WAVE PROPAGATION
II.1 GELOMBANG PADA UNBOUNDED MEDIUM
II.1.1 Gelombang pada 1 dimensi
II.1.1 Gelombang pada 1 dimensi
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, untuk modelisasi rambat gelombang pada 1 dimensi pada unbounded medium, kita idealisasikan sebagai gelombang yang merambat pada sebuah batang dengan panjang yang tak terhingga.
Terdapat 3 macam getaran yang terjadi pada batang ini antara lain:
Getaran longitudinal Getaran torsional, dan Getaran flexural
Untuk getaran flexural tidak akan banyak dibahas karena sedkit aplikasinya dalam dinamika tanah sehingga dapat diabaikan.
II.1.1.1 Gelombang longitudinal
Kita asumsikan getaran bebas pada sebuah batang dengan panjang yang tak terhingga, bersifat elastis linear, tertahan dan memiliki properti penampang A, modulus Young E, Poisson ratio v, serta massa jenis , seperti pada gambar 2.1 Bila batang ini ditahan terhadap regangan radial, maka displacement dari partikel yang disebabkan oleh gelombang longitudinal akan parallel terhadap sumbu dari batang.
Jika sebuah gelombang tegangan yang melalui batang dan melalui sebuah elemen kecil seperti pada gambar 2.2 maka tegangan aksial pada bagian kiri elemen ini
x0
x akan bernilai
xo, sementara pada bagian kanan x x0 dx , sehingga tegangan axial dari elemen ini adalah
xo x x dx. Sehingga persamaan kesetimbangan dinamik dari batang ini adalah:
2 Di mana u menyatakan displacement pada arah sumbu x. Persamaan pada bagian kiri menyatakan gaya luar yang bekerja pada elemen dan persamaan pada bagian kanan menyatakan gaya inersia yang terjadi akibat percepatan massa dari elemen.
Dengan menyerderhanakan persamaan diatas kita akan dapatkan persamaan:
2u
x
(2.2)
8
Gambar 2.2 Elemen dari batang
Persamaan gerak ini bernilai valid untuk semua sifat tegangan-regangan, namun persamaan ini tidak dapat langsung diselesaikan, karena persamaan ini masih menggabungkan tegangan (bagian kiri) dengan displacement (bagian kanan).
Untuk menyerdehanakan persamaan gerak ini, maka bagian kiri dari persamaan dapat kita tulis lagi dalam bentuk displacement dengan menggunakan relasi tegangan-regangan, x M x dimana constrained modulus
E dapat ditulis dalam bentuk umum persamaan gelombang longitudinal dari batang yang tertahan: Persamaan gelombang 1 arah dapat dituliskan dalam bentuk alternatif:
2
9
Dimana v 2p adalah kecepatan rambat gelombang; untuk kasus ini gelombang tersebut bergerak dengan kecepatan vp M/ . Perlu diperhatikan bahwa kecepatan rambat gelombang hanya bergantung pada properti dari material batang tersebut (nilai kekakuan dan kerapatan) dan tidak tergantung terhadap amplitudo dari gelombang tegangan. Kecepatan rambat dari gelombang ini meningkat dengan meningkatnya nilai kekakuan dan menurunnya nilai kerapatan.
Kecepatan rambat gelombang adalah kecepatan dari gelombang tegangan yang melalui batang. Cepat rambat ini tidak sama dengan kecepatan partikel (kecepatan suatu titik pada batang yang bergerak ketika gelombang melaluinya).
Dari hubungan tegangan-displacement ( u x x), tegangan-regangan ( x x
/
M ), dan definisi kecepatan rambat gelombang ( x vm t), maka kecepatan partikel u dapat dituliskan dalam bentuk: .m
Persamaan diatas menunjukkan bahwa kecepatan partikel sebanding dengan tegangan axial pada batang. Coefficient of proportionality vm, disebut dengan specific impedance dari material. Specific impedance adalah salah satu property penting yang mempenagaruhi sifat gelombang pada boundaries.
II.1.1.2 Gelombang torsional
Gelombang torsional mencakup rotasi batang tersebut pada sumbunya sendiri.
Bila arah dari gerak partikel pada gelombang longitudinal adalah parallel dengan arah rambat gelombang, maka pada gelombang torsional, gerak partikel dibatasi pada arah tegak lurus dengan arah rambat gelombang.
Kita anggap bahwa sebuah segmen kecil dari batang berbentuk silinder, dimana gelombang torsi dengan amplitudo T bergerak disepanjang batang tersebut.
Persamaan dinamik mengharuskan bahwa gaya luar yang berupa torsi harus seimbang dengan torsi inersia.
2
10
Dimana J adalah momen polar inersia dari batang pada sumbunya. Persamaan keseimbangan ini dapat disederhanakan sehingga menjadi:
2 Sehingga dengan memanfaatkan hubungan torsi dan rotasi, maka:
GJ x T
(2.8) Dimana G adalah modulus geser dari batang, maka persamaan gelombang torsi ini dapat dituliskan dalam bentuk:
Gambar 2.3 Model batang dengan elemen rotasi
2 kita lihat bahwa bentuk dari persamaan gelombang torsi indentik dengan persamaan gelombang longitudinal, akan tetapi kecepatan rambat gelombang keduanya berbeda. Kecepatan rambat gelombang keduanya bergantung pada kekakuan dari batang (berhubungan dengan deformasi yang disebabkan oleh gelombang) dan kerapatan dari material tetapi tidak tergantung pada amplitudo dari gelombang tegangan.
II.1.1.3 Penyelesaian dari persamaan gerak 1 dimensi
Persamaan gerak gelombang 1 dimensi adalah persamaan differensial parsial dalam bentuk:
11 Dimana v menyatakan kecepatan rambat gelombang yang berhubungan dengan tipe gelombang tegangan yang dimaksud. Solusi dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk
) memenuhi persamaan diatas. Perlu kita perhatikan bahwa nilai f tetap konstan saat x meningkat dengan waktu (pada kecepatan v), dan nilai g tetap konstan saat x menurun dengan waktu. Karenanya, solusi dari persamaan menjelaskan sebuah gelombang displacement [f(vt x)]bergerak dengan kecepatan v pada arah x positif dan gelombang lain [g(vt x)]bergerak dengan kecepatan yang sama pada arah x negatif. Hal ini juga menyatakan bahwa bentuk gelombang tidak berubah dengan waktu atau posisi.
Bila batang di berikan sebuah tegangan steady state harmonik (t) 0cos t dimana 0 adalah amplitudo gelombang tegangan dan adalah frekuensi circular dari pembebanan yang diberikan, maka solusi dari persamaan ini dapat ditulis dengan menggunakan wave number k / , dalam bentuk v
) positif dan negatif. Wave number berhubungan dengan wavelength, , pada gerak dengan
Dimana T adalah periode dari pembebanan (perhatikan bahwa wave number adalah milik wavelength sedangkan frekuensi circular milik periode) dan
12
T
f 1/ . Pada frekuensi tertentu, nilai wavelength meningkat dengan meningkat kecepatan rambat gelombang. Persamaan (2.12) menyatakan bahwa nilai displacement bervariasi secara harmonik terhadap waktu dan posisi seperti yang digambarkan pada gambar 2.4. Persamaan 2.13 dan gambar 2.4 menunjukkan bahwa wave number adalah milik wavelength sedangkan frekuensi circular milik periode. Untuk gelombang yang merambat hanya pada arah x positif(B 0), mendiferensiasiu ( tx, ) dua kali terhadap x dan dua kali terhadap t lalu mensubstitusikannya kedalam persamaan gelombang akan menghasilkan:
)
Gambar 2.4 Variasi displacement terhadap waktu dan posisi
Persamaan ini dapat direduksi menjadi indentitas kv , sehingga menyatakan persamaan (2.14) sebagai solusi dari persamaan gelombang.
Dengan mempergunakan notasi kompleks, maka bentuk lain yang equivalen dari solusi ini dapat ditulis dalam bentuk:
)