GEOMETRI BERKAS SEISMIK PADA PERMODELAN BUMI 1 Model Bumi Homogen Isotropis

PENJALARAN GELOMBANG BADAN DALAM BUMI

D. GEOMETRI BERKAS SEISMIK PADA PERMODELAN BUMI 1 Model Bumi Homogen Isotropis

Untuk kasus yang sederhana, yaitu apabila bumi diasumsikan sebagai media homogen isotropis, sedemikian hingga sifat-sifat mekanisnya serba sama dalam semua arah yang mengakibatkan lintasan berkas seismiknya berbentuk garis lurus (gambar 3.7). Apabila diketahui kecepatan seismiknya adalah v dan jari-jari bumi adalah R, maka waktu tempuh yang diperlukan untuk menjalar dari episenter ke stasiun perekam dengan jarak angular Δ, adalah :

( )

^sin

( )

2

2 Δ

= v_R

T ... 3.1

Gambar 3.7 Lintasan berkas seismik dari episenter ke stasiun perekam, jika diasumsikan bumi homogen isotropis (Stacey, 1977).

Dari persamaan 3.1 diketahui bahwa waktu tempuh berkas seismik merupakan fungsi jarak angular (karena v dan R adalah konstan). Dalam kenyataannya pertambahan waktu tempuh terhadap jarak angular

Δ

persamaan tersebut (seperti ditunjukkan pada gambar 3.5). Hal ini mengindikasikan adanya kebergantungan waktu tempuh terhadap faktor lain yang belum terakomodasikan oleh permodelan bumi homogen isotropis.

D.2 Model Bumi Berlapis Konsentris

Fakta-fakta empiris membuktikan bahwa waktu tempuh gelombang-gelombang badan tidak hanya dipengaruhi oleh jarak angular Δ saja. Didasarkan persamaan 3.1, kemungkinan faktor lain yang berpengaruh adalah kecepatan gelombang v ( karena R adalah konstan). Jadi, dapat dipastikan gelombang-gelombang badan akan dijalarkan dengan kecepatan yang berbeda-beda dari satu tempat ke tempat lainnya di dalam bumi.

Pengamatan terhadap lapisan kerak bumi dan mantel atas menunjukkan bahwa bagian-bagian tertentu pada lapisan-lapisan tersebut tersusun atas material yang bersifat anisotropis dan kemungkinan menyebar di seluruh permukaan bumi. Walaupun demikian untuk tinjauan struktur bumi secara keseluruhan sifat anisotropis dan ketidakhomogenan lateral ini dapat diabaikan terhadap variasi perubahan sifat-sifat ke arah radial. Terdapat tiga tipe variasi sifat-sifat penyusun material bumi yang telah dikenali, yaitu :

1. Perubahan densitas dan konstanta elastisitas secara gradual terhadap kedalaman yang diakibatkan oleh efek tekanan dan temperatur pada material yang homogen secara kimia.

2. Bidang batas yang tajam antara media yang berbeda secara fisik atau kimia.

3. Transisi kimi (fase) yang walaupun tidak tajam seperti sifat (2), tetapi menyebabkan perubahan sifat-sifat yang lebih progressif daripada sifat (1).

Ketiga tipe sifat di atas menyebabkan terjadinya pembiasan gelombang seismik. Sedangkan bidang batas yang tajam akan menyebabkan terjadinya pemantulan dan mode conversion.

Kondisi ini memunculkan ide permodelan bumi berlapis konsentris. Bumi diasumsikan tersusun atas lapisan selubung-selubung konsentris yang jumlahnya tak berhingga dengan kecepatan seismik yang semakin besar secara perlahan terhadap pertambahan kedalaman (pengurangan jari-jari). Setiap selubung merupakan lapisan yang homogen isotropis.

D.3 Parameter Berkas Seismik, p

Dalam pembahasan ini digunakan konsep rumpun berkas (families of rays) dimana setiap anggota dari rumpun berkas ini mempunyai titik-titik ujung pada permukaan luar model bumi dan akan dibiaskan melalui permukaan diskontinuitas yang ditemuinya.

Pada gambar 3.8 ditunjukkan model bumi berlapis konsentris yang tersusun atas tiga lapisan selubung adalah v1, v2, dan v3. P1P2P3 merupakan bagian dari berkas seismik yang melintasi struktur perlapisan dengan P1, P2, dan P3 masing-masing adalah titik-titik pada bidang batas lapisan.

Gambar 3.8 Berkas teleseismik melintasi model bumi yang tersusun atas tiga lapisan selubung konsentris (Stacey, 1977).

Dengan menerapkan hukum Snellius pada bidang batas A dan B, dari gambar tersebut diperoleh : 3 2 2 2 2 1 1

1 sin sin sin sin v f v i dan v f v i = =

Dan dua bangun segitiga pada gambar tersebut (garis terputus) dapat ditentukan bahwa q = r₁ sin f₁ = r₂ sini₂, maka diperoleh persamaan

3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

1sin sin sin sin

v f r v i r v f r v i r = = =

Secara umum, untuk sejumlah bidang batas lapisan dengan kecepatan semakin besar ke arah radial berlaku :

p kons v i r = = tan sin ... 3.2

Dengan r adalah jari-jari suatu titik pada berkas seismik, i adalah sudut antara berkas seismik dan jari-jari pada titik tersebut dan p disebut sebagai parameter berkas. Parameter ini merupakan parameter berkas seismik yang berharga konstan sepanjang geometri lintasannya. Setiap anggota berkas seismik mempunyai harga parameter p yang berbeda dengan anggota berkas yang lain. Dengan menentukan parameter ini akan diperoleh harga

v

r pada titik penetrasi berkas seismik yang terdalam, yakni jika sin i = 1.

D.4 Hubungan p, Δ, dan T

Ditinjau satu rumpun berkas dengan parameter p dan geometri lintasannya membentuk sudut di titik O. T adalah waktu tempuh sepanjang lintasan berkas ini (gambar 3.9).

Δ

Gambar 3.9 Konstruksi geometri dua buah rumpun berkas telesismik yang berdekatan. Konstruksi ini digunakan untuk menurunkan persamaan yang menghubungkan p, Δ dan T (Stacey, 1977).

Misalkan rumpun berkas yang berdekatan mempunyai waktu tempuh T + dT, jarak angular + d dan parameter berkasnya p + dp, berdasarkan gambar 3.9, dapat ditentukan : Δ Δ

( )

( )

2 2 sin 0 0 0 ^{= =} _r dΔ dT v PQ NQ i

Dengan v0 adalah kecepatan seismik di permukaan dan r0 adalah jari-jari pada berkas sinar di permukaan.

Berdasarkan persamaan 3.2, dapat diperoleh :

Δ =

d dT

P ... 3.3

Dengan kata lain, persamaan ini menyatakan bahwa parameter p merupakan gradien pada kurva waktu tempuh (kurva T-Δ), pada jarak angular Δ dari sumber. Jadi p merupakan fungsi jarak angular Δ yang ditempuh oleh berkas seismik tersebut.

D.5 Permasalahan Invers

Suatu permasalahan untuk menentukan kecepatan v sebagai fungsi r yang didasarkan pada pengamatan p sebagai fungsi Δ, dalam hal ini dikatakan sebagai permasalahan invers. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, harus dicari bentuk lain dari hubungan p, Δdan T.

Bentuk hubungan yang digunakan untuk memecahkan masalah ini adalah persamaan jarak angular dalam bentuk integral. Persamaan ini diperoleh berdasarkan gambar 3.10 yaitu dituliskan sebagai berikut :

Δ

(

p

)

dr r p r r_mid

∫

₋ − − = Δ 0 5 . 0 2 2 1 2 η ... 3.4 Persamaan 3.4 dirumuskan oleh Herglotz dan Wiechert sehingga dikenal dengan persamaan Herglotz-Wiechert. Persamaan ini merupakan persamaan integral yang akan memberikan η sebagai fungsi dari r, karena p diketahui merupakan fungsi dari Δ. Dalam hal ini η merupakan konvensi matematis untuk menyederhanakan persoalan, yaitu didefinisikan sebagai η =

( )

^rv . Oleh karena itu dari persamaan 3.4 dapat ditentukan juga

kecepatan v sebagai fungsi dari r, seperti yang diharapkan. Proses ini dikenal sebagai inversi Herglotz-Wiechert (Garland, 1979).

Solusi persamaan 3.4 diberikan oleh Jeffreys bekerjasama dengan G. Rasch, dengan menggunakan penyederhanaan yang dibuat oleh E. Wiechert, L. Geiger. Bentuk solusi ini dapat dituliskan sebagai berikut :

⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Δ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛

∫

Δ − 1 0 1 0 1 ln cosh 1 r r d p_η π ... 3.5

Gambar 3.10 Konstruksi geometri berkas seismik yang digunakan untuk menurunkan persamaan Herglotz-Wiechert (Stacey, 1977).

Persamaan 3.5 dapat dievaluasi secara numeris berdasarkan kurva p terhadap yang diberikan. Dalam persamaan

Δ

1

η merupakan kemiringan kurva waktu tempuh pada Δ₁. Dengan menentukan harga-harga p pada titik-titik tengah dan mengevaluasi

⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = − 1 1

cosh ^pη maka suku sebelah kiri dapat diintegralkan secara numeris untuk setiap harga yang diketahui. Selanjutnya harga r₁, yaitu jari-jari pada titik tengah berkas sinar yang muncul pada jarak , dapat ditentukan sehingga kecepatan pada titik tengah

ini, yang diberikan oleh 1 Δ 1 Δ 1 1 1 = η

v ^r dapat ditentukan juga. Dengan mengevaluasi

persamaan ini untuk yang semakin banyak, akan diperoleh harga v₁ yang bervariasi pula, sehingga dapat dibuat distribusi kecepatan sebagai variasi terhadap kedalaman, baik untuk gelombang P maupun gelombang S.

1

D.6 Distribusi Kecepatan (Kasus Khusus)

Berdasarkan pembahasan persamaan 3.5, akan diperoleh variasi kecepatan yang kontinu dan semakin besar secara monoton terhadap kedalaman. Dalam hal ini p semakin berkurang terhadap Δ dan p lebih besar dari η₁, sedemikian hingga karakteristik kurva waktu tempuhnya (T-Δ) adalah kontiniu dan berharga tunggal.

Namun demikian, dalam permodelan ini dimungkinkan terdapat kasus-kasus tertentu yang mengakibatkan distribusi kecepatannya tidak sesuai seperti yang diuraikan di atas. Kasus yang menarik diantaranya adalah efek triplikasi (triflication) dan efek daerah bayangan (shadow zone).

D.6.1 Efek Triplikasi.

Efek ini terjadi apabila terdapat anomali perlapisan dengan kecepatan tinggi (gradien kecepatannya besar), seperti ditunjukkan pada gambar 3.11. Berkas sinar yang penetrasi terdalamnya berada pada lapisan ini akan mempunyai kurva lintasan yang lebih lengkung sehingga dapat muncul pada jarak Δ yang lebih kecil daripada berkas sinar yang penetrasi terdalamnya tidak pada lapisan ini (gambar 3.11a). Parameter p berkurang secara monoton, namun pada selang Δ tertentu parameter ini tidak lagi berharga tunggal, tetapi ada tiga nilai p untuk harga Δ yang sama. Dengan menafsirkan p sebagai kemiringan kurva waktu tempuh, diperoleh gambar 3.11b, yang mengindikasikan terjadinya triplikasi kurva waktu tempuh pada harga selang Δ tertentu.

Gambar 3.11 Efek triplikasi akibat anomali kecepatan yang tinggi (a) lintasan berkas seismik (b) karakteristik kurva waktu tempuh yang dihasilkan (Stacey, 1977).

D.6.2 Efek Daerah Bayangan (Shadow Zone).

Efek ini terjadi apabila terdapat anomali perlapisan dengan kecepatan rendah (low velocity zone). Kasus ini ditunjukkan pada gambar 3.12. Geometri berkas seismik kasus ini memungkinkan terjadinya daerah bayangan (shadow zone), yaitu suatu daerah dalam selang jarak tertentu dimana tidak terdapat berkas seismik yang muncul dipermukaan (3.12a). Untuk harga Δ yang kecil, karakteristik parameter p masih normal, tetapi pada harga yang besar karakteristik parameter berkas seismiknya memungkinkan untuk terjadinya pemisahan lintasan yang tidak normal, sehingga terdapat daerah tertentu yang tidak dapat mendeteksi berkas seismik ini. Efek shadow zone diindikasikan oleh karakteristik kurva waktu tempuh yang terputus (gambar 3.12b).

Δ Δ

Gambar 3.12 Efek daerah bayangan akibat anomali perlapisan dengan kecepatan rendah (a) lintasan berkas seismik (b) karakteristik kurva waktu tempuh yang dihasilkan (Stacey, 1977).

BAB IV

STRUKTUR BAGIAN DALAM BUMI BERDASARKAN