Masalah GMST merupakan masalah pencarian minimum spanning tree dengan simpul-simpulnya terbagi menjadi beberapa kumpulan simpul yang disebut cluster. Minimum spanning tree dari graf G adalah suatu spanning tree dari G dengan bobot terkecil.
Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim
Salah satu cara untuk menentukan minimum spanning tree dari suatu graf ialah menggunakan algoritme Prim. Menurut Balakrishnan (1997) langkah-langkah dalam algoritme Prim untuk menentukan minimum spanning tree T dari graf G ialah sebagai berikut:
Misalkan diberikan graf G dengan banyaknya verteks adalah n, maka: Langkah 1. Sisi diurutkan dari kecil ke besar dan T = .
Langkah 2. Sisi dari graf G yang berbobot minimum dipilih lalu dimasukkan ke dalam T.
Langkah 3. Dipilih sisi uv di graf G yang memiliki bobot minimum dan adjacent dengan sisi di T. Jika uv tidak membentuk cycle, maka uv ditambahkan ke dalam T dan lanjut ke langkah 3. Sebaliknya, jika
4
penambahan sisi uv membentuk cycle, maka sisi tersebut tidak dipilih dan kembali ke langkah 2.
Langkah 4. Proses berhenti jika T memiliki (n−1) sisi.
Penyelesaian GMST
Suatu GMST dapat diselesaikan dengan beberapa algoritme, yaitu dengan algoritme genetik dan algoritme local search. Namun dalam karya ilmiah ini penyelesaian GMST hanya menggunakan algoritme local search. Menurut Golden et al. (2005) langkah-langkah algoritme local search untuk GMST adalah sebagai berikut:
1. Banyak solusi fisibel yang akan dihasilkan, yaitu X ditentukan terlebih dahulu. Langkah 2 sampai 4 diulangi sebanyak X kali.
2. Dari setiap cluster dipilih satu simpul secara acak.
Jika subgraf yang terbentuk dari simpul-simpul yang telah dipilih merupakan graf terhubung, maka diterapkan salah satu algoritme dari MST untuk mendapatkan MST. Jika tidak, maka pemilihan simpul dari setiap cluster diulangi hingga subgraf yang terbentuk merupakan graf terhubung. Pada karya ilmiah ini, algoritme yang digunakan ialah algoritme Prim.
3. Urutan cluster yang akan dikunjungi ditentukan secara acak.
4. Dengan urutan kunjungan seperti pada Langkah 3, langkah-langkah berikut diulangi sampai m kunjungan cluster secara berurutan sehingga tidak ada perbaikan yang signifikan.
a. Ketika mengunjungi sebuah cluster, setiap simpulnya dipertimbangkan sebagai pengganti simpul saat ini di cluster yang terkandung dalam generalized spanning tree (GST) dan dihitung biaya solusi untuk setiap penggantian simpul. GST yaitu tree yang berisi tepat satu simpul dari tiap cluster (Pop 2002).
b. Di antara solusi yang dihitung pada langkah sebelumnya, identifikasi MST yang memberikan peningkatan terbesar dalam fungsi tujuan (misalkan: penurunan terbesar dalam hal bobot jarak). Jika ada perbaikan, simpul yang mewakili cluster ditentukan dan tree saat ini diperbarui. Berikut ini adalah contoh gambar solusi fisibel untuk GMST:
5
Batas Bawah untuk GMST
Batas bawah untuk GMST dapat diperoleh dengan menyelesaikan masalah MST pada graf transformasi H. Graf transformasi H merupakan graf dengan tiap cluster diganti menjadi single node. Didefinisikan biaya antara dua simpul pada graf transformasi sama dengan biaya minimum antara dua cluster yaitu biaya antara dua simpul yang mewakili. Langkah-langkah untuk menentukan batas bawah yaitu:
1. dimulai dengan graf tak terhubung T dengan m buah cluster, 2. sisi pada graf G diurutkan dari bobot terkecil sampai terbesar,
3. sisi pada daftar urutan yang memiliki bobot terkecil dimasukkan ke dalam graf T asalkan tidak membentuk cycle antar cluster,
4. langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi.
Batas Atas untuk GMST
Batas atas untuk GMST dapat diperoleh dengan mengadaptasi algoritme Kruskal, algoritme Prim, atau algoritme Sollin. Pada karya ilmiah ini hanya adaptasi algoritme Prim saja yang diterapkan karena untuk kasus dengan simpul yang terlalu banyak, algoritme Prim lebih efisien dibandingkan dengan algoritme yang lain
Adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap pemilihan starting node akan diperoleh hasil yang berbeda-beda). Langkah selanjutnya sama seperti algoritme Prim (Feremans et al. 2004).
APLIKASI
Listrik merupakan kebutuhan yang sangat penting, namun hingga tahun 2014 masih banyak daerah di Indonesia yang belum teraliri arus listrik, salah satunya ialah Palangkaraya. Meskipun Palangkaraya merupakan ibukota provinsi Kalimantan Tengah, namun belum semua kecamatan di Palangkaraya teraliri listrik, seperti di beberapa kelurahan di Kecamatan Rakumpit (Fathurahman 2014).
Gambar 2 Peta Kota Palangkaraya
Keterangan :
: letak kecamatan yang ada di Kota
6
Sketsa pada Gambar 2 merupakan peta dari Kota Palangkaraya dan letak kecamatan-kecamatan yang ada di Palangkaraya. Setiap kecamatan memiliki beberapa kelurahan yang akan ditentukan sebagai lokasi pemasangan gardu induk listrik dengan asumsi beberapa kelurahan yang dilalui oleh sungai tidak dipilih. Dari Gambar 2 dapat diperoleh graf sebagai berikut:
G:
Gambar 3 Graf kasus Palangkaraya Keterangan:
C1 : Kecamatan Jekan Raya I : Kelurahan Tumbang Tahai
C2 : Kecamatan Bukit Batu J : Kelurahan Langkai
C3 : Kecamatan Pahandut K : Kelurahan Pahandut
C4 : Kecamatan Rakumpit L : Kelurahan Panarung
C5 : Kecamatan Sebangau M : Kelurahan Tanjung Pinang
A : Kelurahan Bukit Tunggal N : Kelurahan Bukit Sua
B : Kelurahan Menteng O : Kelurahan Pager
C : Kelurahan Palangka P : Kelurahan Petuk Berunai
D : Kelurahan Petuk Ketimpun Q : Kelurahan Bereng Bengkel
E : Kelurahan Habaring Hurung R : Kelurahan Petuk Bukit
F : Kelurahan Marang S : Kelurahan Kalampangan
G : Kelurahan Sei Gohong T : Kelurahan Sabaru
H : Kelurahan Tangkiling
Tabel 1 Beberapa nama kelurahan dan kecamatan di Kota Palangkaraya
Kecamatan Kelurahan Kecamatan Kelurahan
Jekan Raya Bukit Tunggal Pahandut Pahandut
Menteng Panarung
Palangka Tanjung Pinang
Petuk Ketimpun Rakumpit Bukit Sua
Bukit Batu Habaring Hurung Pager
Marang Petuk Berunai
Sei Gohong Sebangau Bereng Bengkel
Tangkiling Petuk Bukit
Tumbang Tahai Kalampangan
7 Data jarak antarkelurahan ditampilkan dalam Lampiran 1.
Penentuan Batas Bawah dan Batas Atas GMST
Penentuan batas bawah
Langkah 1. Graf tak terhubung T
Gambar 4 Graf tak terhubung T
Langkah 2. Sisi pada graf G diurutkan dari jarak terkecil sampai terbesar (Lampiran 3)
Langkah 3. Berdasarkan Lampiran 3, sisi dengan bobot terkecil adalah CJ dengan simpul C berada pada cluster C1 dan simpul J berada pada cluster C3, sehingga dipilih sisi dengan bobot terkecil yaitu C1C3 = 2.2 dan dimasukkan ke dalam graf T
Langkah 4. Langkah 3 diulangi sampai T memiliki m−1 sisi. Sisi dengan bobot terkecil berikutnya ialah C1C2 dengan bobot 11.7, C3C5 dengan bobot 12.3, C4C5 dengan bobot 16.4 sehingga didapat batas bawah untuk GMST sebesar 2.2 + 11.7 + 12.3 + 16.4 = 42.6 km.
8
Penentuan batas atas
Dalam karya ilmiah ini, penentuan nilai batas atas dilakukan dengan menentukan spanning tree menggunakan adaptasi dari algoritme Prim. Pada adaptasi algoritme Prim dimulai dengan memilih starting node (setiap pemilihan starting node yang berbeda dapat memberi hasil yang berbeda-beda). Misalkan simpul A dipilih sebagai starting node. Dengan algoritme Prim (Lampiran 2) didapatkan minimum spanning tree seperti pada gambar berikut:
Gambar 6 Spanning tree untuk batas atas GMST sehingga didapat nilai batas atas untuk GMST sebesar 98.5 km.
Penyelesaian GMST dengan Metode Heuristik Local Search
Langkah ini dimulai dengan menentukan banyaknya solusi fisibel yang dihasilkan sebanyak X, sehingga pengulangan dapat dibatasi sebanyak X. Dalam karya ilmiah ini X = 3 pengulangan.
Iterasi 1.
Langkah 1. Dipilih simpul secara acak dari tiap cluster, misalkan dipilih simpul B, F, L, N, Q. Karena subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih adalah graf terhubung, maka diterapkan algoritme Prim untuk menentukan MST.
9 Dengan algoritme Prim (Lampiran 4) didapatkan MST dengan bobot minimum sebesar 111.4. Garis yang bercetak tebal pada Gambar 7 merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dikunjungi secara acak, misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Mengunjungi sebuah cluster dan mengganti setiap simpulnya yang memberikan nilai MST lebih kecil sehingga tree saat ini diperbarui.
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 5) didapat MST dengan bobot sebesar 110.9 seperti pada gambar berikut:
Gambar 8 MST pada kunjungan ke-1 Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 6) didapat MST dengan bobot sebesar 108.2 seperti pada gambar berikut:
10
Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 7) didapat MST dengan bobot sebesar 101.6 seperti pada gambar berikut:
Gambar 10 MST pada kunjungan ke-3 Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 8) didapat MST dengan bobot sebesar 94.9 seperti pada gambar berikut:
Gambar 11 MST pada kunjungan ke-4 Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 9) didapat MST dengan bobot sebesar 91.4 seperti pada gambar berikut:
11
Gambar 12 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi pertama didapatkan solusi fisibel dengan nilai 91.4.
Iterasi 2.
` Langkah 1. Misalkan dipilih simpul D, G, K, O, S
Gambar 13 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 10) didapatkan MST dengan bobot minimum sebesar 109.1. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak, misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
12
Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 11) didapat MST dengan bobot sebesar 104 seperti pada gambar berikut:
Gambar 14 MST pada kunjungan ke-1 Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 12) didapat MST dengan bobot sebesar 96.9 seperti pada gambar berikut:
Gambar 15 MST pada kunjungan ke-2 Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 13) didapat MST dengan bobot sebesar 91.1 seperti pada gambar berikut:
13
Gambar 16 MST pada kunjungan ke-3 Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 14) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari 91.1 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 15) didapat MST dengan bobot sebesar 90.7 seperti pada gambar berikut:
Gambar 17 MST pada kunjungan ke-5
Dari hasil perhitungan pada iterasi kedua didapatkan solusi fisibel dengan nilai 91.1
Iterasi 3.
14
Gambar 18 Subgraf yang terbentuk dari simpul yang telah dipilih
Dengan algoritme Prim (Lampiran 16) didapatkan MST dengan bobot minimum sebesar 94.8. Garis yang bercetak tebal merupakan MST.
Langkah 2. Menentukan urutan cluster yang akan dicari secara acak, misalkan C1, C2, C3, C4, C5.
Langkah 3. Lakukan seperti langkah 3 pada iterasi 1. Kunjungan ke-1 (C1)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 17) didapat MST dengan bobot sebesar 86.9 seperti pada gambar berikut:
15 Kunjungan ke-2 (C2)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 18) didapat MST dengan bobot sebesar 83.9 seperti pada gambar berikut:
Gambar 20 MST pada kunjungan ke-2 Kunjungan ke-3 (C3)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 19) didapat MST dengan bobot sebesar 72.8 seperti pada gambar berikut:
Gambar 21 MST pada kunjungan ke-3 Kunjungan ke-4 (C4)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 20) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari 72.8 maka tree tidak diperbarui.
Kunjungan ke-5 (C5)
Dari hasil perhitungan (Lampiran 21) tidak didapatkan jarak yang lebih kecil dari 72.8 maka tree tidak diperbarui.
16
Dari hasil perhitungan pada iterasi ketiga didapatkan solusi dengan nilai 72.8. Dari ketiga iterasi yang dilakukan, solusi pada iterasi ketiga yang memiliki nilai minimum, sehingga simpul yang dipilih adalah simpul C, F, J, O, R dengan gambar seperti pada Gambar 21. Solusi ini berada pada selang antara batas bawah yaitu 42.6 dan batas atas yaitu 98.5. Ini berarti akan dibangun gardu induk listrik di Kelurahan Palangka Kecamatan Jekan Raya, Kelurahan Marang Kecamatan Bukit Batu, Kelurahan Langkai Kecamatan Pahandut, Kelurahan Pager Kecamatan Rakumpit, Kelurahan Petuk Bukit Kecamatan Sebangau. Jika iterasi yang dilakukan lebih banyak, maka solusi yang didapat akan lebih baik dan mendekati nilai batas bawah.