Fungsi Sebarang Satu Variabel - Lebih Jauh tentang Galat Independen

BAB III RAMBAT GALAT

H. Lebih Jauh tentang Galat Independen

I. Fungsi Sebarang Satu Variabel

32 48 , 6 500 48 , 6 % 48 , 6 42 25 16 1 5 4 1² ² ² 2 2 2                                         q q z z y y x x q q      sehingga . 32 500  r

I. Fungsi Sebarang Satu Variabel

Seperti yang telah dijelaskan tentang bagaimana galat, semua independen dan sebaliknya, merambat melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, banyak perhitungan membutuhkan operasi yang lebih rumit, seperti perhitungan sinus, kosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui bagaimana galat merambat dalam kasus ini.

Sebagai contoh, untuk mencari indeks bias݊ kaca adalah dengan mengukur sudut kritisߠ. Seperti yang telah diketahui dari optik dasar bahwa



sin 1 

n . Oleh

karena itu, jika dapat diukur sudut ߠ, akan dapat dengan mudah dihitung indeks bias ݊, tetapi kemudian harus ditentukan apakah galat ߜ݊ pada



sin 1 

109

Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔdalam bentuk standarݔᇱ_±ߜݔ

dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍ(ݔ) yang dikenal, seperti ݍ(ݔ) = ^ଵ

ୱ୧୬ ఏ

atau ݍ(ݔ) =√ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafikݍ(ݔ)seperti gambar berikut ini

Gambar 3.9.1 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika ݔ diukur sebagai ݔᇱ₊ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍ(ݔ) adalah

ݍᇱ ₌ݍ(ݔᇱ₎_{. Nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari}ݍ(ݔ)bersesuaian dengan nilai ݔᇱ_±ߜݔ dari ݔ. Untuk menentukan galat ߜݍ adalah sebagai berikut: Nilai kemungkinan terbesarݔadalahݔᇱ₊ߜݔ. Dengan menggunakan grafik, maka akan dengan mudah dicari nilai kemungkinan terbesar ݍ, yang ditampilkan sebagai

ݍ_௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ_௠௜௡. Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus, 109

Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔdalam bentuk standarݔᇱ_±ߜݔ

dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍ(ݔ) yang dikenal, seperti ݍ(ݔ) = ^ଵ

ୱ୧୬ ఏ

atau ݍ(ݔ) =√ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafikݍ(ݔ)seperti gambar berikut ini

Gambar 3.9.1 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika ݔ diukur sebagai ݔᇱ₊ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍ(ݔ) adalah

ݍ_௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ_௠௜௡. Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus, 109

Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔdalam bentuk standarݔᇱ_±ߜݔ

dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍ(ݔ) yang dikenal, seperti ݍ(ݔ) = ^ଵ

ୱ୧୬ ఏ

atau ݍ(ݔ) =√ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafikݍ(ݔ)seperti gambar berikut ini

Gambar 3.9.1 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika ݔ diukur sebagai ݔᇱ₊ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍ(ݔ) adalah

ݍ_௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ_௠௜௡. Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

dan q_maks dan q_min terlihat sama jaraknya dari ݍᇱ_{. Galat} ߜݍ kemudian dapat diperoleh dari grafik sebagai panjang yang ditampilkan, dan kemudian dapat dicari nilaiݍdalam bentuk standar, yaituݍᇱ₊ߜݍ.

Kadang-kadang, galat dihitung dari grafik yang sudah dijelaskan. Akan tetapi, biasanya fungsi ݍ(ݔ) diketahui secara eksplisit, misalnya q

 

x sinx dan

 

x x

q  yang galatnya dapat dihitung secara analitik. Dari gambar (3.9.1) dapat dilihat bahwa

ߜݍ =ݍ(ݔᇱ₊ߜݔ)−ݍ(ݔᇱ_). _(3.9.1)

Pendekatan fundamental kalkulus menyatakan bahwa, untuk setiap fungsi ݍ(ݔ)

dan setiap kenaikanݑ yang cukup kecil,

ݍ(ݔ+ݑ)−ݍ(ݔ) =݀ݍ ݀ݔ ݑ^.

Jadi, jika galatߜݔkecil, maka persamaan (3.9.1) dapat ditulis menjadi

ߜݍ = ݀ݍ

݀ݔ ߜݔ^. ^(3.9.2)

Jadi, untuk mencari galat ߜݍ, hanya dihitung turunan, dx dq

dan dikalikan dengan galatߜݔ.

Rumus pada persamaan (3.9.2) bukanlah rumus akhir. Rumus ini diperoleh untuk digunakan pada suatu fungsi, seperti pada Gambar (3.9.1), yang kemiringannya positif.

111

Gambar 3.9.2 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika kemiringan ݍ(ݔ) negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ

bersesuaian dengan nilai minimum dari ݔ, dan sebaliknya. Gambar (3.9.2) menunjukkan suatu fungsi dengan kemiringan negatif. Di sini, nilai kemungkinan maksimumݍ௠௔௞௦^{ternyata bersesuaian dengan nilai minimum}ݔ, sehingga

ߜݍ = −^݀ݍ_{݀ݔ ߜݔ}. (3.9.3) Karena dx dq negatif, maka dx dq

 dapat ditulis sebagai dx dq

, sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi

ݍ(ݔ), maka galatߜݍ adalah

ߜݍ= ฬ^݀ݍ_{݀ݔฬ ߜݔ}. (3.9.4)

Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan (3.9.1) kadang-kadang lebih mudah.

111

Gambar 3.9.2 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika kemiringan ݍ(ݔ) negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ

ߜݍ = −^݀ݍ_{݀ݔ ߜݔ}. (3.9.3) Karena dx dq negatif, maka dx dq

 dapat ditulis sebagai dx dq

, sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi

ݍ(ݔ), maka galatߜݍ adalah

ߜݍ= ฬ^݀ݍ_{݀ݔฬ ߜݔ}. (3.9.4)

Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan (3.9.1) kadang-kadang lebih mudah.

111

Gambar 3.9.2 Grafikࢗ(࢞)vs࢞.

Jika kemiringan ݍ(ݔ) negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ

ߜݍ = −^݀ݍ_{݀ݔ ߜݔ}. (3.9.3) Karena dx dq negatif, maka dx dq

 dapat ditulis sebagai dx dq

, sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi

ݍ(ݔ), maka galatߜݍ adalah

ߜݍ= ฬ^݀ݍ_{݀ݔฬ ߜݔ}. (3.9.4)

Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan (3.9.1) kadang-kadang lebih mudah.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Contoh 3.9.1

Andaikan diukur sudutߠberikut ini

ߠ = 20 ± 3^°.

Hitunglahcosߠdan galatnya. Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari cosߠ adalah, cos 20 = 0,94, dan berdasarkan persamaan (3.9.4), galatnya adalah

ߜ(cosߠ) =ฬ^݀^cos_{݀ߠ ฬ ߜߠ}^ߠ

= |sinߠ|ߜߠ(dalam radian) (3.9.5). Telah ditunjukkan bahwa ߜߠ harus dinyatakan dalam radian, karena turunan dari

cosߠ adalah − sinߠ hanya jika ߠ dinyatakan dalam radian. Oleh karena itu,

ߜߠ= 3^°dapat ditulis kembali sebagai

ߜߠ= ³

20^|sinߠ| = ³

20^|0,34| = 0,05

maka berdasarkan persamaan (3.9.5) menjadi

ߜ(cosߠ) =หsin 20^°ห× 0,05 = 0,34 × 0,05

= 0,02

Jadi, jawaban akhirnya adalah

113

Contoh 3.9.2

Andaikan diukurݔberikut ini

ݔ= 3,0 ± 0,1.

Hitunglahݍ=݁௫_{dan galatnya.}

Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari ݍ= ݁௫ _adalah, ݍ= ݁ଷ,଴ _{= 19,90}_{, dan berdasarkan}

persamaan (3.9.4), galatnya adalah

ߜ(݁௫_{) =}ฬ^݀݁_{݀ߠ ฬ ߜߠ}^௫

= |݁௫_|ߜߠ(dalam radian) (3.9.6).

ߜߠ= 0,1dapat ditulis kembali sebagai

ߜݍ =^0,1 3,0^|݁௫_|

= ^0,1 3,0^|݁ଷ,଴_|

= 0,6,

maka berdasarkan persamaan (3.9.5) menjadi

ߜ(݁௫_{) = |}݁௫_{| × 0,6}

= 19,90 × 0,6

= 11,94.

Jadi, jawaban akhirnya adalah

cosߠ= 19,90 ± 11,94.

Contoh 3.9.3

Andaikan diukur besaranݔ. Hitunglahݍ(ݔ) =ݔ௡ ₍݊sebarang bilangan, positif

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

atau negatif) dan galatnya. Penyelesaian:

Berdasarkan persamaan (3.9.4), galat diݍadalah

ߜݍ =ฬ^݀ݍ_{݀ݔฬ ߜݔ} = |݊ݔ௡ିଵ_|ߜݔ.

Jika kedua ruas dibagi dengan persamaan|ݍ| = |ݔ௡_|_{, dapat dihasilkan}

ߜݍ

|ݍ|^{= |}݊|ߜݔ

|ݔ| ^(3.9.7)

yaitu, galat fraksional di ݍ=ݔ௡ _adalah ݊ kali galat fraksional di x. Hasil persamaan (3.9.7) ini adalah aturan pada persamaan (3.5.1), kecuali bahwa hasil persamaan (3.9.7) lebih umum, karena݊ bisa sebarang bilangan. Contohnya, jika

2 1  n , makaݍ=√ݔ , dan ߜݍ |ݍ|⁼ 1 2 ߜݔ |ݔ|^,

yaitu, galat fraksional di√ݔadalah setengah dari galat fraksional diݔ.

Persamaan (3.9.7) hanyalah kasus khusus dari persamaan (3.9.4). Jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung ݍ= ݔ௡ ₍݊ sebarang bilangan, positif atau negatif), maka galat fraksional diݍ adalah |ݔ|kali galat fraksional di

ݔ,

ߜݍ

|ݍ|^{= |}݊|ߜݔ |ݔ|^.

Contoh 3.9.4

115

ݔ= 100 ± 6.

Hitunglahݍ=√ݔ dan galatnya. Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari ݍ =√ݔ adalah, ݍ=√ݔ= √100 = 10, dan berdasarkan persamaan (3.9.7), galatnya adalah

ߜݍ |ݍ|^{= |}݊|ߜݔ |ݔ| =¹ 2^× 6 100 = 0,03 ߜݍ = 10 × 0,03 = 0,3 Jadi, ݍ = 10,0 ± 0,3.

Dalam dokumen Tinjauan teori galat secara statistis. (Halaman 128-135)