Fuzzy C-Means Clustering (FCM)

KAJIAN PUSTAKA

2.4 Fuzzy C-Means Clustering (FCM)

1. Biaya Kuliah Tunggal (BKT) merupakan keseluruhan biaya operasional permahasiswa per-semester pada program studi di perguruan tinggi negeri. 2. Biaya Kuliah Tunggal (BKT) digunakan sebagai dasar penetapan biaya

yangdibebankan kepada mahasiswa, masyarakat dan Pemerintah.

3. Uang Kuliah Tunggal (UKT) merupakan sebagian biaya kuliah tunggal yangditanggung setiap mahasiswa berdasarkan kemampuan ekonominya. 4. Uang Kuliah Tunggal ditetapkan berdasarkan biaya kuliah tunggal dikurangi

biayayang ditanggung oleh Pemerintah (Pasal 1 Ayat 1).

5. Uang Kuliah Tunggal sebagaimana dimaksud ditentukan berdasarkan kelompok kemampuan ekonomi masyarakat yang dibagi dalam 5(lima) kelompok dari yang terendah hingga yang tertinggi, yaitu Kelompok I, II, III, IV, dan V.

6. Uang Kuliah Tunggal kelompok I dan kelompok II diterapkan paling sedikit 5(lima) persen dari jumlah mahasiswa yang diterima setiap Perguruan Tinggi Negeri (diatur dalam Permendikbud Pasal 4 Ayat 1, dan Ayat 2).

7. Perguruan Tinggi Negeri dapat memungut di luar ketentuan uang kuliah tunggaldari mahasiswa baru program Sarjana (S1) dan program diploma non regular paling banyak 20 (dua puluh) persen dari jumlah mahasiswa baru (Pasal 6Permendikbud).

2.4 Fuzzy C-Means Clustering (FCM)

Dalam teori himpunan fuzzy akan memberikan jawaban terhadap sesuatu masalah yang mengandung ketidakpastian. Pada beberapa kasus khusus, seperti nilai

keanggotaan yang kemudian akan menjadi 0 atau 1, teori dasar tersebut akan identik dengan teori himpunan biasa, dan himpunan fuzzy akan menjadi himpunan crisp

tradisional. Ukuran fuzzy menunjukkan derajat kekaburan dari himpunan fuzzy. Derajat / indeks kekaburan merupakan jarak antara suatu himpunan fuzzy A dengan himpunan crisp C yang terdekat (Kusumadewi dkk, 2010).

Fuzzy C-means Clustering (FCM) adalah suatu teknik pengclusteran data yang mana keberadaan tiap-tiap titik data dalam suatu cluster ditentukan oleh derajat keanggotaan. FCM menggunakan model pengelompokan fuzzy dengan indeks kekaburan menggunakan Euclidean Distance sehingga data dapat menjadi anggota dari semua kelas atau cluster yang terbentuk dengan derajat keanggotaan yang berbeda antara 0 hingga 1 (Luthfi, 2007).

Konsep dasar FCM, pertama kali adalah menentukan pusat cluster, yang akan menandai lokasi rata-rata untuk tiap cluster. Pada kondisi awal, pusat cluster masih belum akurat. Tiap-tiap titik data memiliki derajat keanggotaan untuk tiap cluster

yang terbentuk. Dengan cara memperbaiki pusat cluster dan derajat keanggotaan tiap-tiap titik data secara berulang, maka akan dapat dilihat bahwa pusat cluster akan bergeser menuju lokasi yang tepat. Perulangan ini didasarkan pada minimasi fungsi objektif yang menggambarkan jarak dari titik data yang diberikan ke pusat cluster

yang terbobot oleh derajat keanggotaan titik data tersebut. Algoritma FCM adalah sebagai berikut (Kusumadewi dkk, 2010):

1. Masukkan data yang akan dicluster ke dalam sebuah matriks X, dimana matriks berukuran m x n, dengan m adalah jumlah data yang akan dicluster

dan n adalah atribut setiap data. Contoh Xij = data ke-i (i=1,2,…m), atribut ke-j (j=1,2,…n).

2. Tentukan

a. Jumlah cluster = c; b. Pangkat/pembobot = w; c. Maksimum iterasi = MaksIter; d. Error yang diharapkan = ξ; e. Fungsi Objektif awal = P0 = 0; f. Iterasi awal = t = 1;

3. Bangkitkan bilangan acak µik (dengan i=1,2,…m dan k=1,2,…c) sebagai elemen matriks partisi awal U, dengan Xi adalah data ke-i.

! = #_$$(&_$) #_($(&_$) #_$((&₍) #_($(&_$) … #_*$(&_$) … #_*((&₍) ⋮ ⋮ #_$,(&_,) #_($(&_,) ⋮ … #_*,(&_,) ……… (2.1)

Dengan jumlah setiap nilai elemen kolom dalam satu baris adalah 1 (satu).

#_*, = 1

,.$ ……….(2.2)

4. Hitung pusat cluster ke-k : Vkj , dengan k=1,2,…,c dan j = 1,2,…,n

/₀₁ = ⁽²³⁴⁾ 5 ∗ 8₃₉ : 3;< (2₃₄)5 : 3;< ………..(2.3) 5. Hitung fungsi objektif pada iterasi ke-t, Pt :

6. Hitung perubahan derajat keanggotaan setiap data pada setiap cluster

(memperbaiki matriks partisi U ) dengan :

#_,0 = ⁽⁸³⁹^{C D}⁴⁹⁾ E F 9;< G< 5G< (8₃₉ C D₄₉)E F 9;< H 4;< G< 5G< ………... (2.5) dengan : i = 1,2,…,n dan k = 1,2,…,c . 7. Cek kondisi berhenti :

• Jika : ( |Pt – Pt-1| < ξ ) atau (t>MaksIter) maka berhenti ;

• Jika tidak : t = t+1, ulangi langkah 4

2.5 Indeks XB (Xie-Beni)

Indeks XB ditemukan oleh Xie dan Beni yang pertama kali dikemukakan pada tahun 1991. Ukuran kevalidan cluster merupakan proses evaluasi hasil

clustering untuk menentukan cluster mana yang terbaik . Ada dua kriteria dalam mengukur kevalidan suatu cluster , yaitu (Xie dan Beni, 1991) :

1. Compactness, yaitu ukuran kedekatan antar anggota pada tiap cluster.

2. Separation, yaitu ukuran keterpisahan antar cluster satu dengan cluster yang lainnya.

Rumus kevalidan suatu cluster atau indeks Xie-Beni (XB) yaitu (Hashimoto dkk, 2009): &I = ²³⁴ 5∗ D₃C 8₉ ^E F 9;< H 3;< @∗B,@_3,9 D₃C D₉ ^E ………(2.6)

2.6 Metode ELECTRE (Ellimination and Choice Translation Reality)

Metode ELECTRE merupakan salah satu metode digunakan untuk menentukan peringkat dan menentukan alternatif terbaik. Konsep dasar metode ELECTRE adalah untuk menangani hubungan outranking dengan menggunakan perbandingan berpasangan antara alternatif masing-masing kriteria secara terpisah. Hubungan outranking menjelaskan bahwa alternatif ke-i tidak mendominasi alternatif ke-j secara kuantitatif. Alternatif dikatakan didominasi jika ada alternatif lain yang mengungguli mereka dalam satu atau lebih atribut dan sama dalam atribut yang tersisa (Made Sudarma dkk, 2015).

1. Pertama yang dilakukan dalam metode ELECTRE adalah membentuk perbandingan berpasangan setiap alternatif pada setiap kriteria (a_ij). Nilai tersebut harus dinormalisasikan ke dalam suatu skala yang dapat diperbandingkan (x_ij): K_,1= ^L³⁹ L₃₉^E M 3;< ………..(2.7) Untuk i = 1,2,3,…m dan j=1,2,3,…n Sehingga didapatkan matriks hasil R hasil normalisasi.

N = K_$$ K_$( K_($ K₍₍ … K_$@ … K_(@ ⋮ ⋮ K_B$ K_B( ⋮ … K_B@

R adalah matriks yang telah dinormalisasi, dimana m menyatakan alternatif, n

menyatakan kriteria dan rij adalah normalisasi pengukuran pilihan dari alternatif ke-i dalam hubungannya dengan kriteria ke-j.

2. Setelah dinormalisasi, langkah yang dilakukan selanjutnya adalah memberikan bobot (faktor kepentingan) pada setiap kriteria yang mengekspresikan kepentingan relatifnya (w_i) dengan cara setiap kolom dari matrik R dikalikan dengan bobot-bobot (wj) yang ditentukan oleh pembuat keputusan. Sehingga, weighted normalized matrix adalah V=RW yang ditulis dalam rumus di bawah ini.

/ = O_$$ O_$( O_($ O₍₍ … O_$@ … O_(@ ⋮ ⋮ O_B$ O_B( ⋮ … O_B@ = NP = Q_$K_$$ Q₍K_$( Q_$K_($ Q₍K₍₍ … Q_@K_$@ … Q_@K_(@ ⋮ ⋮ Q_$K_B$ Q₍K_B( ⋮ … Q_@K_B@ ..(2.8) Dimana W adalah P = Q_$ 0 0 Q₍ … 0 … 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋮ … Q_@ , dan ^@_,.$Q = 1

3. Langkah ketiga adalah menentukan himpunan dari concordance dan

discordance, untuk setiap pasang dari alternatif k dan l (k,l = 1,2,3,…,m dan

k≠l) kumpulan criteria j dibagi menjadi dua himpunan bagian, yaitu

concordance dan discordance. Bilamana sebuah criteria dalam suatu alternatif termasuk concordance adalah :

S_0T = U| W₀₁ ≥ W_,1 ………..(2.9) Untuk j = 123,…,N

Sebaliknya, komplementer dari himpunan bagian ini adalah discordance, yaitu bila :

Y_0T = U| W₀₁ < W_,1 ………..(2.10) Untuk j = 123,…,N

4. Langkah ke-empat adalah menentukan nilai matriks concordance dan

discordance. a. Concordance

Untuk menentukan nilai dari elemen-elemen matriks concordance adalah dengan menjumlahkan bobot-bobot yang termasuk dalam himpunan bagian

concordance, secara matematisnya adalah sebagai berikut :

S_0T = _1∈\ Q₁

4] ……….(2.11)

Untuk j=1,2,3,…,N Sehingga matriks concordance yang dihasilkan ialah :

S = − ^_$( ^_($ − … ^_$@ … ^_(@ ⋮ ⋮ ^_B$ ^_B( ⋮ … − b. Discordance

Untuk menetukan nilai dari elemen-elemen pada matriks discordance adalah dengan membagi maksimum selisih nilai kriteria yang termasuk dalam himpunan bagian discordance dengan maksimum selisih nilai seluruh kriteria yang ada, secara matematisnya adalah sebagai berikut (Triantaphyllou dkk,

1998)::

__0T =

`ab c₄₉C c]9 9∈d_4]

`ab c₄₉C c]9 ∀9

Sehingga matriks discordance yang dihasilkan ialah :

Y = − __$( __($ − … __$@ … __(@ ⋮ ⋮ __B$ __B( ⋮ … −

5. Selanjutnya adalah menetukan matriks dominan concordance dan

discordance. Sebagai contoh, Akhanya akan memiliki kesempatan untuk mendominasi Al jika indeks Ckl concordanceyang sesuai melebihi setidaknya pada nilai threshold tertentu yaitu (Kusumadewi, 2006).

a. Concordance

Dominasi matriks concordance dibangun dengan menggunakan nilai

threshold untuk indeks concordance, yaitu dengan membandingkan setiap nilai elemen matriks concordance dengan nilai threshold.

S_0T ≥ ^

Dengan nilai threshold ( c ), adalah

^ = ^$

f(fC$) ^f_0.$ ^f_T.$^_0T……….(2.13) Berdasarkan nilai threshold, nilai setiap elemen matriks F sebagai matriks dominan corcodance ditentukan sebagai berikut “

g_0T = 1 , Uhij ^_0T ≥ ^ g_0T = 0 , Uhij ^_0T < ^

b. Discordance

Untuk membangun matriks dominan discordance juga menggunakan bantuan nilai threshold, yaitu :

_ = ^$

f(fC$) ^f_0.$ ^f_T.$__0T………(2.14) dan nilai setiap elemen untuk matriksG sebagai matriks dominan discordance

ditentukan sebagai berikut :

k_0T = 1 , Uhij ^_0T < _ k_0T = 0 , Uhij ^_0T ≥ _

6. Langkah selanjutnya adalah menentukan aggregate dominance matrix sebagai matriks E, yang setiap elemennya merupakan perkalian antara elemen matriks

F dengan elemen matriks G, sebagai berikut :

l_0T = g_0T × k_0T………..(2.15) 7. Matriks E memberikan urutan pilihan dari setiap alternatif, yaitu bila ekl = 1

maka alternatif Akmerupakan pilihan yang lebih baik daripada Al. Sehingga baris dalam matriks E yang memiliki jumlah e_kl= 1 paling sedikit dapat dieliminasi. Dengan demikian alternatif terbaik adalah yang mendominasi alternatif lainnya.

2.7 Kombinasi Fuzzy C-Means dan ELECTRE

Untuk penyelesaian masalah dilakukan dengan cara mengombinasi 2 metode yaitu Fuzzy C-Means Clustering dan ELECTRE. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Masukkan data yang akan dicluster ke dalam sebuah matriks X, dimana matriks berukuran m x n, dengan m adalah jumlah data yang akan dicluster

dan n adalah atribut setiap data. Contoh Xij = data ke-i (i=1,2,…m), atribut ke-j (j=1,2,…n).

2. Tentukan :

a. Jumlah cluster = c; b. Pangkat/pembobot = w; c. Maksimum iterasi = MaksIter;

d. Error yang diharapkan =

ξ

;

e. Fungsi Objektif awal = P0 = 0;

f. Iterasi awal = t = 1;

3. Bangkitkan bilangan acak µik (dengan i=1,2,…m dan k=1,2,…c) sebagai elemen

matriks partisi awal U, dengan Xi adalah data ke-i pada persamaan 1 dengan

syarat bahwa jumlah nilai derajat keanggotaan (µ) pada persamaan 2.2.

4. Hitung pusat cluster ke-k : Vkj , dengan k=1,2,…,c dan j = 1,2,…,n pada persamaan 2.3.

5. Hitung fungsi objektif pada iterasi ke-t pada persamaan 2.4.

6. Hitung perubahan derajat keanggotaan setiap data pada setiap cluster

(memperbaiki matriks partisi U ) pada persamaan 2.5. 7. Cek kondisi berhenti :

Ø Jika : ( |Pt – Pt-1| < ξ ) atau (t>MaksIter) maka berhenti ;

Ø Jika tidak : t = t+1, ulangi langkah 4

9. Cari nilai indeks XB terkecil sampai terbesar dari cluster yang ada, nilai terkecil menunjukkan bahwa cluster tersebut adalah cluster dengan level tertinggi.

10.Data yang telah tercluster akan digunakan dalam proses perhitungan dengan metode ELECTRE.

11.Membuat normalisasi matriks keputusan R berukuran m x n, dimana m = data anggota dari tiap cluster dan n = kriteria sesuai dengan persamaan 2.7 . 12.Pembobotan pada matrik yang telah dinormalisasi dengan cara setiap kolom

dari matrik R dikalikan dengan bobot-bobot(wj) yang ditentukan, menggunakan persamaan 2.8.

13.Menentukan himpunan anggota concordance dengan persamaan 2.9 dan

discordance dengan persamaan 2.10.

14.Hitung nilai matriks concordance dengan persamaan 2.11 dan discordance

dengan persamaan 2.12.

15.Selanjutnya adalah menentukan matriks dominan concordance yaitu dengan membandingkan setiap nilai elemen matriks concordance dan discordance

dengan nilai threshold menggunakan persamaan 2.13 dan 2.14. 16.Menentukan aggregate dominance matrix dengan persamaan 2.15. 17.Eliminasi alternatif yang less favourable sebagai hasil dari perankingan.

Gambar 2.3 Flowchart Algoritma Metode Kombinasi Fuzzy C-Means dan ELECTRE

Mulai

Data yg akan dicluster, Jumlah Cluster, pangkat/

pembobot, Maksimum Iterasi, Error terkecil yang

diharapkan, Fungsi Objektif awal, Iterasi Awal

Membuat Matriks Partisi Awal Menghitung Pusat Cluster dan Fungsi Objektif Memperbaiki matriks partisi t>MaksIter) atau ( |Pt – Pt-1| < ξ ) Tidak Pengelompokkan data cluster berdasarkan derajat keanggotaan Ya Menghitung

Indeks Xie- Beni

Data Cluster Membuat matriks ternormalisasi Pembobotan matriks ternormalisasi Menentukan himpunan anggota concordance dan discordiance Menentukan nilai anggota concordance dan discordiance Menentukan Matriks dominan concordance dan discordiance Menentukan aggregate dominance matriks Rangking tiap cluster selesai

Dalam dokumen Penerapan Kombinasi Fuzzy C-Means dan ELECTRE (Ellimination and Choice Translation Reality) Untuk Sistem Pendukung Keputusan Penentuan Besar Uang Kuliah Tunggal Mahasiswa Baru. (Halaman 40-51)