graf beraturan-8 dengan order 10

Gambar graf beraturan-8 dengan order 10 sebagai berikut:

v10 v1 G: v2 v9 v8 v3 v7 v4 v6 v5

Gambar 3.120 Graf beraturan-8 berorder 10

Gambar 3.120 jika difaktorkan menggunakan faktor-2 akan diperoleh: a. Faktor pertama

Sisi yang bewarna hitam pada gambar 3.120 adalah faktor pertama

1

(G pada graf beraturan-8 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₂ v terhubung langsung dengan titik ₂

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₄ v terhubung ₄

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₇ v terhubung ₇

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

9

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₉ v , titik ₁₀ v ₁₀

b. Faktor kedua

Sisi yang bewarna hijau pada gambar 3.120 adalah faktor kedua

2

(G pada graf beraturan-8 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₆ v terhubung langsung dengan titik ₆

3

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₃ v , titik ₉ v terhubung ₉

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

7

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₇ v , titik ₂ v terhubung ₂

langsung dengan titik v , titik ₁₀ v terhubung langsung dengan titik ₁₀

4

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₄ v , titik ₈ v terhubung ₈

langsung dengan titik v . ₁

c. Faktor ketiga

Sisi yang bewarna merah pada gambar 3.120 adalah faktor ketiga

3

(G pada graf beraturan-8 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₅ v terhubung langsung dengan titik ₅

8

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₈ v , titik ₃ v terhubung ₃

langsung dengan titik v , titik ₁₀ v terhubung langsung dengan titik ₁₀

6

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₆ v , titik ₂ v terhubung ₂

9

v , titik v terhubung langsunng dengn titik ₉ v , titik ₇ v terhubung ₇

langsung dengan titik v . ₁

d. Faktor keempat

Sisi yang bewarna biru pada gambar 3.120 adalah faktor keempat

4

(G pada graf beraturan-8 berorder 10 jika menggunakan faktor-2. ) Gambar tersebut memperlihatkan bahwa titik v terhubung ₁

langsung dengan titik v , titik ₃ v terhubung langsung dengan titik ₃

5

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₅ v , titik ₁₀ v terhubung ₁₀

langsung dengan titik v , titik ₇ v terhubung langsung dengan titik ₇

4

v , titik v terhubung langsung dengan titik ₄ v , titik ₆ v terhubung ₆

langsung dengan titik v , titik ₈ v terhubung langsung dengan titik ₈

2

v , titik v terhubung langsunng dengn titik ₂ v , titik ₉ v terhubung ₉

langsung dengan titik v . ₁

Jika G , ₁ G , ₂ G dan ₃ G adalah faktor-faktor graf beraturan-8 ₄

berorder 10 yang mana sisi-sisinya saling disjoint, sedemikian hingga

1 2 3 4

G G G G G merupakan faktorisasi dari graf beraturan-8 berorder 10, yakni penjumlahan sisi dari faktor-faktornya.

Dari proses pemfaktoran graf beraturan-r (r2) dengan order genap (2 )n dimana n2 dan n yang memiliki faktor-2, diperoleh suatu pola sebagai berikut:

Table 3.11 Faktorisasi graf beraturan-r yang memiliki faktor-2

( )

p G G beraturan-r q G ( ) Banyak faktor-2

4 2 ^{4 2} 4 2  _ 4 1 4 6 2 ^{6 2} 6 2   ⁶ 1 6 4 ^{6 4} 12 2  _ 12 2 6  8 2 ^{8 2} 8 2   ⁸ 1 8 4 ^{8 4} 16 2  _ 16 2 8  6 ^{8 6} 24 2  _ 24 3 8  10 2 ^{10 2} 10 2   ¹⁰ 1 10  4 ^{10 4} 20 2  _ 20 2 10  6 ^{10 6} 30 2   ³⁰ 3 10  8 ^{10 8} 40 2  _ 40 4 10  2n 2 r 2n2, 0(mod 2) r ^{q G( )nr} 1 2^r Teorema:

Jika G graf beraturan-r dengan 2 r 2n2 dengan syarat 0(mod 2)

r dan p G

 

2n maka G memiliki faktor-2 sebanyak ¹

2^{r ,} untuk n2 dan n .

Bukti:

Diberikan p G

 

2n dengan graf beraturan-r dimana 2 r 2n2

dengan syarat r0(mod 2) dan q G( )nr, untuk n2 dan n .

Akan dibuktikan jumlah faktor-2 adalah ¹ 2^{r .}

Teorema tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.

Ambil n2 maka p G

 

4 sehingga memiliki graf beraturan-2 dengan q G( )4, sehingga dapat digambarkan sebagai berikut:

v4 v1 G: v2 v3 Graf beraturan-2 (C ₄)

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa pada graf beraturan-2 setiap titik berderajat 2, sehingga setiap titik memiliki 2 pasang. Jika p G

 

4 maka 4x2=8 (Jumlah derajat graf beraturan-2).

Menurut teorema lemma jabat tangan jika q G

 

4 maka



d_G( )v 8.

Sehingga jumlah faktor-2 adalah ^{( ) 8} 1

2 ( ) 8

G

d v

p G  



_.

 Untuk graf beraturan-2 dengan p G

 

4 memiliki faktor-2 sebanyak 1. Jadi untuk n2 benar.

Akan ditunjukkan jika untuk nk benar maka untuk n k 1 juga benar.

Asumsikan untuk nk benar. Artinya p G

 

2k dengan graf beraturan-r dimana 2 r 2k2 dengan syarat r0(mod 2) dan q G( )kr maka

memiliki faktor-2 sebanyak 1

2^{r . Ambil r yang minimal dan maksimal.} Untuk r2 maka jumlah faktor-2 adalah 1, benar

Untuk r2k2 maka jumlah faktor-2 adalah k1, dianggap benar.

Akan ditunjukkan benar untuk n k 1 maka p G

 

2(k1) dengan graf beraturan-r dimana 2 r 2(k  1) 2 2k dengan syarat r0 mod 2 dan ( )q G (k1)r.

Ilustrasi tersebut dapat digambar dengan mengambil graf beraturan-r yang maksimal dimana r2k2 dan p G

 

2k dengan menambah 2 titik sehingga r2k dan p G

 

2k2. 2 2 r k v4 v1 G: v2 v5 v6 v3 v2k v2k-1 v2k+2 v2k+1 2 r k

Dari gambar tersebut dapat dilihat untuk p G

 

2k dengan graf beraturan- 2k2 maka memiliki faktor-2 sebanyak k1 (sesuai asumsi).

Untuk p G

 

2k2 dengan graf beraturan- 2k maka memiliki faktor-2 sebanyak k , sesuai ilustrasi grambar sebagai berikut:

G ^r=2k

v2k+2

v2k+1

Graf beraturan-2k maka memiliki faktor-2 sebanyak k

Graf beraturan-2k2 maka memiliki faktor-2 sebanyak k1 Sehingga diperoleh jumlah faktor-2 adalah

Jumlah faktor-2 k

Jumlah faktor-2   k 1 1

Jumlah faktor-2 = Jumlah faktor-21, dengan 1 adalah penambahan jumlah faktor-2 sebanyak 1.

 Jumlah faktor-2 = Jumlah faktor-2(G₁)

Sesuai prinsip induksi matematika, jika p G

 

2n dengan beraturan-r dimana 2 r 2n2 dengan syarat r0 mod 2 maka memiliki faktor-2

sebanyak ¹

3.3 Faktorisasi Graf beraturan-r yang Memiliki Faktor-3