BAB III RAMBAT GALAT
G. Galat Independen dalam Penjumlahan
Sebelumnya telah dibahas bahwa jika besaran hasil pengukuran dijumlahkan atau dikurangkan, maka galatnya dijumlahkan; Jika besaran hasil pengukuran dikalikan atau dibagi, maka galat fraksionalnya dijumlahkan. Pada subbab ini dan selanjutnya akan dibahas tentang bagaimana, pada kondisi tertentu, galat yang dihitung dengan menggunakan aturan tersebut mungkin tidak perlu besar. Secara khusus, jika galat asal yang independen dan acak, pendugaan yang lebih realistis dari galat akhir diperoleh dari aturan serupa di mana galat atau galat fraksional ditambahkan dalam kuadratur (prosedur ini akan didefinisikan kemudian).
Jika dihitungݍ=ݔ+ݕdengan
ݔ= ݔ′±ߜݔ
dan
ݕ= ݕ′±ߜ
maka, pertama nilai terbaik untuk ݍ= ݔ+ݕ adalah ݍᇱ=ݔᇱ+ݕ′. Kedua, karena nilai dari ݔ dan ݕ adalah ݔ′±ߜݔ dan ݕ′±ߜݕ, maka nilai kemungkinan tertinggi untukݍadalah
ݔᇱ+ݕᇱ+ߜݔ+ߜݕ (3.7.1) Dan nilai kemungkinan terendahnya adalah
ݔᇱ+ݕᇱ−ߜݔ−ߜݕ (3.7.2). Kesimpulannya adalah nilai dari ݍ ada diantara dua bilangan tersebut dan galat diݍadalah
97
Untuk melihat mengapa rumus ini cenderung memberi dugaan yang terlalu tinggi untuk nilai ߜݍ, akan dipertimbangkan bagaimana nilai sebenarnya dari
ݍbisa sama dengan nilai tertinggi pada persamaan (3.7.1). Jelas, ini terjadi jika nilai ݔ diduga terlalu rendah daripada jumlah ߜݔ dan ݕ terlalu rendah daripada jumlah ߜݕ, dan hal ini jelas tidak mungkin. Jika ݔ dan ݕ diukur secara independen dan galatnya merupakan galat acak, maka akan terdapat kemungkinan yang sama untuk menduga terlalu rendah nilai ݔdisertai dengan menduga terlalu tinggi nilai ݕ, atau sebaliknya. Jelasnya, kemungkinan untuk menduga terlalu rendah keduanya daripada jumlahߜݔdanߜݕcukup kecil.
Pendugaan yang terbaik dariߜݍ adalah bergantung pada apa yang dimaksud dengan pernyataan bahwa ݍadalah nilai yang "mungkin" ada di antara ݍᇱ−ߜݍ
danݍᇱ+ߜݍ. Selain itu juga bergantung pada hukum statistis yang mengatur galat dalam pengukuran. Pada Bab selanjutnya akan dibahas tentang distribusi normal, yang menjelaskan pengukuran berdasarkan pada galat acak. Hal ini menunjukkan bahwa jika pengukuran ݔ dan ݕ dibuat secara independen dan keduanya berdistribusi normal, maka galat padaݍ= ݔ+ݕadalah
2 2y x
q
. (3.7.4)
Jika dua bilangan yang masing-masing dikuadratkan dijumlahkan, kemudian keduanya diakar kuadratkan seperti pada persamaan (3.7.4), maka bilangan tersebut dapat dikatakan sebagai penjumlahan dalam kuadratur. Jadi, aturan yang terkandung dalam persamaan (3.7.4) dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika pengukuranݔdanݕ independen dan bersifat acak, maka galatߜݍ padaݍ= ݔ+ݕ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
adalahpenjumlahan dalam kuadraturataupenjumlahan kuadratdari galatߜݔ dan
ߜݕ.
Bandingkan persamaan (3.7.4) untuk galat pada ݍ= ݔ+ݕ dengan persamaan (3.7.3). Pertama, persamaan (3.7.4) selalu lebih kecil daripada persamaan (3.7.3), dengan penjelasan sebagai berikut: Untuk sebarang dua bilangan positif ܽdan ܾ, bilanganܽ,ܾ dan√ܽଶ+ܾଶ adalah tiga sisi dari segitiga
siku-siku.
ඥܽଶ+ܾଶ
ܽ
Gambar 3.7.1 Sisi-sisi Segitiga Siku-siku.
Karena panjang setiap sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi yang lainnya, maka pertidaksamaan √ܽଶ+ܾଶ < ܽ+ܾ selalu benar. Bukti bahwa pertidaksamaan √ܽଶ+ܾଶ <ܽ+ܾ selalu benar adalah menggunakan ketaksamaan segitiga, yaitu untuk segitiga
|ܽ+ܾ|
|ܾ|
|ܽ|
Gambar 3.7.2 Ketaksamaan Segitiga.
99
berlaku
|ܽ+ܾ|≤ |ܽ| + |ܾ|. Dengan menggunakan nilai mutlak
|ݔ| =ξݔଶ,
maka
|ܽ+ܾ| =ඥ(ܽ+ܾ)ଶ =√ܽଶ+ 2ܾܽ+ܾଶ.
Pada pertidaksamaan berlaku−|ܽ|≤ܽ ≤|ܽ|untuk setiapܽbilangan real, sehingga
−|ܽ|ଶ ≤ ܽଶ ≤ |ܽ|ଶ →ඥܽଶ+ 2ܾܽ+ܾଶ ≤ ඥ|ܽ|ଶ+ 2|ܽ||ܾ| + |ܾ|ଶ →|ܽ+ܾ|≤ ඥ(|ܽ| + |ܾ|)ଶ.
Jadi,
|ܽ+ܾ|≤ |ܽ| + |ܾ|.
Secara geometri pertidaksamaan tersebut terjadi hanya jika segitiga mempunyai sudut 180° dan sudut 0°. Untuk segitiga yang mempunyai sudut 180° berlaku
|ܽ+ܾ| < |ܽ| + |ܾ|
dan untuk segitiga yang mempunyai sudut 0° berlaku
|ܽ+ܾ| = |ܽ| + |ܾ|.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pada kasus diatas pertidaksamaan terjadi pada segitiga yang mempunyai sudut 180°, sehingga berlaku
|ܽ+ܾ| < |ܽ| + |ܾ|,
sehingga untuk segitiga pada gambar 3.7.1 terbukti benar bahwa
√ܽଶ+ܾଶ < ܽ+ܾ. ■
Karena panjang setiap sisi segitiga selalu kurang dari jumlah dua sisi yang lainnya, maka panjang salah satunya adalah √ܽଶ +ܾଶ < ܽ+ܾ dan karenanya (3.7.3) selalu lebih kecil dari (3.7.4).
Karena persamaan (3.7.3) untuk galat padaݍ= ݔ+ݕselalu lebih kecil dari (3.7.4), maka harus menggunakan (3.7.3) dalam penerapannya. Akan tetapi, hal ini tidak selalu dapat diterapkan. Persamaan (3.7.3) mencerminkan kemungkinan bahwa menduga terlalu tinggi nilai ݔ dapat diimbangi dengan menduga terlalu rendah nilai ݕ atau sebaliknya, tetapi ada pengukuran dimana kanselasi ini tidak berlaku.
Andaikan bahwa ݍ=ݔ+ݕ adalah jumlah dari panjang ݔ dan ݕ diukur dengan pita baja yang sama. Misalkan bahwa sumber utama galat adalah ketakutan bahwa pita baja tersebut dirancang untuk digunakan pada suhu yang berbeda dari suhu sekarang. Jika suhu sekarang tidak diketahui (dan tidak mempunyai pita baja yang dapat diandalkan untuk perbandingan), maka harus diakui bahwa pita baja mungkin lebih panjang atau lebih pendek daripada pita baja yang telah dikalibrasi dan karenanya dapat menghasilkan pembacaan yang
101
kurang atau lebih daripada panjang yang sebenarnya. Galat ini dapat dengan mudah dipenuhi (andaikan, pita baja mempunyai koefisien ekspansiߙ= 10ିହper derajat dan ditentukan bahwa selisih antara suhu kalibrasinya dan suhu saat ini tidak mungkin lebih dari 10 derajat. Pita baja tersebut kemudian tidak mungkin lebih dari 10ିସ, atau 0,01%, menjauh dari panjang sebenarnya, dan oleh karena itu galatnya adalah 0,01%). Maksudnya adalah bahwa jika pita baja tersebut terlalu panjang, maka ݔ dan ݕ dapat diduga terlalu rendah. Dan jika pita baja tersebut terlalu pendek, maka ݔ dan ݕ dapat diduga terlalu tinggi. Jadi, tidak ada kemungkinan untuk kanselasi yang dibenarkan menggunakan jumlah dalam kuadratur untuk menghitung galat dalamݍ=ݔ+ݕ.
Apakah galat independen dan acak, ataupun tidak, galat pada ݍ= ݔ+ݕ
tentulah tidak lebih besar daripada ߜݔ+ߜݕ, sehingga berdasarkan persamaan (3.6.9) dan (3.6.10)
ߜݍ ≤ߜݔ+ߜݕ. (3.7.5)
Pada persamaan (3.7.3),ߜݍ sebenarnya merupakan batas atas yang ada pada semua kasus. Jika terdapat alasan untuk menduga galat pada ݔ dan ݕ tidak independen dan acak (seperti pada contoh ukuran pita baja), maka tidak dibenarkan dalam menggunakan jumlah kuadrat seperti pada persamaan (3.7.4) untukߜݍ. Di sisi lain, persamaan (3.7.5) menjamin bahwaߜݍ memang tidak lebih buruk daripada ߜݔ+ߜݕ, dan tentu saja metode paling aman adalah dengan menggunakan aturan lama yaitu
ߜݍ ≈ߜݔ+ߜݕ.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Seringkali, jika galat merupakan penjumlahan dalam kuadratur atau secara langsung mempunyai selisih yang kecil. Misalnya, andaikan bahwa ݔ dan ݕ
adalah panjang semua pengukuran dengan galat ߜݔ =ߜݕ = 2mm. Jika galat ini adalah independen dan acak, maka galat pada ݔ+ݕ akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur,
ඥ(ߜݔ)ଶ+ (ߜݕ)ଶ =√4 + 4 mm = 2,8mm ≈ 3mm,
tetapi jika diduga bahwa galat mungkin tidak independen, maka harus digunakan penjumlahan biasa,
ߜݔ+ߜݕ= (2 + 2)mm = 4 mm.
Pada banyak percobaan, pendugaan galat begitu kasar bahwa selisih antara kedua jawaban (3 mm dan 4 mm) tidaklah penting. Di sisi lain, kadang-kadang penjumlahan dalam kuadratur secara signifikan lebih kecil daripada penjumlahan biasa. Juga, agak mengherankan, penjumlahan dalam kuadratur kadang-kadang lebih mudah untuk dihitung daripada penjumlahan biasa.
Contoh 3.7.1
Andaikan diukur volume air dalam dua gelas sebagai berikut ml 8 120 1 V ml 4 65 2 V ,
kemudian dengan hati-hati isinya dituang dari gelas pertama ke gelas kedua. a. Bagaimanakah prediksi untuk total volume, ܸ = ܸଵ+ܸଶ beserta dengan
galatnya,ߜܸ?(asumsikan galat asalnya independen dan acak) b. Bagaimanakah nilaiߜܸjika galat asalnya diduga tidak independen? Penyelesaian:
103
Volume air
ܸᇱ= ܸଵᇱ+ܸଶᇱ
= 120 + 65 = 185 ml.
a. Karena galat asalnya adalah independen dan acak, maka galat pada ܸଵ+ܸଶ
akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur,
ߜܸ =ඥ(ߜܸଵ)ଶ+ (ߜܸଶ)ଶ
=ඥ8ଶ+ 4ଶ
=√64 + 16 =√80= 8,9 ≈ 9ml.
Jadi,
ܸ = 185 ± 9 ml.
b. Karena galat asalnya tidak independen, maka harus digunakan penjumlahan biasa,
ߜܸ= ߜܸଵ+ߜܸଶ = (8 + 4) = 12 ml.
Jadi,
ܸ = 185 ± 12 ml.