Faktorisasi Tensor Distorsi

Representasi matrik yang sesuai ini mengikuti contoh (Spitz, 1985) dan diperkenalkan suatu modifikasi matrik spin pauli, yaitu

Ü = a1 0_{0 1b} (2.64a)

Ý_[= a0 1_{1 0b} (2.64b)

Ý_H = a1 0_{0 −1b} (2.64d) Suatu tensor M orde 2 dapat dinyatakan dalam penjumlahan matrik (Persamaan 2.64) yaitu

Þ = αß + α[Ýà+ α=ÝÚ+ αHÝH (2.65) Sedangkan faktorisasi dari C menghasilkan

Ç = ÃÛá< (2.66)

g adalah suatu skalar dan faktor tensor T, S, A didefinisikan dengan

Û = â_Ú.Ü + >Ý_Ú/ (2.67a)

á = â_à.Ü + %Ý_à/ (2.67b)

< = â_ã.Ü + pÝ_H/ (2.67c)

Faktor normalisasi N_i ditetapkan agar T, S, dan A secara individual dapat bertahan ketika diterapkan ke suatu medan listrik acak terpolarisasi secara isotropis, yaitu

â_[ = 1 √1 + %⁄ = (2.68a)

â₌ = 1 √1 + >⁄ = (2.68b)

â_H = 1 √1 + p⁄ = (2.68c)

Adapun tujuan normalisasi untuk memastikan setiap elemen T, S, dan A tetap terbatasi selama proses komputasi.

Beberapa pengertian fisis dalam faktorisasi ini dapat ditentukan dengan menguji pengaruh dari setiap faktor pada medan listrik regional (yaitu medan listrik regional pada sistem koordinat alami dari struktur regional 2-D). Tensor anisotropi atau tensor pemisahan

< = â_ã.Ü + pÝ_H/ = â_ãa1 + p_{0 1 − pb}⁰ (2.69) merentangkan dua komponen medan dengan faktor berbeda, membangkitkan suatu anisotropi yang berhubungan dengan distorsi dan keberadaan anisotropi tensor impedansi induksi regional Z2 sepanjang sumbu yang sama. Distorsi anisotropi ini tidak dapat terbedakan dari anisotropi induktif kecuali dalam keadaan ketika anisotropi Z2 diketahui. Gambar (2.7b) menunjukkan pengaruh A pada suatu keseluruhan vektor-vektor satuan untuk s positif.

Tensor shear (dinamakan sesuai dengan analogi teori deformasi)

á = âà.Ü + %Ýà/ = âàa1 %_{% 1b} (2.70) mengembangkan anisotropi pada sumbu di mana sumbu utama induktif regional terbagi dua. Pengaruh S pada keseluruhan vektor satuan ditunjukkan oleh gambar 2.7b untuk shear e positif. Perubahan sudut maksimum terjadi untuk vektor-vektor sejajar dengan sumbu utama. Suatu vektor pada sumbu x dalam gambar dibelokkan searah jarum jam dengan sudut shear tan^-1e, dan suatu vektor sepanjang sumbu y dibelokkan berlawanan arah jarum jam dengan besar sudut yang sama.

Pengaruh dari tensor twist

Û = â_Ú.Ü + >Ý_Ú/ = â_Úa1 −>_{> 1 b} (2.71) secara sederhana untuk merotasi vektor medan listrik searah jarum jam dengan sudut twist tan^-1t. Twist t dikarakterisasi dengan sudut twist ф_s= tan^-1t.

Terakhir, g menunjukkan suatu keseluruhan penskalaan medan listrik. Hal ini diperlukan karena hasil A, S, dan T ternormalisasi akan berbeda dari tensor distorsi C sesungguhnya. g lebih merupakan suatu ‘site gain’.

Gambar 2.7 (a) susunan data MT yang diambil pada pusat konduktif swamp (hitam) yang dilingkupi oleh regional konduktif pertengahan (abu-abu) dan suatu isolator (putih). t₍ menunjukkan arah strike dari suatu swamp dengan ‘twist’ arus telurik. Anomali juga ditentukan oleh efek shear dan anisotropis dari data. (b) pengaruh dari operator twist, shear, anisotropis terhadap medan regional . (Groom dan Bailey, 1989)

Baik g ataupun A dapat ditentukan secara terpisah dari Z2, dengan Z’2= g A

Z₂ dipandang seperti tensor impedansi 2-D ideal (yaitu memiliki elemen diagonal nol). Dua impedansi utama ditentukan dalam Z’2 akan secara terpisah terskalakan dengan sesuatu yang tidak diketahui tetapi merupakan faktor bebas frekuensi. Keuntungan faktorisasi ini adalah bagian C yang tidak diketahui diserap ke tensor impedansi yang ditentukan tanpa merusak bentuk tensor 2-D ideal.

Jika distorsi telurik tidak bergantung frekuensi, penyerapan g, A ke dalam Z2

tidak akan mengubah bentuk kurva resistivitas semu ataupun fasa, dengan demikian kita dapat menentukan secara tepat kecuali terdapat pergesaran statis. Dalam metode

konvensional, tidak hanya penyerapan g, A ke dalam Z2 tetapi juga T dan S, dengan demikian mengubah dari tensor ideal 2-D.

Faktorisasi C menggunakan nilai real g, t, e, s dan ketidak-unikkan untuk C yang berubah-ubah. Sebagai contoh dekomposisi klasik nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matrik persegi tidak akan menghasilkan nilai real dari nilai eigen dan vektor eigen jika matrik tidak memiliki properti yang pasti. Hal yang sama, tidak ada jaminan di mana hasil faktorisasi dalam (Persamaan 3.24) tetap ada jika s, t, e dan g yang diperlukan menjadi real.

Ç =_{å.[R²;/.[R}^ä _;/.[Ræ;/× £.1 + p/.1 − >%/ .1 − p/.% − >/.1 + p/.% + >/ .1 − p/.1 + >%/¤ ^(2.72) Untuk kasus distorsi lemah (t, e dan s kurang dari satu), maka faktorisasi dapat diaproksimasi dengan mudah. Jika seluruh bentuk kedua dan ketiga e, s, dan t diabaikan, maka diperoleh

Ç = a^·_·^[_H ^·_·⁼_zb ≈ Ã a1 + p % − >_{% + > 1 − pb} (2.73) Dengan demikian diperoleh

à ≈^ç†Rç_è = ^(2.74a) % ≈^ç;Rç_é ç_†Rç_è ^(2.74b) p ≈^ç†Gç_è çRç_è ^(2.74c) > ≈^çéGç_; ç_†Rç_è ^(2.74d)

Ini merupakan bentuk operator yang digunakan oleh (Larsen, 1975). Pada keadaan distorsi lemah, model regional 1-D (Larsen, 1975,1977) dapat sangat sederhana

menghitung twist, shear, anisotropi dan kemungkinan menggeser impedansi 1-D tetapi bukan site gain.

Untuk distorsi umum, Persamaan (2.72) harus disesuaikan. Hal tersebut ditunjukkan di mana keberdaaan dua solusi secara umum dari Persamaan ini dan hanya satu yang memiliki arti secara fisis.

Persamaan (2.72)

Ç = Ã′ £.1 + p/.1 − >%/ .1 − p/.% − >/.1 + p/.% + >/ .1 − p/.1 + >%/¤ ^(2.75a) dengan g’ sudah termasuk faktor normalisasi. Asumsikan C dengan bentuk

Ç = £·[ 0 ·_H 0¤ atau

Ç = £0 ·_{0 ·}⁼

z¤

Untuk kasus khusus ini di mana Persamaan (3.30) s ≠ ±1

Jika c₄ ≠ 0, ê =^ç; ç_è =_[R(²^²G( (2.75b) Dan jika c1 ≠ 0, ^ =^çé ç_†=_[G(²^²R( (2.75c)

Kasus khusus untuk c₁ = 0 atau c₄ = 0 memiliki dua solusi yang secara jelas tidak

dibahas di sini. Jika γ = β, maka terdapat satu solusi: t= 0 dan

% = ê = ^ à =^ç†Rç_è

= p =^ç†Gç_è

Jika γ = -β, solusi hanya e= 0, dan

> = −ê = ^ à =^ç†Rç_è

= p = ^ç†Gç_è

=ë ^(2.76b)

Jika γ ≠ β dan γ ≠ -β, maka Persamaan (2.75) dapat diperoleh dengan Persamaan kuadrat dari e dan t

.ê + ^/%=+ 2%.1 − ê^/ − .^ + ê/ = 0 (2.77a) .ê − ^/>=+ 2>.1 + ê^/ − .ê − ^/ = 0 (2.77b) Solusi real,

> =^{.ìíR[/±å.[Rì}_ìGí ^;/.[Rí;/ (2.78a)

% =^{.ìíG[/±å.[Rì}_ìRí ^;/.[Rí;/ (2.78b)

solusi untuk t dengan akar kuadrat positif sebagai t⁺, sedangkan solusi lain t^-, dan berlaku juga untuk e.

>R>G = −1 %R%G = −1 dan dua set solusi (e₁, t₁) = (e^+, t^-) dan (e₂, t₂) = (e^-, t⁺).

Dengan demikian dapat ditunjukkan di mana γβ = -1 saat t = ±1 dan γβ = 1 saat e = ±1. Perkecualian untuk solusi pasangan, di salah satu solusi, |%| > 1, dan yang lain |%| < 1. Berlaku juga untuk solusi di mana |>| > 1, dan yang lain |>| < 1. Secara lebih spesifik, dapat ditunjukkan (g, t, e, s) adalah suatu solusi, maka (-g, -t^-1, -e^-1, s^-1) merupakan solusi juga.

Kedua solusi tidak dapat selalu terbagi menjadi solusi distorsi ‘kecil’ |>, %| < 1 dan ‘besar’ |>, %| > 1. Namun, jika

maka

|>₌| < |>_[| |%=| < |%[|

dan solusi di atas merupakan solusi distorsi kecil yang berbeda dengan solusi distorsi besar. Namun, jika |ê^| > 1, maka solusi merupakan jenis distorsi perpaduan. Di mana satu solusi memiliki shear kecil dan twist yang besar sedangkan yang lain twist kecil dan shear besar. Pada saat |%| ≤ 1, pengaruh dari operator shear (2.70) menyebabkan suatu sudut shear yang lebih besar dari 45° menjadi tidak berarti. Pembatasan ini agar diperoleh suatu solusi unik dari faktorisasi ketika shear memiliki magnitude kurang dari satu.

Penyelesaian dari keunikkan memerlukan shear dan site gain yang ditentukan secara unik dari tensor distorsi. Untuk menentukan faktor anisotropi suatu tensor distorsi yang diketahui, (20’) menghasilkan

[Rñ

[Gñ= a^[R(²_[G(²b^ç†

ç_è ^(2.79)

Jika te ≠ 1 dan c4 ≠ 0 (kasus khusus di mana te = 1 dan c4 = 0 dapat ditentukan dengan mudah). Persamaan (3.37) memberikan solusi

p[ =^.ç†Gç_è/R²_†(_†.ç_†Rç_è/

.ç_†Rç_è/R²_†(_†.ç_†Gç_è/ ^(2.80a)

dan

p₌=_ñ^[

† (2.80b)

Terakhir, parameter g ditentukan dengan mengalikan C dengan S^-1 T^-1. T inverse diperoleh saat determinannya 1+t² dan t real. S inverse diperoleh jika e ≠±1.

(Kasus ini dipandang secara terpisah) Menghasilkan suatu matrik diagonal g A dan penjumlahan dari setiap elemen menghasilkan

2Ã_&′ =_›[G² ^[

®^;œ›[R(_®^;œ¸·_[.1 + %_&>_&/ − ·₌.%_& + >_&/ − ·.%_&− >_&/ + ·_z.1 − >_&%_&/» (2.81)

dengan i=1,2.

Hanya satu dari dua solusi untuk dekomposisi tensor distorsi yang dapat diterima secara fisis. Pembahasan ini sangat diperlukan untuk menetapkan parameter yang digunakan (g, e, t, s) yang pada kenyataannya terdefinisi dengan baik melalui faktorisasi yang diajukan ini.