DAFTAR LAMPIRAN
Definisi 2.4.13 (Proyeksi Ortogonal di ) Suatu proyeksi ortogonal di adalah
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Algoritme untuk Metode Kaczmarz
4.3. Hasil Komputas
Algoritme untuk metode Kaczmarz diimplementasikan dengan membuat program MATLAB yang hasilnya terdapat pada Lampiran 7. Input dari program ini adalah matriks koefisien, vektor konstanta, dan sebarang vektor penyelesaian hampiran awal. Selain itu, terdapat input tambahan sebagai kriteria pemberhentian, yaitu banyaknya iterasi dan batas toleransi. Input tambahan ini dapat ditentukan sendiri (salah satu atau keduanya) atau disesuaikan dengan nilai default-nya. Nilai default dari banyaknya iterasi dan batas toleransi berturut-turut adalah 100 dan 10-6. Output dari program ini adalah vektor penyelesaian hampiran atas SPL. Sebagai tambahan, ditampilkan pula norm sisaan dari penyelesaian hampiran tersebut.
Pengujian dan pengamatan terhadap program MATLAB dari algoritme untuk metode Kaczmarz ini dilakukan dengan menggunakan sistem persamaan linear yang matriks koefisien dan vektor konstantanya dibangkitkan. Ada tiga jenis SPL yang digunakan. Ketiganya dibangkitkan dengan cara yang berbeda. Setiap jenis diwakili oleh satu SPL. Jadi, ada tiga SPL yang digunakan. Pembangkitan sistem persamaan linear ini menggunakan program MATLAB yang telah disediakan oleh Hansen (1994).
SPL ke-1 dibangkitkan dari masalah pemburaman gambar digital yang dimodelkan dengan fungsi pemancaran titik Gauss berikut:
ℎ , = 1
2�2exp −
2+ 2
2�2 . Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 8. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini mempunyai batasan, yakni orde dari matriks koefisien disarankan tidak terlalu kecil dan direkomendasikan lebih besar dari atau sama dengan 256 × 256.
SPL ke-2 dibangkitkan dari diskretisasi persamaan integral Fredholm jenis pertama berikut:
� �,� � ��
6
−6
=� � ,−6 � 6.
Diskretisasi dilakukan dengan metode Galerkin. Calvetti dan Reichel (2002) memberikan penyelesaian , kernel �, dan ruas kanan � sebagai berikut:
� = 1 + cos � 3� , � < 3 0, � 3 � �,� = � − � � � = 6− � 1 +1 2cos � 3� + 9 2�sin � 3 � .
Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 9. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini juga mempunyai batasan, yakni orde dari matriks koefisien kelipatan dari empat, sehingga ukuran SPL yang dibangkitkannya pun kelipatan dari empat.
SPL ke-3 dibangkitkan dari masalah tomografi dua dimensi. Program pembangkit dengan cara ini terdapat pada Lampiran 10. Matriks koefisien yang dihasilkan adalah segi. Pembangkitan ini mempunyai batasan yang sama dengan pembangkitan pertama.
Tabel 1 Karakteristik SPL yang digunakan untuk pengujian dan pengamatan Karakteristik SPL ke-1 SPL ke-2 SPL ke-3
Ukuran 256 × 256 256 × 256 256 × 256
Konsisten Ya Ya Ya
Matriks koefisien sparse Ya Tidak Ya
Nilai maksimum elemen matriks
koefisien 0.3248 0.0937 1.4016
Nilai minimum elemen matriks
koefisien 0 0 0
Nilai maksimum elemen vektor
konstanta 3.2062 1.9483 34.0352
Nilai minimum elemen vektor
konstanta 0 8.1831 × 10
-11
15
Karakteristik dari ketiga SPL yang digunakan tersebut disajikan pada Tabel 1. Ketiga SPL tersebut mempunyai ukuran yang sama, yaitu 256 × 256. Ketiga SPL tersebut bersifat konsisten, sehingga himpunan �, = Ker � + untuk ketiga SPL mempunyai minimal satu anggota yang merupakan penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL. Penyelesaian ini juga merupakan penyelesaian eksak dari SPL.
Matriks koefisien dari SPL ke-1 dan ke-3 sparse, sedangkan matriks koefisien dari SPL ke-2 tidak sparse. Hal ini juga dapat dilihat dari pola sparsity yang diperlihatkan oleh Gambar 3, 4, dan 5. Warna biru menunjukkan elemen taknol, sedangkan warna putih menunjukkan elemen nol.
Banyaknya elemen taknol dari matriks koefisien dari SPL ke-1 ada 5 476 atau 8.36% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknolnya adalah positif dengan nilai maksimum 0.3248. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-1 adalah taknegatif dengan nilai minimum 0 dan nilai maksimum 3.2062.
Gambar 3 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-1.
Matriks koefisien dari SPL ke-2 mempunyai elemen taknol pada diagonal utama serta pada 64 diagonal di bawah dan 64 diagonal di atas diagonal utama. Matriks seperti ini disebut banded dengan bandwidth 129. Banyaknya elemen taknol ada 28 864 atau 44.04% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknol adalah positif dengan nilai maksimum 0.0937. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-2 adalah positif dengan nilai minimum 8.1831 × 10-11 dan nilai maksimum 1.9483.
Gambar 4 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-2.
Banyaknya elemen taknol dari matriks koefisien dari SPL ke-3 ada 5 409 atau 8.25% dari banyaknya elemen. Semua elemen taknolnya adalah positif dengan nilai maksimum 1.4016. Semua elemen dari vektor konstanta dari SPL ke-3 adalah taknegatif dengan nilai minimum 0 dan nilai maksimum 34.0352. Karakteristik SPL ke-3 ini mirip dengan SPL ke-1. Perbedaannya terlihat pada pola sparsity dari matriks koefisien keduanya.
Gambar 5 Pola sparsity dari matriks koefisien dari SPL ke-3.
Penyelesaian hampiran awal yang digunakan adalah vektor kolom nol. Penyelesaian hampiran awal seperti ini menyebabkan norm sisaan awal yang berbeda- beda untuk ketiga SPL (dapat dilihat pada Lampiran 11).
Pengamatan terhadap kekonvergenan dilakukan dengan melihat norm sisaan dari penyelesaian hampiran atas ketiga SPL pada iterasi ke-0 sampai iterasi ke-30. Hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 6, 7, dan 8. Selain itu, dapat juga dilihat pada Lampiran 11.
16
Gambar 6 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-1.
Gambar 7 Hasil kekonvergenan untuk SPL ke-2.
17
Pengamatan terhadap kekonvergenan memperlihatkan hasil yang sesuai dengan analisis pada subbab sebelumnya. Hasil menunjukkan bahwa untuk ketiga SPL yang digunakan, algoritme untuk metode Kaczmarz membangun barisan penyelesaian hampiran atas SPL yang konvergen. Hasil ini dapat dilihat dari norm sisaan yang semakin mengecil menuju nol. Norm sisaan yang semakin mendekati nol ini mempunyai arti bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan semakin mendekati penyelesaian eksaknya.
Norm sisaan untuk ketiga SPL menurun dengan laju yang cukup cepat sebelum iterasi
ke-10. Setelah itu, laju penurunannya melambat. Perlambatan ini juga dapat diamati dari peningkatan yang sangat tajam dari banyaknya iterasi yang diperlukan untuk memperoleh norm sisaan yang semakin kecil. Agar diperoleh norm sisaan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10-1 untuk SPL ke-1 sampai ke-3, diperlukan berturut-turut 22, 10, dan 1 249 iterasi. Kemudian, agar diperoleh norm sisaan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10-2 untuk SPL ke-1 sampai ke-3, diperlukan berturut-turut 122, 68, dan 50 771 iterasi.