HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Distribusi Konsentrasi dan Stabilitas
Hasil dari penelitian ini berupa grafik distribusi konsentrasi dari persamaan adveksi dengan metode FTCS dan Lax-Wendroff dalam beberapa time step. Selain itu, juga dibuat program yang menunjukkan pergerakan gelombang.
Karena proses adveksi murni, maka distribusi polutan hanya bergerak oleh pengaruh kecepatan aliran sebesar v, sehingga bentuk gelombang distribusi konsentrasinya harus tetap sepanjang daerah tinjauan. Dengan kata lain, gelombang awal harus sama dengan gelombang akhir sepanjang daerah tinjauan. Keadaan inilah yang dikatakan stabil dan diperoleh jika syarat kestabilan von Neumann yaitu terpenuhi.
Simulasi dilakukan pada kecepatan v = 1, panjang daerah tinjauan L = 1, dan nilai awal adalah fungsi Gaussian dengan lebar pulsa = 0.1. Gelombang yang dihasilkan tergantung pada time step dan grid yang diberikan. Hasil eksekusi program berupa gelombang distribusi konsentrasi yang ditampilkan dalam 2 dimensi (plot amplitudo vs jarak) dan 3 dimensi ( plot amplitudo vs jarak dan waktu).
4.1.1 Stabilitas Metode FTCS pada Persamaan Adveksi
Berikut ini grafik distribusi konsentrasi yang dihasilkan dengan metode FTCS pada time step maksimum. Time step maksimum diperoleh dari:
(4.1)
Untuk memperoleh akurasi, grid ditetapkan sebanyak 50 sel sehingga time step maksimum diperoleh 0.02 dengan siklus gelombang sebanyak 500 dari nStep = L/v. .
Maka hasil eksekusi program adalah sebagai berikut:
Keluarannya adalah:
Gambar 4.1 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D metode FTCS.
jumlah titik coba: 50
waktu untuk gelombang bergerak satu sel adalah 0.02 masukkan time step: 0.02
siklus gelombang dalam 50 step masukkan jumlah langkah: 50
Gambar 4.2 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D metode FTCS.
Berdasarkan gambar di atas (gambar 4.1 dan gambar 4.2) dapat dilihat distribusi konsentrasi awal dan akhir pada dearah tinjauan (untuk kasus sungai, pada hulu dan hilir). Pada gambar 4.1, terlihat bahwa komputasi tidak dapat mempertahankan bentuk gelombang awal (datar), sedangkan gelombang akhir yang ditampilkan mengalami osilasi yang sangat tinggi. Amplitudo gelombang mencapai orde 105. Pada gambar 4.2 juga terlihat bahwa FTCS gagal karena tidak mampu mengatur bentuk gelombang. Hal ini menunjukkan ketidakstabilan numerik. Tetapi, hal ini dapat diatasi jika nilai time step yang diberikan jauh lebih kecil dari maksimum, misalnya 0.002 dengan grid tetap 50 dan hasil eksekusinya adalah sebagai berikut:
jumlah titik coba: 50
waktu untuk gelombang bergerak satu sel adalah 0.02 masukkan time step: 0.002
siklus gelombang dalam 500 step masukkan jumlah langkah: 500
Gambar 4.3 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar dengan titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 2D dengan metode FTCS.
Gambar 4.4 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 3D dengan metode FTCS.
Gambar di atas (gambar 4.3 dan 4.4) merupakan hasil eksekusi program dengan metode FTCS dengan time step 0.002. Gambar-gambar tersebut menampilkan bentuk gelombang akhir yang mengalami peningkatan osilasi jika dibandingkan dengan gelombang awalnya tetapi masih dapat diterima walaupun belum mencapai stabil. .
Terbukti bahwa metode FTCS yang diterapkan pada persamaan adveksi pada dasarnya tidak stabil, kecuali digunakan time-step yang sangat kecil ( << h/ ). Untuk menganalisis stabilitas pada persamaan iterasi dari metode numerik dapat digunakan persamaan (2.43) yang dapat dituliskan kembali pada persamaan 4.2 sebagai berikut:
(4.2)
Solusi ini adalah suatu gelombang dengan angka gelombang (wave-number) k, adalah faktor penguatan (amplification factor) gelombang. Sesuai dengan syarat kestabilan von Neumann, komputasi tidak stabil apabila ternyata .
Berdasarkan persamaan (2.44), maka persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi:
( (4.3)
Persamaan (4.3) dibagi dengan menjadi persamaan (4.4)
(
= (4.4)
Sehingga besaran (magnitude) faktor penguatan ini adalah:
Pada persamaan di atas menunjukkan ketidakstabilan mutlak skema FTCS. Di mana jelas bahwa sehingga solusi FTCS dari persamaan adveksi tidak stabil menurut syarat von Neumann. Solusi numerik akan dirusak oleh error numerik yang dihasilkan dan tumbuh seraca eksponensial. Hal ini disebabkan diskritisasi FTCS hanya mempertahankan ekspansi Taylor orde satu, yaitu .
Berikut diperlihatkan pergerakan gelombang persamaan adveki yang diselesaikan dengan metode Lax-Wendroff dan program dibuat dengan Mathematica 6.
Gambar 4.5. Prgerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode FTCS.
4.1.2 Stabilitas Metode Lax-Wendroff
Parameter-parameter yang digunakan untuk membangun simulasi dengan metode Lax- Wendroff sama seperti pada metode FTCS, hanya saja diskritisasinya berbeda. Karena menggunakan suku tambahan dari deret Taylor, yaitu , skema
Lax-Wendroff diharapkan lebih akurat dibandingkan dengan skema FTCS. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut:
Gambar 4.6 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D metode Lax-Wendroff.
jumlah titik coba: 50
waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak satu sel 0.02
masukkan time step: 0.02
siklus gelombang dalam 50 step masukkan jumlah langkah: 50
Gambar 4.7 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D dengan metode Lax-Wendroff.
Gambar 4.6 dan 4.7 menunjukkan bentuk gelombang simulasi pada time step maksimumnya yaitu 0.02 dan grid 50. Gambat 4.5 menunjukkan bahwa gelombang awal berimpit dengan gelombang akhir di mana puncak gelombang berada pada 1 saat x = 0. Hal ini menandakan kestabilan numerik yang juga ditunjukkan pada gambar 4.7 bahwa bentuk gelombang awal dan gelombang akhir simulasi adalah sama. Untuk membandingkannya dengan skema FTCS, dapat diberikan time step yang jauh lebih kecil dari nilai maksimumnya, misalnya 0.005. Hasil eksekusi programnya adalah:
jumlah titik coba: 50
waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak satu sel 0.02
masukkan time step: 0.005
siklus gelombang dalam 200 step masukkan jumlah step: 200
Gambar 4.8 Bentuk gelombang awal dan akhir gradient konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 2D dengan metode Lax-Wendroff.
Gambar 4.9 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 3D dengan metode Lax-Wendroff.
Pada gambar 4.10 berikut diperlihatkan pergerakan gelombang persamaan adveki yang diselesaikan dengan metode Lax-Wendroff dan program dibuat dengan Mathematica 6.
Gambar 4.10. Pergerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode Lax- Wendroff.
Gambar 4.8 dan 4.9 memperlihatkan gelombang persamaan adveksi yang diselesaiakan dengan metode Lax-Wendroff pada grid 50 dan time step 0.005. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa gelombang awal yang terbentuk sama pada time step 0.005 tetapi gelombang akhir berosilasi lebih tinggi dibandingkan gelombang awal. Terbukti bahwa jika digunakan time step yang jauh lebih kecil dari time step maksimum, gelombang yang dihasilkan menunjukkan ketidakstabilan tetapi masih dapat diterima. Skema Lax-Wendroff menunjukkan adanya disipasi amplitudo. Hal ini disebabkan diskritisasi Lax-Wendroff mempertahankan ekspansi Taylor sampai orde dua yang ditunjukkan persamaan (2.37).
Sesuai dengan syarat kestabilan von Neumann, untuk skema Lax-Wendroff faktor penguatannya dinyatakan pada persamaan berikut:
( )
……….(4.7)
Misalkan α = ,
(4.8) sehingga kuadrat besaran faktor penguatan menjadi:
(4.9) Hasilnya, kriteria stabilitas von Neumann dipenuhi selama α2≤ 1.
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
1. Persamaan adveksi diselesaikan dengan skema FTCS menghasilkan persamaan dalam bentuk iterasi:
. Iterasi yang diperoleh dengan skema Lax-Wendroff adalah:
.
2. Dengan menggunakan program ini, dapat dilihat bahwa metode Lax- Wendroff lebih stabil dibandingkan metode FTCS. Gelombang yang diperoleh dengan metode FTCS hanya menunjukkan kestabilan untuk time step yang sangat kecil, 0.002 (gambar 4.3 dan 4.4 sub-subbab 4.1.2). Sedangkan metode Lax-Wendroff stabil untuk time step maksimum yaitu 0.02, sampai time step yang jauh lebih kecil dari maksimum dengan grid sebesar 50 (gambar 4.6, 4.7, 4.8, dan 4.9 sub-subbab 4.1.3). Maka dapat dikatakan bahwa jumlah grid dan time step menentukan kestabilan gelombang yang dihasilkan kedua metode.
3. Menurut syarat kestabilan von Neumann, komputasi stabil jika . Besar faktor penguatan skema FTCS adalah
sehingga tidak stabil untuk semua time step. Sedangkan factor penguatan
dengan skema Lax-Wendroff adalah dan syarat kestabilan dipenuhi selama
α2≤ 1. 5.2Saran
1. Persamaan adveksi dapat juga disimulasikan dengan pendekatan beda hingga yang lain untuk mendapatkan metode yang paling stabil.
2. Pada penelitian selanjutnya, dapat dilakukan simualsi persamaan adveksi untuk aplikasi langsung pada pencemaran air sungai.
Anderson, D. A, Tannehill, J. C, and Pletcher, R. H. 1984. Computational Fluid Mechanics and Haet Transfer. New York : Hemisphere Publishing Corporation.
Fletcher, C. A. J. 17 Juli 2010. Computaional Computaion Fluid Dynamics 1. www.springer.com/../978-3-540-53058-9.
Jhonson, Dr. 13 Juli 2010. Von-Neumann Stability Analysis. www.maths.manchester.ac.uk/~pjhonson.pdf
Kosasih, B. P. 2006. Komputasi Numerik, Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Penerbit ANDI.
Li, Zhilin. 20 Agustus 2010. Finite Difference Methods Basics. www.4nscu.edu/../notes1.pdf
Luknanto, Djoko, Ir, M.Sc, Ph.D. 2003. Model Matematika. Yogyakarta : Bahan Ajar Hidraulika Komputasi Jurusan Teknik Sipil FT UGM.
Munif, Abdul, dan Prastyoko, Aries. 1995. Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik. Edisi Kedua. Surabaya: Penerbit Guna Widya.
Patankar, S. V. 1980. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Washington: Hemisphere Publishing Corporation.
Peranginangin, Kasiman. 2006. Pengenalan MATLAB. Yogyakarta: Penerbit ANDI. Rezzolla, Luciano. 2010. Numerical Methods for the Solution of Partial Differential
Equations. Jerman.: Albert Einstein Institute & Max-Planck-Institute for Gravitational Physics.
Soedradjat, S. 2003. “Fungsi model hidrodinamika estuari dalam pengelolaan ekosistem mangrove (studi kasus pencemaran minyak di estuari sungai donan Cilacap).” Berkala Penelitian Hayati. hal: 81-86.
http://en.wikipedia.org/wiki/advection. Diakses pada 08 Juli 2010.
http://www.physics.udel.edu/~jim/Advection/advection.pdf. Diakses pada 09 Juli 2010. http://demonstrations.wolfram.com/Numerical Solution Of The Advection Partial
Differential Equation Fi/Numerical Solution Of The Advection Partial Differential Equation Fi-source.nb. Diakses pada 10 Agustus 2010.
List program 1 persamaan adveksi dengan metode FTCS dan Lax-Wendroff
%% adveksi - Program untuk memecahkan persamaan adveksi % menggunakan beberapa skema PDP hiperbolik
clear all; help advect; % Hapus memori dan tampilkan judul %% * Pilih Parameter numerik (time step, panjang sel, dll.). method = menu (' Pilih metode numerik:', ...
' FTCS',' Lax-Wendroff'); N = input (' jumlah titik coba: '); L = 1.; % ukuran sistem
h = L/N; % panjang sel
v = 1; % kecepatan gelombang
fprintf (' waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak satu sel % g \n',h/v);
tau = input (' masukkan time step: ');
coeff = -v*tau/(2.*h); % koefisien yang digunakan semua %skema
coefflw = 2*coeff^2; % koefisien yang digunakan skema L-W fprintf (' siklus gelombang dalam % g step \n',L/(v*tau)); nStep = input (' masukkan jumlah langkah: ');
%% * Tentukan syarat awal dan syarat batas
sigma = 0.1; % lebar pulsa Gaussian
k_wave = pi/sigma; % konstanta gelombang cosinus x = ((1:N)-1/2)*h - L/2; % koordinat grid
% syarat awal adalah pulsa cosinus Gaussian u = cos (k_wave*x) .* exp (-x.^2/(2*sigma^2)); % Gunakan syarat batas periodik
ip (1:(N-1)) = 2:N; ip (N) = 1; im (2:N) = 1:(N-1); im (1) = N;
%% * Inisialisasi komponen grafik iplot = 1; % Plot counter uplot (:,1) = u (:); % keadaan awal tplot (1) = 0; % waktu awal (t=0)
nplots = 50; % Jumlah plot yang diinginkan plotStep = nStep/nplots; % jumlah langkah antar plot
%% * Loop over desired number of steps. for iStep=1:nStep %% MAIN LOOP %%
%* komputasi nilai baru dari gelombang amplitudo menggunakan FTCS atau Lax-Wendroff.
if ( method == 1 ) %%% methode FTCS %%% u (1:N) = u (1:N) + coeff*(u (ip)-u (im));
u (1:N) = u (1:N) + coeff*(u (ip)-u (im)) + ... coefflw*(u (ip)+u (im)-2*u (1:N));
end
if ( rem (iStep,plotStep) < 1 ) % Setiap plot_iter %catat step
iplot = iplot+1;
uplot (:,iplot) = u (:); % u (i) untuk plot tplot (iplot) = tau*iStep;
fprintf (' %g keluar dari %g step selesai \n',iStep,nStep);
end end
%% * Plot keadaan awal dan keadaan akhir
figure (1); clf; % Hapus gambar 1 jendela dan lanjutkan plot (x,uplot (:,1),'-',x,u,'--');
legend (' Initial ',' Final');
xlabel (' x'); ylabel (' u (x,t)'); pause (1); % Pause 1 detik antar plot
%% * Plot gelombang amplitudo versus posisi dan waktu figure (2); clf; % Hapus gambar 2 jendela dan lanjutkan mesh (tplot,x,uplot);
ylabel (' Posisi'); xlabel (' Waktu'); zlabel (' Amplitudo');
view ([-70 50]);
List Program 2 Animasi Persamaan Adveksi
{L0, L1}={-5, 5};
Neumann={{1, 1} -1, {-1, -1} 1}; Dirichlet={{1, 1} 0, {-1, -1} 0}; Periodic={{1, -1} -1, {-1, 1} 1};
Manipulate[
DynamicModule[{X, u0, us, A}, X = Range[L0+dx/2, L1-dx/2, dx]; u0=Exp[-X^2];
D1 = SparseArray[Join[bnd/.boundaries,{ Band[{1, 2}] 1,
Band[{2, 1}] -1}], {Length[X], Length[X]}];
(* The Lax Method just adds an artificial diffusion term and then performs an explicit Euler integration *)
A=If[method "Lax", -D1/dx/2+(Abs[D1]-
2*IdentityMatrix[Length[X], SparseArray])/dt/2, -D1/dx/2]; us[t_]=(y/.First[NDSolve[{y'[t] A.y[t], y[0] u0}, y, {t, 0, 6},
StartingStepSize dt, MaxStepSize dt,
Method {"FixedStep", Method If[method "Lax", "ExplicitEuler", method]}
]])[t];
Dynamic[ListPlot[us[time],
PlotLabel "Courant number, = " <> ToString[dt/dx], PlotRange {-.25, 1.5},
Filling Axis, Frame True,
DataRange {X 1\[RightDoubleBracket], X - 1\[RightDoubleBracket]},ImageSize {500,300}]]],
Style[" ANIMASI PERSAMAAN ADVEKSI",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],
Style["--- ---",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],{{bnd, 3, "Syarat Batas"},{1 "Homogeneous Neumann", 2 "Homogeneous Dirichlet", 3 "Periodic"}, ControlType PopupMenu},
Delimiter, {{method, "ExplicitEuler", "method"},{"ExplicitEuler" "FTCS", "ExplicitRungeKutta" "Lax-Wendroff"}, ControlType PopupMenu}, Delimiter, {{dx, 0.1, "Diskritisasi Ruang, x"}, 0.01, 0.1, Appearance "Labeled"}, Delimiter, {{dt, 0.1, "time step, t"}, 0.001, 0.1, Appearance "Labeled"}, Delimiter, {{time, 0, "Waktu"}, 0, 6.0},
SaveDefinitions True,TrackedSymbols True,AutorunSequencing { 3,4,5},SynchronousUpdating False]